Основы создания полимерных композитов

ждая, и выбрать средние значения х,(у,) и дисперсии

Однородность дисперсий проверяется по критерию Кохрена:

G = max Sf i

и сравнивается с табличными значениями Ga при числах степеней свободы к и ni - 1 и заданном уровне значимости а - 0,05:

GX _________40_________ = 0330, 20,5 +32 + 14,5+ 13,8+ 40

у42,7 +37,4+ 13,6+ 7,65+ 51

Таким образом, G < G a = 0,412, т.е. гипотеза однородности дисперсий применима, и, следовательно, технологический процесс стационарен.

Стационарность технологического процесса является важным условием получения воспроизводимых результатов при проведении эксперимента и необходима для создания систем автоматического контроля и регулирования производства высокопрочных композитов

иизделий из них.

3.4.Выбор оптимальногорежима процесса термообработки

Стабильность упруго-прочностных характеристик армирован­ ных полимеров с жесткой сетчатой структурой определяется, в ос­ новном, частотой расположения поперечных связей, плотностью сшивки макромолекул, характером надмолекулярных структур, ко­ торые зависят не только от химического состава полимера, но и от режима отверждения. Однако, как показано в работах [126, 127], хи­ мическое строение и структура полимеров, а также степень и режимы отверждения оказывают заметное влияние на их релаксационные ха-

181

рактеристики. Упругие и релаксационные константы полимерного материала, как правило, определяются экспериментально [14, 15].

Таким образом, исследование влияния режимов отверждения (термообработки) на значения релаксационных характеристик дает возможность определить оптимальный режим отверждения, при ко­ тором обеспечиваются стабильные механические свойства полимера.

Для решения задач оптимизации при неполном знании меха­ низма процесса весьма эффективным [128] оказывается применение статистических методов планирования. В основе этих методов лежит использование упорядоченного плана расположения точек в фактор­ ном пространстве и переход к новой системе координат. Абстрагиру­ ясь от вопросов, связанных с механизмом процесса, экспериментатор строит его математическую модель по экспериментальным данным, а затем использует ее для разработки оптимальных режимов [129 - 132]. В данной книге на примере полимера УП-610, армированного полыми микросферами, режим термообработки определялся стати­ стическими методами и проверялся физическим методом, основан­ ным на оценке величин релаксационных характеристик композита.

Задача планирования эксперимента на основании использования симплекс-планирования формулируется математически следующим образом: нужно получить некоторое представление о поверхности отклика факторов, которую в общем случае можно аналитически представить в виде функции отклика или математической модели:

М{у} = ^(*1 , * 2 >•••>**)> гДе У ~ параметр оптимизации (выход про­

цесса), подлежащий изучению; лг, - переменные факторы, от которых зависит отклик и которые можно варьировать при постановке экспе­ римента [133].

Таким образом, определение условий, при которых значение па­ раметра оптимизации будет максимально близко к желаемому, реша­ ется посредством исследования математической модели, описываю­ щей область факторного пространства вблизи оптимума [128]. Поиск оптимальной области осуществляется различными методами [134]. Среди направленных методов поиска оптимальной области наиболее старым является метод Гаусса - Зейделя, при котором все факторы, кроме одного, поочередно фиксируются. Последовательное прохож­ дение всех осей факторного пространства составляет первый цикл исследования. Процедуру повторяют до нахождения оптимума. Этот метод требует большого количества опытов, и в этом его недостаток [128].

Другой способ нахождения оптимальной области, получивший название «метод крутого восхождения» (метод Бокса - Уилсона), пре­ дусматривает движение в факторном пространстве в направлении градиента с одновременным изменением значений всех факторов, при этом движение к оптимуму совершается по кратчайшему пути. Для движения по градиенту необходимо изменять независимые перемен­ ные пропорционально существующим коэффициентам регрессии и в

182

ту сторону, в которую указывает знак коэффициента. Эксперименты проводят до тех пор, пока параметр оптимизации изменится в желае­ мом направлении. Затем в районе наилучшей точки снова ставят опыты, рассчитывают линейное уравнение регрессии и продолжают движение до следующей наилучшей точки и т.д. [128, 134]. Концом крутого восхождения обычно считают момент, когда линейное урав­ нение становится неадекватным, а эффекты взаимодействия - соиз­ меримыми по величине с линейными [128].

