Определение 10 (Правостороннего предела)
lim f (x)= A
x→x0 +0
Uε (A) Uδ (x0 ): x X ∩Uδ+(x0 ) f (x) Uε (A).
Решение задач 1 – 2
а) Пусть X - область определения функции y = f (x) и точка x0 = 3 - предельная точка множества X .
1) На языке окрестностей
lim f (x)= +∞
x→3
o
Uε (+ ∞) Uδ (3): x X ∩Uδ (3) f (x) Uε (+ ∞). 2) На языке "ε − δ "
lim f (x)= +∞
x→3
ε > 0 δ(ε)> 0 : x X и 0 < x − 3 < δ f (x)> ε .
y |
+∞ |
|
f (x) |
|
|
( |
|
|
ε |
|
|
0 |
3 −δ( x o3 )3 +δ |
x |
|
Рис. 7. |
|
6
На рисунке 7 проиллюстрировано определение предела в
терминах окрестностей. |
На |
осях |
Oy |
и Ox заштрихованы |
|||||
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
соответственно области Uε (+ ∞) и U δ (3). |
y = f (x) и точка |
||||||||
б) Пусть X - |
область определения функции |
||||||||
x0 = −∞ - предельная точка множества X . |
|
|
|
|
|||||
1) На языке окрестностей |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lim |
f (x)=1 (рис. 8) |
|
|
|
|
|
||
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Uε (1) Uδ (−∞): x X ∩Uδ (−∞) f (x) Uε (1). |
|||||||||
2) На языке "ε − δ " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x)=1 |
|
|
|
|
|
||
|
x |
→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
ε > 0 δ(ε)> 0 : x X и x < −δ |
|
f (x)−1 |
|
< ε . |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
)−δ |
1 −ε |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
x |
0 |
|
|
|
x |
|||
|
|
|
Рис. 8. |
|
|
|
|
|
|
в) Так как областью |
определения функции |
|
y = log3 (x −2) |
||||||
является множество X = (2; + ∞), |
то точка |
|
x0 = 2 является |
||||||
предельной точкой этого множества, а
7
1) На языке окрестностей
lim log3 (x − 2)= −∞ (рис. 9)
x→2 +0
Uε (− ∞) Uδ (2): x Uδ+(2) log3 (x − 2) Uε (− ∞).
2)На языке "ε − δ "
lim log3 (x − 2)= −∞
x→2 +0
ε > 0 δ(ε)> 0 : 2 < x < 2 +δ log3 (x −2)< −ε .
y
0 |
2 −δ( o2 x )2 +δ |
x |
−ε (
log3 (x −2)
−∞
Рис. 9.
Задача 3
Вычислить предел функции:
(2x2 −3x − 2)2
lim x3 − 2x2 − 4x +8 .
x→2
8