- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 2
- •Задачи 1 - 2
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Определение 6
- •Определение 7
- •Определение 8
- •Определение 9 (Левостороннего предела)
- •Определение 10 (Правостороннего предела)
- •Решение задач 1 – 2
- •Задача 3
- •Справочный материал
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •Следствие
- •Теорема 4
- •Определение
- •Действия на расширенной числовой оси
- •Сложение
- •Умножение
- •Деление
- •Решение задачи 3
- •Задача 4
- •Решение задачи 4
- •Задачи 5 – 6
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Свойства эквивалентных б. м.
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Определение 6
- •Свойства эквивалентных б. б.
- •Решение задач 5 – 6
- •Задача 7
- •Справочный материал
- •Теорема
- •Решение задачи 7
- •Задача 8а
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Свойства главных частей б. м.
- •Решение задачи 8а
- •Задача 8б
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Свойства главных частей б. б.
- •Решение задачи 8б
- •Задача 9
- •Решение задачи 9
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Теорема
- •Свойства непрерывных функций
- •Следствие
- •Классификация точек разрыва
- •Определение 6
- •Определение 7
- •Решение задачи 10
- •Задание к типовому расчету
2) Если функция u = g(x) непрерывна в точке x0 , а функция y = f (u) непрерывна в точке u0 = g(x0 ), то сложная функция y = f (g(x)) непрерывна в точке x0 .
Следствие
Элементарные функции, полученные из основных элементарных функций с помощью рассмотренных выше операций, также непрерывны в области их определения.
Классификация точек разрыва
Точки, в которых нарушается непрерывность функции,
называются точками разрыва этой функции. Если x = x0 -
точка разрыва функции y = f (x), то в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.
Определение 6
Точка разрыва x0 называется точкой разрыва первого рода
функции y = f (x), если в этой точке |
существуют конечные |
||
односторонние пределы, т. е. |
|
|
|
lim |
f (x)= f (x0 −0) и |
lim |
f (x)= f (x0 +0). |
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
|
|
При этом: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
Если они равны между собой, но не равны значению функции |
|||||||||
|
в этой точке |
f (x0 −0)= f (x0 +0)≠ f (x0 ), |
или |
значение |
||||||
|
функции f (x) |
при x = x0 |
не определено, |
то |
точка x0 |
|||||
|
называется точкой устранимого разрыва первого рода. |
|||||||||
2) |
Если f (x0 −0) |
≠ f (x0 +0), |
то точка x0 |
называется точкой |
||||||
|
неустранимого |
разрыва |
первого |
рода. |
Величина |
|||||
|
δ = |
|
f (x0 + 0)− f (x0 −0) |
|
|
называется |
скачком |
функции |
||
|
|
|
||||||||
f (x) в точке x0 .
32