На стадии поиска оптимальной области более эффективным ока­ зался последовательный симплексный метод планирования экспери­ мента. В основе этого метода лежит одно замечательное свойство симплекса - выпуклого многогранника, число вершин которого пре­ вышает размерность пространства на единицу: из любого симплекса можно, отбросив одну из вершин и используя оставшуюся грань, по­ лучить новый симплекс, добавив всего одну точку. Путем последова­ тельного отбрасывания вершин (наихудших точек) можно осущест­ вить перемещение симплекса в факторном пространстве. При дости­ жении оптимальной области симплекс начнет вращаться вокруг точ­ ки оптимума [128,134].

Основной особенностью симплексного метода поиска является совмещение процессов изучения поверхности отклика и перемещение по ней. Это достигается тем, что опыты ставятся только в точках фак­ торного пространства, соответствующих вершинам симплексов [134]. Правильный ^-мерный симплекс с центром в начале координат мо­ жет быть задан следующей матрицей (координаты вершин опреде­ ляются строками матрицы):

где Rj и г, - радиусы сфер, описанных (и вписанных) около /-мерного симплекса.

При длине ребра /-мерного симплекса, равной 1, радиусы опи­ санной Rj и вписанной г, сфер будут составлять:

/ = 1,2, X

*' = J 2(| +1) ’ '•

Координаты экспериментальных точек, соответствующих вершинам симплекса, представлены на табл. 15.

183

П р и м е ч а н и е . Двойной линией выделенia матрица пл[анирс)вани5 для двух факторов.

Координаты очередной точки вычисляют следующим образом (для двухфакторных задач можно пользоваться графическим мето­ дом): вначале находят координаты центра грани, лежащей против наихудшей /-й точки, по формуле

к+1

*cj ~ 'У \Х'ш

1

Затем вычисляют координаты очередной точки: хт+\tj = lxcj - xih где Ху - координата наихудшей точки.

Поиск оптимальной области осуществляли двумя методами - движением по симплексам и методом Гаусса - Зейделя.

Было выбрано два фактора, определяющих режим термообра­ ботки и влияющих на значение отклика - прочность композита при сжатии: время (Zi) и температура (Z2) термообработки. На первой

стадии исследования - поиск оптимальной области - использован симплекс, представляющий собой равносторонний треугольник АВС (рис. 13), в вершинах которого (точки 1, 2, 3) значения факторов оп­ ределили условия опытов. Базовые значения и интервалы варьирова­ ния представлены в табл. 16.

Наихудшие значения параметра оптимизации оказались в точке 1. Далее поворачиваем треугольник вокруг стороны 2 - 3 , в резуль­ тате чего получаем точку 4, координаты которой определяют условия проведения очередного опыта. Поскольку значение отклика в точке 4 меньше, чем в точках 3 и 2, отбрасываем другую наихудшую точку 2 и делаем поворот вокруг стороны, противолежащей этой точке. В ре­ зультате получаем точку 5, в которой параметр оптимизации имеет наибольшее значение из всех ранее определенных.

184

Zi, °c

Рис 13. Поиск оптимальной области термообработки

Таблица 16

Базовые значения и интервалы варьирования

Дальнейший поиск оптимальной области можно осуществить либо симплексом с более короткой длиной ребра, либо другим, на­ пример, методом Гаусса - Зейделя. Применение последнего более це­ лесообразно, так как оптимум, вероятнее всего, находится вблизи точки 5.

Постановка опытов в точках 6 - 9 подтвердила это предположе­ ние, причем было установлено, что точка 8 лежит на границе темпе­ ратурно-временной области, вызывающей деструкцию композита.

