Методы оптимизации эксперимента в химической технологии
..pdfнения случайной величины в выборке объема л разбивается на к интервалов. Число интервалов к берут обычно в зависимости от объема выборки в пределах от 8 до 20. Число интервалов можно определить по полуэмпирической формуле (II 24). Число элементов выборки, попавших в /-й интервал, обозначим через л,. Построен ная гистограмма (см. гл. I I 1) выборочного распределения или об щие соображения о механизме возникновения случайной величины служат основанием для выбора типа закона распределения. Парамет ры этого закона могут быть определены или из теоретических соображений, или нахождением их оценок по выборке. На основа нии принятого закона распределения вычисляются вероятности /?, попадания случайной величины X в /-й интервал. Величина, характе ризующая отклонение выборочного распределения от предполагае мого, определяется формулой
х2= |
(rij — npj)2 |
(11.104) |
|
apt |
|||
|
|
где А:—число интервалов; л —объем выборки.
Сумма (II 104) имеет приближенно Х2-распределение с f = к - с - 1
степенями свободы, где с —число параметров |
гипотетического |
закона распределения, определяемых по выборке. |
и sx определяют |
Для нормального распределения с= 2, если и х, |
ся по данной выборке. Гипотеза о принятом типе закона распре деления принимается на данном уровне значимости р, если
1< xl |
(И. 105) |
гДе Х2_р определяются по табл. 4 приложения для выбранного Уровня значимости и числа степеней свободы /. Если У}>У?х_ру
делается вывод, |
пго гипотеза не |
согласуется с выборочным распре |
|
делением. |
|
|
|
При использовании критерия X2 желательно, чтобы объем |
|||
выборки был достаточно велик: л>50 -ь 150, а |
количество элемен |
||
тов л, > 5-^-8. |
Если какое-либо |
из л, <5, то |
два или несколько |
соседних интервалов должны быть объединены в один. При этом соответственно уменьшается число степеней свободы.
Вероятности /?,• попадания значений случайной величины в /-й интервал для нормального закона распределения можно опреде лить по формуле (1.64):
Р(а<Х<.Ь) = Ф — Ф j • (П.106)
При подсчете теоретических вероятностей р, нужно считать, что крайний левый интервал простирается до —°°; крайний правый — до Н- °°.
Для применения критерия согласия Колмогорова необходимо определить наибольшее абсолютное отклонение выборочной функции распределения F„(x) от генеральной F(x):
|
D = max | Fn (x) — F (x) | . |
(11.107) |
|||
Затем вычисляется величина X: |
|
|
|
||
|
|
X= Yli |
D. |
|
(11.108) |
В табл. 3 приведены квантили Хх_р распределения Колмогорова. |
|||||
|
Т а б л и ц а |
3. Квантили распределения |
Колмогорова |
|
|
р |
М - р |
Р |
Ч - р |
Р |
Ч - Р |
0,99 |
0,44 |
0,50 |
0,83 |
0,15 |
1,14 |
0,90 |
0,57 |
0,40 |
0,89 |
0,10 |
1,22 |
0,80 |
0,64 |
0,30 |
0,97 |
0,05 |
1,36 |
0,70 |
0,71 |
0,25 |
1,02 |
0,02 |
1,52 |
0,60 |
0,77 |
0,20 |
1,07 |
0,01 |
1,63 |
Если вычисленное значение X меньше табличного Ху_р, то
гипотеза о совпадении |
теоретического закона распределения F(x) |
с выборочным Fn(x) не |
отвергается. При Х^Ху-р гипотеза откло |
няется (или считается сомнительной). Уровень значимости р при
применении критерия |
Колмогорова |
выбирают |
обычно |
равным |
|||
0,2н-0Д |
Критерий Колмогорова может быть применен также для |
||||||
проверки гипотезы о том, принадлежат ли две |
выборки |
объемов |
|||||
пу и л2 одной генеральной совокупности. При этом |
величина |
||||||
Dnvn2 определяется из выражения |
|
|
|
|
|||
|
|
°п„пг = max I Fnt (*) - Fn, (*) |, |
|
|
(11.109) |
||
где |
F„}(x) и Fn2(x) —выборочные функции распределения, |
построен |
|||||
ные |
для |
первой и второй выборок |
соответственно, |
а |
величина |
||
X —по формуле |
-V i + д2 |
• |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(11. 110) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
нормального |
распределения |
функция |
F(x) |
определяется |
||
по формуле |
|
|
|
|
|
||
В случае выборок небольшого объема л<20 для проверки гипотезы о законе распределения можно использовать простые кри терии, основанные на сравнении генеральных параметров распре деления и их оценок, полученных по выборке. В качестве оценивае мых параметров удобнее всего брать моменты.
Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами —математическим ожиданием тх и стандартом ох . Все остальные моменты нормального распределения выражаются через математическое ожидание и стандарт. Для нормального распределения коэффициент асимметрии, определяемый по формуле (1.28), равен
СО= |
о" II |
(11.112) |
|
L II |
|
||
так как p3 = Q |
|
|
|
Коэффициент эксцесса, определяемый по формуле (1.24), также |
|||
равен нулю |
|
|
|
72= ^ - 3 |
= 0, |
(11.113) |
|
<*Х |
|
|
|
так как для нормального распределения |
|
||
И4=3ах. |
(11.114) |
||
Выборочные коэффициенты эксцесса и асимметрии определяются |
|||
по формулам: |
п |
|
|
i:1 -S*4—VnSX |
(11.115) |
||
iЯz 1 |
|||
|
|
||
sx |
|
|
|
п |
|
|
|
|
3. |
(11.116) |
|
Распределения этих оценок сложны и мало изучены. Однако известны дисперсии этих величин:
|
6 ( я - 1 ) |
|
|
(11.117) |
||
|
(п+ 1) (д + |
3) |
|
|||
|
|
|
||||
24п (п — 2) (п— 3) |
|
(11.118) |
||||
(я+1)2(/1+3)(/1 + 5)’ |
||||||
|
||||||
где л —обьем выборки. |
D(yf), можно |
|
|
|||
Зная дисперсии D(y\) и |
оценить, |
значимо ли |
||||
выборочные коэффициенты |
асимметрии |
и |
эксцесса |
отличаются |
||
от нуля. Если |
_______ |
, |
|
(11.119) |
||
| Т; | < 3 у |
D ( 7j) |
|
||||
I Та| « |
5 V |
D Ы ) |
> |
|
(11. 120) |
|
то наблюдаемое распределение можно считать нормальным.
Пример 13. Размер частицы никелевого катализатора замерен с точностью до 1 мкм. На выборке объема л —200 проверить, подчиняется ли распределение размеров частиц нормальному закону. В таблице приведены отклонения размеров частиц катализатора от номинального. Результаты сгруппированы в 10 интервалов длиной И—5 мкм.
И н т ер в а л |
Г р ан и ц ы |
С е р е д и н а |
Ч и с л о |
О т н о с и |
И н т е р в а л |
Г ран ицы |
С е р е д и н е |
Ч и сл о |
О т н о с и |
|
И |
и н т ер в а |
и н т е р |
точ ек в |
тел ьн ая |
И |
и н т ер в а |
и н т е р |
точ ек |
в |
тел ьн ая |
|
л ов |
вала |
и н т е р |
частота |
|
л ов |
вала |
и н т е р |
ч астота |
|
|
x i + T x i |
*/ |
вал е Лу |
Р* |
|
|
x t |
вал е |
Лу |
Р* |
1 |
—20ч—15 |
-17,5 |
1 |
0,035 |
6 |
5Ч-Ю |
7,5 |
41 |
|
0,205 |
2 |
—15ч—10 |
-12,5 |
И |
0,055 |
7 |
104-15 |
12,5 |
26 |
|
0,130 |
3 |
-10 --5 |
-7,5 |
15 |
0,075 |
8 |
154-20 |
17,5 |
17 |
|
0,085 |
4 |
54—0 |
-2,5 |
24 |
0,120 |
9 |
20 4-25 |
22,5 |
7 |
|
0,035 |
5 |
0 -5 |
2,5 |
49 |
0,245 |
10 |
25 4- 30 |
27,5 |
3 |
|
0,015 |
Р е ш е н и е . Проверим гипотезу нормального распределения размера частиц ката лизатора (случайная величина X), определив коэффициенты асимметрии и эксцесса. Данные таблицы служат для определения выборочных среднего, дисперсии, третьего и четвертого центрального моментов случайной величины X для сгруппированных данных по формулам:
10 . |
|
10 . |
|
* |
10 . |
|
* = 2 PiXi• |
*2 = |
S |
Pi (Xi ~ |
Х)2’ Рз= |
Xi Pi (*i — х)3> |
|
i=l |
* |
1=1 |
|
|
|
i=l |
|
|
» |
10 |
» |
_ |
|
|
|
= |
2 |
Pi |
— *)*> |
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
где pf —относительная частота, определяемая по формуле (II.6). Необходимые для рас чета данные (суммы) приведены в таблице.
