Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

дисперсии равно нулю. Для проверки адекватности линейного уравне­ ния, полученного по насыщенному плану, необходим дополнитель­ ный эксперимент.

Таким образом, оптимальные двухуровневые планы 2*и t'~f pимеют следующие преимущества: планы ортогональны, и поэтому все вычисления просты, все коэффициенты определяются независимо друг от друга; каждый коэффициент определяется по результатам всех N опытов. Эти планы обладают также свойством Ъ-оптималъ- ности: для данного числа опытов N они имеют минимальный определитель ковариационной матрицы (ХТХ)~1. Вследствие этого все коэффициенты регрессии определяются с одинаковой и мини­ мальной дисперсией. Необходимо также отметить, что линейные планы 2к и 2к~робладают свойством ротатабелъности. Вследствие отсутствия корреляции между коэффициентами по закону сложения дисперсий для линейного уравнения при к факторах имеем:

Проверяется однородность выборочных дисперсий по критерию Кохрена. Для этого составляется отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

G —

Рис. 30. Движение по поверхности отклика (а) к экстремуму в однофакторном эксперименте и в методе крутого восхождения (б)

ния y=const поверхности отклика для /с=2 (рис. 30, а). При тради­ ционном эксперименте обычно фиксируют один из факторов, на­

короткий. Известно, что движение по кратчайшему, наиболее круто­

однозначна и не имеет особых точек. Бокс и Уилсон предложили шаговый метод движения по поверхности отклика. В окрестности точки L ставится эксперимент для локального описания поверхности отклика линейным уравнением регрессии:

Далее двигаются по гю.ерхности отклика в направлении градиента линейного приближения:

При постановке опытов величина шага должна быть пропорцио­ нальна произведению коэффициента bj на интервал варьирования bjAzj. Если одного линейного приближения недостаточно, то ставит­

ся новая серия опытов с центром в точке, которая соответствует наибольшему значению у, и находится новое направление для движения по поверхности отклика. Такой шаговый процесс про­ должается до достижения области, близкой к экстремуму, или

«почти стационарной области».

Направление градиента зависит от выбранного интервала варьирова­ ния независимых факторов. При изменении в п раз интервала варьирования для некоторого j -го фактора меняется в п2 раз величина шага для этого фактюра, так как в п раз изменяется коэффициент регрессии bj и также в п раз —интервал варьирования. Инвариантны­ ми к изменению интервала остаются только знаки составляющих гра­ диента. Удачный выбор интервала варьирования во многом связан с наличием априорной информации о параметрической чувствительности процесса. Интервал варьирования должен быть достаточно велик, чтобы диапазон изменения выходной величины был в несколько раз (не менее 3-^4 раз) больше ошибки воспроизводимости. В то же вре­ мя для большинства процессов линейное приближение поверхности отклика адекватно эксперименту только при небольших интервалах варьирования. Если на интервалы варьирования не наложено никаких ограничений, их стремятся выбрать таким образом, чтобы получить уравнение регрессии, симметричное относительно коэффициентов при линейных членах. Обработка результатов эксперимента, связан­ ного с крутым восхождением, должна сопровождаться тщательным статистическим анализом полученных результатов.

Пример 1. Определялся оптимальный состав фотохромного стекла в системе Li20 - АЬОз - Si02. В качестве параметров оптимизации Ц>) рассматривалась оптическая

Р е ш е н и е . Для определения коэффициентов линейного уравнения регрессии

Каждый опыт в матрице планирования (табл. 38) повторен два раза.

Средние значения оптической плотности у получены по двум измерениям. Про­ верим однородность дисперсий $?, / —1, 2,..., 8, по критерию Кохрена. Сумма дисперсий

Табличное значение критерия Фишера для р —0,05, / , —4 и / 2 —8 Fog6 (4,8) —3.8. ^<^о,вб (4,8), и уравнение регрессии адекватно эксперименту. Используем полученное уравнение для крутого восхождения по поверхности отклика для увеличения оптической плотности стекла. При крутом восхождении незначимые параметры были зафиксированы на нулевом уровне, время выдержки на нижнем уровне 1,5 ч. Таким образом, изменя­ лись только исходная концентрация хлора (Zi) и соотношение Ag : Cl (z3). Первые три опы­ та при крутом восхождении (9, 10, 11) были «мысленные» (таблица).

В качестве шагов взяты величины, в 2,5 раза большие произведений bjAzj. Лучший результат получен в 12-м опыте. Дальнейшее увеличение концентрации хлора и отно­ шения Ag : Cl ухудшает фотохромные свойства стекла. В связи с этим были реализованы пропущенные опыты 10 и 11. Получены следующие значения оптической плотности

стекла:

^10 = 0,496, уп = 0,561.

Таким образом, в качестве оптимального рекомендуется состав стекла, полученный в 11-м опыте.

4.Описание области, близкой к экстремуму. Композиционные

планы Бокса —Уилсона. Область, близкую к экстремуму, называют также почти стационарной областью. Это область с существенной нелинейностью функции отклика, для адекватного описания которой необходимо использовать нелинейные полиномы. В настоящее время наиболее широко для описания области, близкой к экстремуму,

чение порядка аппроксимирующего полинома приводит к значитель­ ному увеличению числа опытов.

Обычно эксперимент, реализованный для определения оптималь­ ных условий процесса, можно адекватно описать полиномом второго порядка. При этом число опытов N в плане должно быть не меньше числа определяемых коэффициентов в уравнении регрессии второго порядка для к факторов:

соответствующих коэффициентов уравнения теоретической регрессии:

тическим уравнением регрессии второго порядка (V.46), тогда становятся значимыми определенные по эксперименту эффекты взаимодействия факторов и квадратичные эффекты. Это позволяет установить факт нахождения в почти стационарной области. Близость почти стационар­ ной области можно установить, если поставить дополнительно к

в то время как коэффициент 60, подсчитываемый в факторном

эксперименте по формуле

лг

2 го< у>

. /=i

является совместной оценкой для свободного члена и суммы квадра­ тичных:

Поэтому разность

может до некоторой степени служить мерой кривизны поверхности. Для описания поверхности отклика полиномами второго порядка независимые факторы в планах должны принимать не менее трех разных значений. Трехуровневый план, в котором реализованы все возможные комбинации из к факторов на трех уровнях, представляет собой полный факторный эксперимент 3*. В табл. 39 приведена

матрица планирования полного факторного эксперимента З2.

Полный факторный эксперимент 3* требует слишком большого числа опытов, намного превышающего число определяемых коэффи­ циентов / уже для к> 2.

Число опытов в ПФЭ Ък и число коэффициентов / в уравнении регрессии второго порядка приведены ниже:

Сократить число опытов можно, если воспользоваться так называе­ мыми композиционными или последовательными планами, предложенны­

а, 0, ... , 0), (0, =Ьа, 0......... 0) ... (0,0, ... ,0, ±а),

где а —расстояние от центра плана до звездной точки —звездное плечо; 2) увеличить число экспериментов в центре плана UQ.

Рассмотрим построение композиционных планов на примере /г—2 (рис. 31). Точки 1, 2, 3, 4 образуют ПФЭ 22*, точки 5, 6, 7, S—звездные

Информационная матрица (матрица моментов) композиционного пла­ на второго порядка имеет для к —2 вид