Математическую модель процесса получим, используя лишь ре­ зультаты последних пяти опытов, описывающие области оптимума. В табл. 17 представлены уровни факторов и интервалы их варьирова­ ния, а в табл. 18 - матрица планирования и результаты эксперимента.

185

Однородность дисперсий проверяли по критерию Кохрена:

т.е. гипотеза об однородности дисперсий не противоречит экспери­ ментальным данным с Р = 0,95.

Перейдем теперь к дисперсионному и регрессивному анализу скорректированных и приведенных значений прочности синтактика.

Сопоставление дисперсий групповых средних

со средневзвешенной дисперсией воспроизводимости отдельного опыта

N

показало, что изменение отклика (If и У2) статистически эффек­

тивно, что позволило перейти к регрессионному анализу. По данным

186

табл. 18, составим систему нормальны х уравнений [134]:

Таблица 18

Матрица планирования и результаты эксперимента

Решение данных систем позволило определить коэффициенты уравнений регрессии, которые после исключения незначимых коэф­ фициентов имеют вид (в координатной форме):

У, = 964,5 - 23,5х , - 14 ,5 л :,2 -0,5*2 .

У2 = 1025,9-41,05*, - 5 7 ,5 5 л:,2 -38,3*22,

Л4, = £ f ^ L . (ool(,) =5,13-3,25 = 16,70.

jNn

187

Проверка этих уравнений регрессии по критерию Фишера пока­ зала их адекватность:

г1 с2

^\ост

< ^0,05(|;9) ~ 5,1 2

Таблица 19

Матрица планирования, расчет коэффициентов уравнения регрессии, их ошибок и остаточной дисперсии

При сопоставлении экспериментальных и рассчитанных резуль­ татов (табл. 19), а также остатков и множественных коэффициентов детерминации R2, объясняющих долю разброса:

/=5

можно предположить, что уравнение регрессии будет лучше описы­ вать изученную область факторного пространства.

Исследование поверхности отклика начинаем с вычисления ка-

188

ионических коэффициентов по формуле [128]

Я2 ~ (bx| + Ь22)В + (б,ХЬ22 ~ хАЬ\2)=® ■

После подстановки в это уравнение значений коэффициентов регрессии получаем соответственно:

Поскольку канонические коэффициенты имеют одинаковые знаки, поверхность отклика является эллиптическим параболоидом с макси­ мумом в центре. По формулам

х\х= -0,8103 ( Z\ = 3,83 ч), х'с2 = 0 (zl2= 170 °с)

х" =-03566 ( Z j l = 4,21 ч), х[\ = 0 (zj1=170 °с)

и рассчитываем соответствующие им значения параметра оптими­ зации, которые оказались равными 983,54 и 1033,22 соответственно. Тогда уравнения в канонической форме приобретают следующий вид:

У*-983,54 = -0 Д с,- 1 4 Д с2

У" -1033,22 = -38,3*, - 57,55*2 •

Поскольку у канонических коэффициентов знаки одинаковые, поверхность отклика представляет собой эллиптический параболоид, причем знак минус указывает на то, что в центре поверхности нахо­ дится максимум.

Канонические уравнения использовались при построении линий равных значений откликов, которые имеют вид эллипсов. Значения отклика, соответствующие отдельным контурным линиям, выбираем с учетом величины критерия оптимизации в области эксперимента (У = 900 -г 1000) через равные промежутки.

Точки кривых находим с помощью уравнения эллипса в стан­ дартной форме

а1 «•’ '•

189

творительно согласуется с экспериментальными значениями пара­ метра оптимизации, полученными по режиму, соответствующему ко­

Необходимо отметить, что с удалением от центра оптимальной области прогнозирующая способность уравнения снижается, что обу­ словлено несовершенством выбранной матрицы планирования, по которому определялась математическая модель процесса термообра­ ботки.

Далее перейдем к определению режима термообработки компо-

190