/ |
х/ |
P*xi |
Xj - X |
(х§ - х)7 |
(xt - у* |
(X/ - XГ |
ptfxj ~ хр Pf(Xj - хр PtfXj - хр |
||
1 |
-17,5 |
-0,6125 |
-21,8 |
475,2 |
-10360 |
225853 |
17,43 |
-362,6 |
7904,9 |
2 |
-12,5 -0,6875 -16,8 |
282,2 |
-4742 |
79659 |
15,52 |
-260,8 |
4381,2 |
||
3 |
—7,5 |
-0,5675 |
-11,8 |
139,2 |
-1643 |
19388 |
10,44 |
-123,2 |
1454,1 |
4 |
“ 2,5 |
-0,3000 |
-6,8 |
46,2 |
-314 |
2138 |
5,54 |
—37,7 |
256,6 |
5 |
2,5 |
-0,6125 |
-1,8 |
3,2 |
—6 |
10 |
0,78 |
-1,5 |
2,4 |
6 |
7,5 |
1,5375 |
3,2 |
10,2 |
30 |
105 |
2,09 |
6,2 |
-21,5 |
7 |
12,5 |
1,6250 |
8,2 |
67,2 |
551 |
4125 |
8,74 |
71,6 |
587,7 |
8 |
17,5 |
1,4875 |
13,2 |
174,2 |
2300 |
30300 |
14,81 |
195,5 |
2580,6 |
9 |
22,5 |
0,7875 |
18,2 |
331,2 |
6029 |
109720 |
11,59 |
211,0 |
3840,2 |
10 |
27,5 |
0,4125 |
23,2 |
532,2 |
12 487 |
289702 |
7,98 |
187,3 |
4345,5 |
Суммы: |
|
4,295 |
|
|
|
|
94,92 |
-114,2 |
25375 |
В результате получим х —4,30 мкм, ^ —9,71 мкм, д* —-114,2 мкм3, д * —25 375 мкм4. Определим коэффициенты асимметрии и эксцесса по формулам (11.115) и (11.116):
\ |
= |
= -0.1247. Tf*= |
—3 = —0,1455 |
||||
и их дисперсии - |
по формулам (11.117) и (11.118): |
|
|
|
|||
|
|
6(200—1) |
|
Y |
D b \ ) -0,17; |
||
|
(200 + 1) (200 + 3) = 0,029; |
||||||
*>(*) = |
24 • 200 (200 — 2) (200 — 3) |
|
5) = 0,113; |
||||
(200 -t |
I)2(200 + 3) (200 + |
|
|||||
Таким образом, имеем |
Y |
|
=0-34* |
|
|
||
3 |A > ( t;) = 0,51 |
и |
j 7;| = 0,1247 < 3 |
У D { 4 ) , |
||||
5 Y D( b ) |
= 0 '70 |
и |
| f21= 0• *455 < |
5 ]Л > (ъ ) . |
|||
Следовательно, наблюдаемое распределение можно считать нормальным.
Проверим полученный вывод при помощи критериев Пирсона и Колмогорова. Составим для вычисления этих критериев таблицу.
