Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

После того как уравнение регрессии найдено, необходимо провести статистический анализ результатов. Этот анализ заключается в проверке значимости всех коэффициентов регрессии в сравнении с ошибкой воспроизводимости и адекватности уравнения. Такое исследование называется регрессионным анализом. Примем при проведении регрессионного анализа следующие допущения:

L Входной параметр х измеряется с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении у. Большая ошибка у объясняется наличием в каждом процессе невыявленных перемен­ ных, не вошедших в уравнение регрессии.

2 Результаты наблюдений ур уъ...,уп над выходной величиной у представляют собой независимые, нормально распределенные случай­ ные величины.

3. При проведении эксперимента с объемом выборки п при

Бартлета. Определенная по параллельным опытам дисперсия вос­ производимости ^^рНеобходима для оценки значимости коэффициен­ тов уравнения регрессии и проверки адекватности уравнения экспе­ рименту.

Оценка значимости коэффициентов производится по критерию Стьюдента

где bj - j -й коэффициент уравнения регрессии; sb. —среднее квадратич­ ное отклонение j -го коэффициента.

Если tj больше табличного tp(f) для выбранного уровня значи­ мости р и числа степеней свободы / =^0спР, то коэффициент bj значимо отличается от нуля; sb. определяется по закону накопления

(IV. 36)

(IV. 37)

по критерию Фишера

SO C T ( / а )

Вэтом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрес­

сии по сравнению с рассеянием относительно среднего. Чем больше значение F превышает табличное F[_p(f\, / 2) для выбранного уровня значимости р и чисел степеней свободы /1 = п - 1 и /2 = п - I, тем эффективнее уравнение регрессии.

5. Параболическая регрессия. Если уравнение регрессии представля­ ет собой полином некоторой степени, то при применении метода наименьших квадратов коэффициенты этого полинома находят реше­ нием системы линейных уравнений. Например, требуется определить по методу наименьших квадратов коэффициенты квадратичной функ­ ции —параболы, второго порядка:

Аналогичными по структуре уравнениями будут определяться коэффициенты параболы любого порядка.

Адекватности уравнения регрессии эксперименту добиваются по­ вышением степени полинома. При этом в связи с наличием кор­ реляции между коэффициентами все коэффициенты регрессии нужно вычислять заново. При переходе от к-й степени полинома к (7с+1)-й в правой части уравнения регрессии добавляется одно слагаемое вида Ьк+1х к+\ но все к + 2 коэффициента приходится рассчитывать заново. В качестве критерия при вычислениях рассматривается оста­ точная дисперсия:

4 - т = 2 (Уг

/=1

/2 =fk+i, увеличение степени к нужно прекратить.

6. Полиномы Чебышева. Уравнение регрессии, выраженное через полиномы Чебышева, имеет вид

где* Po(x),sPi(x)u...,Pk(x) —ортогональные полиномы Чебышева на мно­ жестве точёк хь Х2 ,...,хп. Это означает, что для всех u ^ j выполняют­ ся соотношения

1= 1

где Рк+1(х) зависит только от объема выборки п. Зная многочлены Чебышева Рк+\(х), при каждом увеличении степени уравнения регрес­ сии необходимо вычислять только коэффициент Ьк+\. Многочлены Чебышева определяются по формулам

п

2 yi

Ь0 п

2 yi р1(*«) i=I_______

2 /1 (x,) i=i

2 ^ рп * ) *=l_______

2 pt <*> t=\

Вычисленные по формулам (IV 68) коэффициенты bj не зависят от того, каков будет порядок определяемого уравнения регрессии. При нахождении уравнения регрессии методом последовательных уточне­ ний используются все ранее найденные bj. Повышение порядка уравнения регрессии на 1 приводит к определению только одного коэффициента. При этом удобными получаются формулы для расчета остаточной дисперсии для уравнения регрессии к-го порядка:

SSft

где суммы квадратов отклонений SS определяются по рекуррентной формуле

1= 1

Необходимо только заранее подсчитать SS0:

SSt = 2til — boРо(*i)]2=2(yi ■“у = 2^”

Тогда каждое значение х( заменится своим номером, т. е. Z/ = /. Определим коэффициенты уравнения регрессии вида

Суммы, стоящие в знаменателе, можно определить по сокращен­ ной формуле:

где (2/с—D——произведение всех нечетных чисел от 1 до 2А:—1 включительно. В частности,

Эти суммы используются и для вычисления сумм SSk, нужных для определения остаточной дисперсии:

1=1

После получения уравнения регрессий (IV 73) переменную z опять заменяют первоначальной переменной х.

Пример 2. Требуется определить зависимость степени диссоциации а иодида водо­ рода от температуры t. Экспериментальные данные приведены ниже:

Объем выборки л —11. Температура фиксировалась через равные интервалы 20°

(Л - 20).

Р е ш е н и е . Применим метод ортогональных полиномов Чебышева для получения уравнения регрессии степени диссоциации от температуры. Сделаем замену переменных по формуле

t —260

Определим коэффициенты уравнения вида

У = «о Л> (*) + «1 Pi (2):

М 2)= 1; М 2) = 2- 6.

По формуле (IV.74)

а , = 281/11 = 2 5 . 6 ;

£ P](i) по сокращенной формуле (IV.78) равна

i= 1

и коэффициент а\ по (IV.75) равен

а , = 631/110 = 5 ,7 3 .

Уравнение регрессии первого порядка имеет вид

у = 2 5 ,6 + 5 ,7 3 (г — 6).

Определим теперь уравнение регрессии второго порядка:

У —at Р0(г) + “iPi (г) + а2рг(г).

По формуле (IV.65) Pz(z) равно

Проверим значимость различия ^!20ст и ^ост п0 критерию Фишера:

ОС,/ 4 ост = 5.9/1.2 =4,9,

^0,95 Ф*®) = 3 ,4 ,

F > F1-р(Л» /гЬ

значит, уравнение второго порядка является существенным уточнением уравнения пер­ вого порядка. Определим уравнение регрессии третьего порядка:

У= « Л (*) + а1Р1(г) + агР2(г) + а3Р3 (г).

Подставляя п —11 в формулу (IV.66), получим

/>*(г) =2»— 18za + S0,2z — 191,1.

По формуле (IV.80) находим