Задачи 1 - 2
На языке окрестностей и на языке "ε − δ " сформулировать
определения предела функции в точке и одностороннего |
||
предела, соответствующие символическим равенствам: |
||
а) |
lim f |
(x)= +∞, |
|
x→3 |
f (x)=1, |
б) |
lim |
|
|
x→−∞ |
log3 (x − 2)= −∞ . |
в) |
lim |
|
|
x→2 +0 |
|
|
|
Справочный материал |
Пусть x0 R .
Определение 1
h - окрестностью точки x0 называется множество
Uh (x0 )= (x0 − h; x0 + h),
где h > 0 (рис. 1). |
|
|
|
( |
• |
) |
|
x0 −h |
x0 |
x0 + h |
x |
|
Рис. 1. |
|
|
Если x Uh (x0 ), то x удовлетворяет неравенству
x0 − h < x < x0 + h − h < x − x0 < h x − x0 < h .
Определение 2
Проколотой h - окрестностью точки x0 называется множество
o
U h (x0 )= (x0 − h; x0 )U(x0 ; x0 + h),
где h > 0 (рис. 2).
2
x0 (− h |
|
|
ox0 |
) |
|
x |
||||
|
|
x0 + h |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Рис. 2. |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x U h (x0 ) |
|
x |
− x0 |
|
< h, x ≠ x0 0 < |
|
x − x0 |
|
< h . |
|
|
|
|
|
|||||||
Расширим вещественную ось, |
добавив два символа − ∞ и |
|||||||||
+ ∞ , которые назовем бесконечно – удаленными точками числовой оси.
Определение 3
h - окрестностью точки (− ∞) называется множество
Uh (− ∞)= (− ∞; − h),
где h > 0 (рис. 3).
−∞ |
)−h |
x |
|
Рис. 3. |
|
Тогда
x Uh (− ∞) x < −h .
Определение 4
h - окрестностью точки (+ ∞) называется множество
Uh (+ ∞)= (h; + ∞),
где h > 0 (рис. 4). |
|
h ( |
+∞ x |
Рис. 4.
Тогда
x Uh (+ ∞) x > h .
3
ЗАМЕЧАНИЕ
Понятие проколотой окрестности для − ∞ и + ∞ не определено.
Определение 5
Точка x0 называется предельной точкой множества X ,
если в любой ее окрестности находится хотя бы одна точка данного множества X , отличная от x0 .
Определение 6
Пусть X - область определения функции y = f (x) и точка x0 - предельная точка множества X .
Конечная или бесконечная величина A называется пределом функции y = f (x) в точке x0 (при x → x0 ), если для любой
окрестности точки A найдется такая окрестность точки x0 , что для всех x из области определения X и найденной проколотой
окрестности точки x0 |
соответствующие значения функции |
f (x) |
попадают в заданную окрестность точки A . Обозначается: |
|
|
lim |
f (x)= A или f (x) → A. |
|
x→x0 |
x→x0 |
|
Теперь запишем это определение, используя символы: |
- |
|
для любой, - существует (найдется), : - такая что, - следует, - равносильно.
lim f (x)= A
x→x0
o
Uε (A) Uδ (x0 ): x X ∩U δ (x0 ) f (x) Uε (A).
Это определение является определением предела на языке
o
окрестностей. Заменив в нем записи x U δ (x0 ) и f (x) Uε (A) соответствующими неравенствами, получим определение предела на языке "ε − δ " .
4
Определение 7 |
|
|
Левосторонней окрестностью |
точки |
x0 называется |
множество |
|
|
Uh−(x0 )= (x0 − h; x0 ), |
|
|
где h > 0 (рис. 5). |
|
|
( |
) |
x |
x0 −h |
x0 |
|
Рис. 5.
Тогда
x Uh−(x0 ) x0 − h < x < x0 .
Определение 8 |
|
|
Правосторонней окрестностью |
точки |
x0 называется |
множество |
|
|
Uh+(x0 )= (x0 ; x0 + h), |
|
|
где h > 0 (рис. 6). |
|
|
( |
) |
x |
x0 |
x0 + h |
|
Рис. 6.
Тогда
x Uh+(x0 ) x0 < x < x0 + h .
Определение 9 (Левостороннего предела)
lim f (x)= A
x→x0 −0
Uε (A) Uδ (x0 ): x X ∩Uδ−(x0 ) f (x) Uε (A).
5