64
1 |
|
_oo |
—15 |
|
7 |
|
4,7 |
7 |
4,7 |
2,3 |
1,12 |
||
2 |
|
—15 -i— 10 |
11 |
|
9,50 |
18 |
14,2 |
3,8 |
|
||||
3 |
|
-10 - -5 |
|
15 |
|
19,5 |
33 |
33,7 |
0,7 |
1,18 |
|||
4 |
|
-5-^-0 |
|
24 |
|
31,6 |
57 |
65,3 |
8,3 |
1,81 |
|||
5 |
|
OH-5 |
|
49 |
|
40,3 |
106 |
105,6 |
0,4 |
1,87 |
|||
6 |
|
5 - 1 0 |
|
41 |
|
38,9 |
147 |
144,5 |
2,5 |
0,11 |
|||
7 |
|
10-15 |
|
26 |
|
29,2 |
173 |
173,7 |
0,7 |
0,20 |
|||
8 |
|
15 -20 |
|
17 |
|
15,6 |
190 |
189,3 |
0,7 |
0,002 |
|||
9 |
|
20 H- 25 |
|
7 |
|
7,7 |
197 |
197,0 |
0,0 |
0,001 |
|||
10 |
|
2 5 - + 00 |
|
3 |
|
3,0 |
200 |
200 |
|
0,0 |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
Вероятности |
вычислены |
по |
формуле |
(1.64). В качестве параметров взяты их |
|||||||||
оценки: Jc —4,3 мкм, sx —2,71 мкм. Например, для второго интервала имеем |
|
||||||||||||
|
/ _ Ш-4,3 |
|
— 15 — 4,3 |
|
|
|
|
|
|||||
Р 2 = Ф V |
9,71 |
|
|
9,71 |
|
|
9.71 I |
V |
9.71 ) |
||||
|
= ф (— 1,472) — Ф (— 1,987) = — 0,4292 + 0,4767 = 0,0475, |
||||||||||||
и после |
умножения прг —200 • 0,0475 —9,5. Так как для |
первого и последнего интерва |
|||||||||||
лов пр( <5, |
первых два и последних |
два интервала объединены |
в один. Величина X2 |
||||||||||
определяется следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г—1 |
|
|
|
|
|
|
|
Число степеней |
свободы / - “8 - 3 —5. По |
табл. |
4 приложения *0,9 5 —11,1. Так как най |
||||||||||
денное |
по |
выборке |
X2 —6,296 < * 0,95, |
то |
критерий Пирсона |
позволяет |
наблюдаемое |
||||||
распределение считать нормальным. |
|
|
|
|
разности п I F„ (х) - F(x) I. |
||||||||
Для |
применения |
|
критерия |
Колмогорова |
определены |
||||||||
Для данного случая nD = шахл I F„(x) - F(x) I = 8,3. По формуле (11.108) находим |
A.—nD/iTn = |
||||||||||||
= 0,59. По табл. 3 для уровня значимости р = 0,2, ta,e = 1, 07. Таким образом, найденное по
выборке |
Л—0,59 < Ло,в, и критерий Колмогорова также позволяет считать |
рассматрива |
емое распределение нормальным. |
|
|
18. |
Критерий согласия со2. В отличие от критерия |
X2 Пирсона |
критерий со2 (омега-квадрат) основывается на непосредственно полученных в эксперименте (несгруппированных) значениях случай ной величины X.
Пусть имеется выборка объема п случайной величины X. Проверяется гипотеза о том, что функция распределения случайной величины есть F(x). Построим эмпирическую функцию распределе ния Fn(x). Для сравнения эмпирического распределения Fn(x) с предполагаемым теоретическим F(x) рассмотрим величину
оо |
|
“2= j [fn(x)-F(x)PdF(x), |
(1 1 .121) |
предполагая, что F(x) имеет производную, т. е. плотность вероят ности
dF (х) =F' (x)dx = f (x)dx. |
(11. 122) |
Преобразуем выборку в вариационный ряд |
|
|
|||||||
|
|
|
*1 < *2 < *з < |
•• • < хп |
|
||||
и разобьем всю область интегрирования на интервалы: |
|||||||||
|
(— оо, *2), |
(*!, |
х2), |
|
хп) (*а, |
+оо). |
|||
Тогда, принимая во внимание (11.121), получим |
|
||||||||
*1 |
|
|
п—1 |
|
хи+1 |
2 |
|
|
|
*= j |
[0 -f(jt)]2df + 2 |
|
J |
[“7 " " f(JC)] |
6F+ |
J |
|||
|
|
|
*=1 |
|
|
|
|
|
(11.123) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*1 |
|
|
*1 |
|
|
xfc+l |
[т- |
-1® |
|
j |
F»(x)dF- f |
<х) |
| |
= |
3 |
] |
F (X) 1 dF = |
||
—оо |
|
|
—оо |
|
Хк |
|
|
||
['«~я х=хк+1 |
|
|У (Xk+l) - тГ Ж-тГ |
|||||||
|
3 |
х~хк |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ o o |
|
|
|
|
[ l - f (*n)l3 |
|
|
|
|
j |
[1 -F (x)]2df= |
|
|||||
|
|
*п |
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
vh^z_U |
||
|
|
k=\ |
|
|
|
|
k=\ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
(11.124) |
Объединяя члены, зависящие от F(xk) (с данным к —1,2,.. ,л), находящиеся в двух суммах (11.124), получим
Л=1
Равенство (11.125) показывает, каким образом критерий со2 за висит от отдельных членов вариационного ряда. Точное распреде ление со2 очень сложно, но исследования показали, что уже при л>40 распределение произведения лсо5; близко к некоторому предельному распределению, для которого составлены таблицы. По этим таблицам определены критические значения для величины лов2. В табл. 4 приведены квантили (W 2),-,.
