Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

Р е ш е н и е . Возьмем из результатов четырех параллельных определений каждой пробы первое (х \) и вычислим для каждого из 40 значений величину т по формуле (11.131). Результаты вычислений сведены в таблицу:

2 V 3

если исходные совокупности подчиняются нормальному закону. Проверим эту гипотезу при помощи критерия © 2 Расположим полученные значения г в вариационный ряд, и для каждого элемента ряда определим значения эмпирической функции распределе­ ния Fn{т) по формуле

(xi): 2 - 1 - 1 = 0,0125. 2-40

Для определения критерия па? в формулу

п

2k — I T*

2n J

подставим значение п ■= 40 и полученную в таблице сумму. В результате имеем

л<в* = + 0,032057 = 0,03414.

Для уровня значимости р —0,05 табличное значение (ло)2)1р —0,4614 (см. табл. 4). Вычисленное значение лсо2 меньше табличного. Следовательно, гипотеза нормального распределения концентрации аммиачной селитры в соковом паре не отклоняется.

В главе описаны основные понятия математической статистики: генеральная совокупность и случайная выборка, оценки и их свой­ ства, методы проверки статистических гипотез и построения до­ верительных интервалов для математического ожидания и дисперсии.

хо^я иногда и смещенных оценок.

Проверка гипотез относительно параметров распределения генераль­ ной совокупности проводится в предположении нормального распреде­ ления наблюдаемой случайной величины.

Гипотеза о нормальности распределения проверяется с помощью критериев согласия Пирсона, Колмогорова, критерия со2, Вилькоксона, по совокупности малых выборок.

Упражнения

1.При изготовлении эталона большим количеством измерений в нем было надежно установлено среднее содержание вещества, равное 2%, с квадратичной ошибкой единич­ ного измерения, равной 0,1%. Определить, с какой вероятностью можно ожидать, что при повторном анализе средний результат девяти параллельных измерений будет варь­ ировать в пределах 1,9 ч- 2,1%.

2.Построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X при доверительной вероятности р—0,95, если

среднее выборочное Jr —20,5 получено по четырем измерениям, считая дисперсию, равную 0,81: а) генеральной; б) выборочной.

3.Оценить ошибку определения плотности вещества, используя следующие резуль­ таты измерений: масса 420,2 г, ошибка измерения массы 0,22 г, объем 50,15 смэ, ошибка определения объема 0,12 смз.

4.Оценить ошибку воспроизводимости ах по выборке из 31 наблюдения с выбо­ рочным стандартом sx —0,85, используя ^.распределение и нормальное распределение. Доверительную вероятность р принять равной 0,9.

5.В результате анализа дистиллята на двух параллельно работающих ректифика­ ционных колоннах получены следующие данные о содержании бензола (мол. доли, %):

колонна № 1 94,0; 95,0; 95,0; 97,0; 94,0; 97,5; 98,0; колонна № 2 99,0; 97,0; 95,0; 98,0; 95,0.

Является ли значимым различие в содержании бензола в дистилляте этих колонн? 6. При постоянном режиме были проведены измерения потерь со вторичным паром связанного азота при производстве аммиачной селитры (в г/л): 5,0; 5,3; 5,8; 4,9; 4,6; 7,5;

5,2. Следует ли отбросить значение 7,5 как грубое измерение?

Г Л А В А III ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

1. Задача дисперсионного анализа. В любом эксперименте средние значения наблюдаемых величин меняются в связи с изменением основ­ ных факторов (качественных и количественных), определяющих условия опыта, а также и случайных факторов. Исследование влияния тех

74

значение, поскольку выводы по эксперименту можно распространить на всю генеральную совокупность. Если все уровни выбираются случайным образом, математическая модель эксперимента называется

моделью со случайными уровнями факторов (случайная модель). Когда все уровни фиксированы, модель называется моделью с фиксирован­ ными уровнями факторов. Когда часть факторов рассматривается на фикси­ рованных уровнях, а уровни остальных выбираются случайным образом, модель называется моделью смешанного типаJ Иногда отсутствует различие в критериях, применяемых для разных моделей, и единствен­ ное различие состоит в общности выводов, в других случаях существует различие в критериях.

впрактическом применении анализа.

2.Однофакторный дисперсионный анализ. Рассмотрим действие единичного фактора А (количественного или качественного), который принимает к различных значений (уровней фактора). На /-м уровне производится т наблюдений, результаты которых можно записать следующим образом:

Предположим также, что наблюдения на фиксированном уровне

Проверяется нулевая гипотеза равенства средних значений на раз­ личных уровнях фактора А :

т1 = т2= ... = mk = т.

Наиболее простые расчеты получаются при равном числе опытов

п

Т а б л и ц а 5. Исходные данные для однофакторного дисперсионного анализа с равным

числом повторении опытов

Для проведения дисперсионного анализа необходимо общую выбороч­ ную дисперсию s2

разложить на составляющие, которые характеризовали бы вклад фак­ тора А и фактора случайности. Фактор случайности при этом легко оценить благодаря наличию повторных опытов на каждом уровне. Определим выборочную дисперсию на каждом уровне:

/=1

i = 1,2 , ... , k.

Если нет уверенности в равноточности экспериментов, однородность дисперсий sf, s£...,sl можно проверить по критерию Кохрена (см. гл. 11,13).

Если между дисперсиями нет значимых различий, для оценки генеральной дисперсии ст2, характеризующей фактор случайности, используют выборочную дисперсию ^2Ш:

SS'I-TS 2» •

L i= i /=1 i=i \ /=1 / J

Число степеней свободы дисперсии 5^ равно k ( n - l ) = N - k . При­ ближенную оценку для дисперсии фактора А можно получить следую­ щим образом:

название для математического ожидания среднего квадрата отклонений, обусловленного влиянием фактора А. Такое обозначение удобно, так как определяет рассеяние, вызванное влиянием фактора Л анало­ гично показателю влияния случайного фактора, что позволяет не­ посредственно сравнить фактор А с эффектом случайности. Введем также следующее обозначение:

ся нулевая гипотеза по критерию Фишера. Так как альтернативой <зА* = = ст^ является неравенство o f > 0^ , для проверки гипотезы применя­ ется односторонний критерий Фишера. Влияние фактора А считается значимым, если

му: подсчитывают 1) итоги по столбцам

п

а » . 13)

У = 1

2) сумму квадратов всех наблюдений

кп