числительной процедуры. Надлежит таким образом выбирать па­ раметры численной процедуры, чтобы исключить появление вычис­ лительной неустойчивости при исследовании модели.

3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ

Рассмотрим ситуацию, когда в одной и той же местности про­ живают две популяции, имеющие схожий рацион питания. В этом случае популяции начинают конкурировать между собой из-за ис­ точника питания. Обозначим численность одной популяции через х, а другой через у. Пусть нам известны предельные численности популяций х* и у*, которых они могли бы достигать в данной об­ ласти обитания при отсутствии конкуренции, причем обозначение

популяций введем так, чтобы выполнялось ограничение х* < у*

Тогда функции прироста с учетом конкуренции можно записать следующим образом:

где кх, ку, кф, к ^ —положительные коэффициенты пропорциональ­ ности, учитывающие особенности каждой популяции и их взаимо­ влияние.

С учетом (3.29) запишем математическую постановку данной задачи.

Математическая постановка задачи

Найти решение задачи Коши

при начальных условиях .х(0) = х0, у(0) = у0.

Как и для модели Ферхюльста, уравнения (3.30) можно приве­ сти к безразмерному виду. Рассмотрим популяции схожих организ­

Если эти условия не выполняются, то одна из популяций вы­ мирает. Из принятых соглашений следуют ограничения на числен­ ность популяций в точке равновесия:

Для данной модели имеем два параметра X и У, образующие двумерное фазовое пространство. Параметры X и Указываются фа­ зовыми переменными. Любое решение X(t), Y(t) системы (3.32) мож­ но интерпретировать геометрически как кривую в трехмерном про­ странстве переменных t, X, У, которая называется интегральной кривой. Проекция интегральной кривой на фазовое пространство называется фазовой траекторией.

Уравнения (3.32) в левой части содержат производные по вре­ мени, которые можно интерпретировать как скорости изменения переменных Х и У Поэтому можно считать, что уравнения (3.32) в каждой точке фазового пространства определяют некоторую ско­ рость, задаваемую вектором т= (/1, / 2), компоненты которого зада­ ются величиной правой части соответствующего уравнения в дан­ ной точке фазового пространства. Такая область фазового простран­ ства с заданным в каждой точке направлением называется полем скоростей, или полем направлений. Пример такого поля для систе­ мы (3.32) приведен на рис. 3.12.

Как можно видеть, при приближении к точкам равновесия дли­ на вектора скорости уменьшается и в самой точке равновесия ста­ новится равной нулю. Геометрически интегрирование системы уравнений (3.32) сводится к нахождению кривых, у которых направ­ ление касательной в каждой точке совпадает с направлением век­ тора т в данной точке поля направлений.

Проверка устойчивости точек равновесия для систем дифферен­ циальных уравнений имеет свои особенности. Согласно теореме Ляпунова скорости изменения малого параметра при разложении в ряд в точке равновесия имеют вид

Рис. 3.12. Поле скоростей для системы (3.32)

( ^ = ц у = 0,5; гх = гу = 0,1; Х (4) = У<4) = 2/3; Y* = 1 )

Коэффициенты при 5£j и 6^2 образуют матрицу линеаризации

Собственные значения Хк этой матрицы найдем из следующего соотношения:

Если все собственные значения Хк матрицы А удовлетворяют неравенству Re X* < 0, к= 1, 2, то данное положение равновесия асимптотически устойчиво. Если же хотя бы для одного собствен­ ного значения вещественная часть больше нуля, то положение не­ устойчиво.

В зависимости от значений Хк особые точки системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть четырех типов:

1. Узел —корни Л,| и Х2 действительные и одного знака (рис. 3.13, а,б).

2.Седло —корни Х1иХ2действительные, но разных знаков (рис. 3.13, в). Положение равновесия неустойчиво. Траектории I и II на­ зываются сепаратрисами.

3.Фокус —корни Ц и ^2 комплексно-сопряженные (но не чисто

мнимые) (рис. 3.13,г,д).

4. Центр —корни Xj и Х2 чисто мнимые (рис. 3.13,е). Запишем (3.37) в виде X2-ВХ+С =0, где В = ап + о22, С =

= ап а22 —ai2a2V Соответственно дискриминант D уравнения име­ ет вид

D —В2 —4С —(й|j —а22^ ^а12°21'

Для собственных значений получим

(3.38)

Несложный анализ решения (3.38) позволяет сформулировать следующие условия:

1. Если дискриминант равен нулю или один из коэффициен тов С|2 или a2i равен нулю, то приходим к состоянию устойчивого или неустойчивого узла.

г.

Рис. 3.13. Типы особых точек системы двух дифференциальных уравнений:

а— устойчивый узел; б — неустойчивый узел; в — седловая точка;

г— устойчивый фокус; д — неустойчивый фокус; е — центр [64]

2.Если коэффициенты а12и o2i одного знака и не равны нулю, то корни уравнения (3.37) действительные, и возможно состояние как узловой, так и седловой точки.

3.Если коэффициенты а12и а21 имеют разные знаки, не равны

нулю и выполняется условие (оц _а22^2 <Kai2a2i| >т0 ПРИ а\\ = —

а22 получаем чисто мнимые корни уравнения (3.37) и, соответ­ ственно, условие центральной точки. Иначе неминуемо приходим к состоянию устойчивого или неустойчивого фокуса.

Выполним анализ положений равновесия для системы уравне­ ний (3.32). Для первой точки равновесия (ЛФ = I*1) = 0) имеем

Так как гх и гу —положительные вещественные числа, то пер­ вая точка равновесия является неустойчивым узлом. Для второй точки равновесия (Ж2) = 0, № = Y*) имеем

А =

При |1ХУ* < 1 значение Я., положительно, т.е. это положение

отрицательно, т.е. имеем устойчивый узел, следовательно, при вы­ полнении ограничения (3.356) популяция Xвымирает.

Для третьей точки равновесия (Л<3) = 1, I*3) = 0) имеем

При Цу < 1 значение Я,2 положительно, т.е. данное положение

равновесия также является седловой точкой. При |ху > 1 значение

Я.2 отрицательно и опять получаем устойчивый узел. Таким обра­ зом, при выполнении ограничения (3.356) популяция Y вымирает.

Для четвертой точки равновесия

jf(4)=lz^Zl Y(4]~ Y*~^y

1 - W y ’

получим А =

Если коэффициенты цх и \iy положительны, то имеем коэф­

фициенты ап и <*2i одного знака и не равные нулю, т.е. собствен­

ные значения Xj и Х2 действительные, и возможно состояние как

узловой, так и седловой точки. Так как Л^4) и положительные, то сумма элементов ац и д22 матрицы линеаризации имеет отри­ цательное значение. Следовательно, чтобы получить отрицательные

собственные значения Xj и Х2 , необходимо выполнить условие

( й ц + Д22) 2 > ИЛИ а 11а 22 > а 12а 21-

Подставляя значения коэффициентов матрицы линеаризации, находим, что

(3.39)

Полученное ограничение справедливо при выполнении ограниче­ ния (3.35а).

Таким образом, проведенный анализ позволяет заключить, что совместное существование популяций возможно при выполнении ограничения (3.35а). На рис. 3.14 показана допустимая область зна­ чений для устойчивого совместного существования популяций. Об­ ласть представляет собой прямоугольник, один из узлов которого

Для построения области необходимо:

1)выбрать значение У* и отложить его на оси ординат;

2)провести через полученную точку горизонтальную линию до

3) из точки пересечения провести вертикальную линию до пе­ ресечения с осью абсцисс.