Если вычисленное значение лев2 меньше табличного (лсо2),.^ -то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения F(x)
р |
( П & ) \-р |
Р |
(Т1Ь#)Х_р |
0,5 |
0,1184 |
0,05 |
0,4614 |
0,4 |
0,1467 |
0,03 |
0,5489 |
о ,з |
0,1843 |
0,02 |
0,6198 |
0,2 |
0,2412 |
0,01 |
0,7435 |
0,1 |
0,3473 |
0,001 |
1,1679 |
с выборочным Fn(x) |
не отвергается. |
При т£р> (п(а%-р гипотеза от |
|
клоняется. Уровень значимости р выбирают обычно равным 0,5. Критерий о)2 полнее, чем критерий Пирсона, использует информацию, заключающуюся в данных выборки. В группировке данных, которая' производится при применении критерия Пирсона, имеется определен ный произвол. Сама группировка приводит к некоторой потере информации, содержащейся в выборке. Кроме того, распределение лее2 значительно быстрее, чем Х2, сходится к предельному закону, особенно в области больших значений со2,которые только и существен ны для вероятностной оценки.
19. Критерий Вилькоксона. Критерий Вилъкоксона применяется для проверки гипотезы принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности. Пусть имеются выборки случайных вели чин X и Y объема т и п . Преобразуем выборки в вариационные ряды:
хх с |
х2 с |
... < хт , |
У1 < |
У г< |
••• < У п - |
Нулевая гипотеза Н° заключается в равенстве функций распределе ния F(x)=F(y). Альтернативная гипотеза Н формулируется в виде неравенства F(x)<F(y).
Критерий Вилькоксона основан на распределении общего числа инверсий, под которым понимается следующее: элементы обеих вы борок располагаются в общую возрастающую последовательность, например:
yiXxy2yzx2y ^ x Ayb ... хтуп. |
|
(II. 126) |
|
Если какому-либо значению х предшествует |
некоторый у, то эта |
||
пара дает инверсию. Так, в последовательности |
(11.126) |
дает |
одну |
инверсию с уь х2 дает три инверсии (с yv у2 и уэ) и т. д. |
|
при |
|
При т > 10 и п >0 общее число инверсии |
и распределено |
||
близительно нормально с математическим ожиданием |
|
|
|
ти = тп12 |
|
(11.127) |
|
и дисперсией |
|
|
|
|
|
(Н.128) |
|
При уровне значимости /? = 0,05, согласно (IL50), критическими значениями для нулевой гипотезы будут
и < |
ти — 1,96с,,, |
|
и |
ти + 1,96си. |
(11.129) |
Пример 14. Одним из наиболее распространенных методов идентификации матема тических моделей процессов химической технологии является получение и обработка кривых отклика при нанесении импульсных возмущений для получения так называемых С-кривых.
