Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

F(xy)^.F(x^ (рис. 2, а). Ордината этой кривой, соответствующая точке

Значения функции распределения при предельных значениях аргумента соответственно равны 0 и 1:

в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины,

Задание f(x) тоже полностью определяет случайную величину. Плотность распределения является неотрицательной функцией (рис. 3). Площадь, ограниченная осью х, прямыми х = х 1 и х=х2 и кривой плотности распределения, равна вероятности того, что случайная величина примет значения из интервала х, н-х2:

— ОО

Отсюда же выводится еще одно важное свойство плотности рас­ пределения:

для непрерывной

Другие обозначения для дисперсии Dx, сх2, а 2. Корень квадратный из второго центрального момента называется средним квадратичным отклонением (или стандартом):

Третий центральный момент, разделенный на а*3, называется коэф­

называется коэффициентом эксцесса.

На рис. 4 приведены примеры плотностей распределений с не­ нулевыми коэффициентами асимметрии и эксцесса. Для сравнения штриховой линией изображена кривая с тем же математическим ожиданием тх и дисперсией ст*, но с нулевыми значениями коэф­ фициентов эксцесса и асимметрии.

Моменты существуют, если соответствующие интегралы или ряды для дискретных величин сходятся. Для случайных величин, значе­ ния которых ограничены, моменты всегда существуют. Если у

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин:

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических.ожиданий сомножителей:

Случайные величины называются независимыми, если каждая из них имеет самостоятельное распределение, не зависящее от воз­ можных значений других величин.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия неслучайной величины равна нулю:

2. Неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат:

3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожида­ нию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания:

4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, покажем, что для нормированной случайной величины справедливо утверждение (L33), т. е. если Х0=(Х — тх)/ ах, то

Пример 2. В результате испытаний двух расходомеров установлена вероятность наблюдения помех, оцениваемых по двухбалльной системе:

По приведенным данным выбрать расходомер, который в среднем имеет меньший уровень помех и более устойчивые показания.

Р е ш е н и е . Обозначим через X случайный уровень помех расходомера. Определим средний уровень помех для каждого расходомера по формуле (1.20):

Ml [XJ = 0,20.1 +0,065-2 = 0,33,

М2[Х[ = 0,03-1 +0,15-2 = 0,33.

Таким образом, средний уровень помех у обоих расходомеров одинаков и по этому показателю нельзя выбрать лучший прибор. Определим устойчивость показаний, для этого по формуле (1.25) посчитаем дисперсии уровня помех для каждого расходомера:

Dx [X] = (1 -0,33)2 0,2 + (2— 0,33)*.0,065 = 0,11;

D2[X] = ( I— 0,33)2-0,03 + (2 — 0,33)2-0,15 = 0,43.

Следовательно, лучшим является первый расходомер.

4. Равномерное распределение. Определим основные числовые характеристики одного из простейших непрерывных распределений — равномерного распределения. Равномерным распределением называется распределение, для которого плотность вероятности постоянна в определенных пределах и равна нулю вне этих пределов (рис. 6). Плотность f(x) постоянна и равна с на отрезке [а, Ь\ вне этого отрезка она равна нулю:

с при а < х<Ь,

0 при х < а или х>Ь.

Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна едини­ це: c(b - а) = 1, то с = \/(Ь - а), и плотность распределения f(x) имеет вид

I

/ (*) = 7----- при а < х < Ь,

о— а

(1.51)

f (х) = 0 при х с а или х > Ь.

Функция распределения выражается площадью кривой распределе­ ния, лежащей левее точки х. Следовательно,

I при х > Ь.

Нормальное распределение наиболее часто встречается на практике и теоретически наиболее полно разработано. Нормальный закон при некоторых условиях является предельным законом для суммы боль­ шого числа п независимых случайных величин, каждая из которых подчинена какому угодно закону распределения (теорема Ляпунова). Основное ограничение состоит в том, чтобы все слагаемые играли в общей сумме относительно малую роль. Множество событий происходит случайно вследствие воздействия на них большого числа независимых (или слабо зависимых) возмущений. У таких явлений закон распределения близок к нормальному. Нормальный закон распределения широко используется при обработке наблюдений. Пользуясь методами теории информации, можно показать, что нор­ мальное распределение содержит минимум информации о случайной величине по сравнению с любыми распределениями с той же дисперсией. Следовательно, замена некоторого распределения экви­ валентным нормальным не может привести к переоценке точности наблюдений. График плотности нормального распределения называет­ ся нормальной кривой или кривой Гаусса (рис. 9).

Рис. 10. График функции. Fo(x) стандартного нормального рас­ пределения

Нормальное распределение нормированной случайной величины называется стандартным. Его функция распределения имеет вид

X

(I.5S)

График этой функции представлен на рис. 1Q Для такой величины

Значения этой функции приводятся в табл. 1 приложения. Функция Лапласа —нечетная функция, т. е.

поэтому таблицы значений Ф(х) составлены лишь для х>0.

Для нормированной случайной величины, учитывая (1.59) и (1.60), имеем

Р (*i < Х0< х2) = Ф (х2) + V* — Ф (хг) — V2 = Ф (х2)— Ф (*,). (1.63) В общем случае

Р(х1< Х < х 2) = Р (— ^ тх < Х В< — ~ т* } =

Требуется найти вероятность того, что абсолютное отклонение случайной величины не превзойдет некоторого заданного числа е:

Для случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами тх И GX ,

Таким образом, отклонения больше чем утроенный стандарт (средне­ квадратическое отклонение) практически невозможны. Нормальное распределение обладает свойством линейности: если независимые случайные величины Х} и Х2 имеют нормальные распределения, то для произвольных чисел а и Р величина

также имеет нормальное распределение, причем из свойств математи­ ческого ожидания и дисперсии следует .