Исследовался гидродинамический режим работы промышленного экстрактора. С этой целью была использована С-кривая распределения времени пребывания частиц твердой фазы в реакторе, полученная сотрудниками НИУИФа импульсным методом на Воскре сенском химическом комбинате в цехе производства экстракционной фосфорной кис лоты дигидратным методом. Объектом исследования являлся 8-секционный экстрактор, на входе которого в твердую фазу (апатитовый концентрат) вводили индикатор. В ка честве индикатора использовано радиоактивное золото 198 (g —350 мкр). Перемешивание осуществляется двухъярусными мешалками (с шестью лопастями в каждом ярусе). Из последней секции часть пульпы возвращается в первую.
Объем первых четырех секций V\ = V* = Из = Ул = 76 мз. Объем последних |
четырех |
||||
секций |
Уь = Ve = V? = Ve —109 |
м3. Экспериментальная С-кривая |
снималась |
при |
нагрузке |
по пульпе Сп “ 111,5 мэ/ч, и |
величине рецикла R —9,7. Время |
пребывания в |
1-4 сек |
||
циях |
Ti = гг = гз = Гд = V/G n —76/111,5 —0,68 ч. Время пребывания в |
5—8 |
секциях |
||
Г5 = те = Т7 = те -109/111,5 -0,98 ч. |
|
|
|
||
Экспериментальная С-кривая (рис. 20), снятая на выходе пульпы из экстрактора, построена по следующим экспериментальным данным.
/, |
ч . |
. |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
С, м к р /м э |
|
|
50 |
40 |
33,8 |
30 |
26,2 |
22,8 |
19,8 |
17,2 |
14,7 |
12,6 |
10,9 |
9,2 |
7,8 |
6,6 |
|
/, |
ч . |
. |
. |
. 15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
С, мкр/м3 |
|
5,8 |
5 ,0 |
4,6 |
4,2 |
3,8 |
3,4 |
3,0 |
2,8 |
2,4 |
2,3 |
1,8 |
1,4 |
1,2 |
1,0 |
||
Р е ш е н и е . Было проведено сравнение экспериментальной С-кривой с решением системы дифференциальных уравнений для ячеечной модели с рециклом. Организацию потока в реакторе можно представить в виде структурной схемы (рис. 21). Система дифференциальных уравнений по концентрации индикатора в твердой фазе имеет вид.
“ГГ" = [Сн+Лс8— (1 |
. |
» |
|
а/ |
|
|
|
С, мкр/м3 |
|
|
|
а/ =[(1 + R)c1- ( l |
+Я)сг] — . |
||
at |
= [(1 + R) с2— (1 + Я) *] — . |
||
|
х1 |
|
|
- * • - [ ( 1 + * ) * —о +«)<*] — . |
|||
di |
|
|
|
-“Г = 10 + я) С»— (1+ R) С5) — . |
|||
at |
|
т2 |
|
а/ |
= [(1+ R) сй - (I + R) св] — . |
||
|
т2 |
|
|
- ^ . = [(1 +Я)св- ( 1 +Я)с7] — . |
|||
at |
|
т2 |
|
•~Г = Id + R)с, - (I +R) с,] — . |
|||
at |
|
т2 |
|
Рис. 20. Экспериментальная С-кривая
Рис. 21. Структурная схема реактора
где С —концентрация индикатора, мкр/мэ,- R —величина рецикла. Начальные условия для системы
а350 мкр
t = 0 = = 76 = 4’О05 МКР/М#:
>С2Ч-8=
Система уравнений (11.130) была решена методом Рунге —Кутта на ЦВМ «Минск-22». Полученные результаты представлены в виде графика (см. рис. 20, кривая 7).
г, ч . . . . |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
С расщмкр/м3 |
47,0 |
41,9 |
35,1' |
30,6 |
26,1 |
22,3 |
19,1 |
16,3 |
13,9 |
11,9 |
10,1 |
8,7 |
7,4 |
6,4 |
/, ч . . . . |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
С расч , мкр/мз |
5,4 |
4,64 |
4,0 |
3,4 |
2,9 |
2,5 |
2,1 |
1,8 |
1,5 |
|
1,1 |
0,96 |
0,8 |
0,7 |
Сравнение двух С-кривых: экспериментальной (у) |
и расчетной |
(х) —производилось |
||||||||||||
по критерию |
Вилькоксона. |
Проверялась |
гипотеза |
Н |
принадлежности |
двух |
выборок |
|||||||
(у) и (X) одной и той же генеральной совокупности. Для этого элементы обеих выборок были расположены в общую возрастающую последовательность:
X |
X |
X |
У |
X |
У |
X |
У |
X |
У |
X |
0,7 |
0,8 |
0,96 |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,8 |
1,8 |
X |
У |
У |
X |
У |
X |
У |
X |
У |
У |
X |
2,1 |
2,3 |
2,4 |
2,5 |
2,8 |
2,9 |
з,о |
3,4 |
3,4 |
3,8 |
4,0 |
У |
У |
X |
У |
X |
У |
X |
У |
X |
У |
X |
4,2 |
4,6 |
4,64 |
5,0 |
5,4 |
5,8 |
6,35 |
6,6 |
7,4 |
7,8 |
8,7 |
У |
X |
У |
X |
У |
X |
У |
X |
У |
X |
У |
9,1 |
10,1 |
10,9 |
11,9 |
12,6 |
13,9 |
14,7 |
16,3 |
17,2 |
19,1 |
19,8 |
X |
У |
X |
У |
У |
X |
У |
X |
У |
X |
X |
22,3 |
22,8 |
26,1 |
26,2 |
30 |
30,6 |
33,8 |
35,7 |
40 |
41,9 |
50 |
Определялось общее число инверсий: |
|
|
|
|
|
|
||||
и = 1 + 2 |
+ 3+ 4+ 4+ 6 + 7+ 8+ 10 + 12+13+14+15+16+ 17 + |
|||||||||
+ 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 25 + 26+ 27+ 27 = 360.
Гипотеза #о не отвергается, если число инверсий не попадает в критическую область, определяемую форМУЛами (11.129).
Случайная величина и распределена приблизительно нормально с математическим ожиданием
т„ = тп/2 = 28-28/2 = 392
и стандартом
о * - V w ('п+ и- 1) = | / * П Г (28+ 28- 1) = 59.94.
При уровне значимости /7—0,05 критическими значениями для нулевой гипотезы, согласно (11.129), буДУт:
и < 392— 1,96*59,94; |
и <274,5; |
и >391 + 1,96-59,94; |
и >509,48. |
Следовательно, число инверсий, равное 360, не попадает в критическую область, и можно считать разницу между сравниваемыми С-кривыми статистически незначимой. Таким образом, гидродинамический режим в каждой секции реактора близок к идеаль ному перемешиванию.
20. Проверка гипотезы нормальности по совокупности малых вы борок. Пусть имеется достаточно большое число п независимых выборок одного и того же объема т. Требуется проверить гипотезу нормальности генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, при условии, что параметры этих совокупностей могут иметь раз ные значения. Рассмотрим относительное отклонение
|
|
*ik — хк |
|
|
(11.131) |
|
|
sk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где х 1к—/-й |
элемент |
к-й выборки; 1ск, |
s^- среднее |
и |
среднеквадра |
тичное отклонение к-й выборки. |
величины |
т |
не зависит от |
||
Можно |
показать, |
что распределение |
|||
параметров генеральной совокупности т и а , а зависит только от объема выборки т. Плотность вероятности величины т равна
|
|
|
(— |
) |
f-2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Ж |
|
/ f \ |
при |х| < ^ |
f + |
<пл32) |
|||
= |
|
|||||||
|
у /+1 |
г 1т) |
|
|
__ |
|
||
|
|
|
о |
|
при |т| > V f + 1 |
, |
||
где |
число степеней |
свободы f= m - 2 Из |
(IL132) |
при |
разных |
значе- |
||
них т получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т== 3, |
f(z) = |
|
. |х |< |
V T ; |
|
|
|
|
т = 4, |
f (х) = |
2 VI ' |
|х| < |
У 3; |
|
(11.133) |
|
|
|
|
|
V - Т |
|
|
|
|
|
m = 5, |
|
/ (х ) = |
|т| < 2; |
|
|
||
|
т = б, |
/(*) = |
3 ( ' - т ) |
N <Кб . |
|
|
||
|
------ —— . |
|
|
|||||
4 Кб
Из (IL133) следует, что при т= 4 относительные отклонения в от дельных выборках подчиняются равномерному распределению, если исходные совокупности нормальны. Этим можно воспользоваться для
70