сификации таких моделей, поскольку включает в себя все много­ образие имеющихся в настоящее время математических моделей.

С развитием вычислительной техники большое распростране­ ние получили информационные модели, представляющие, по суще­ ству, автоматизированные справочники, реализованные с помощью систем управления базами данных. Получая на входе некоторый запрос на поиск требуемой информации, подобные модели позво­ ляют найти всю имеющуюся в базе данных информацию по инте­ ресующему вопросу. Однако такие модели не могут генерировать новое знание, отсутствующее в базе данных. Можно сказать, что это модели с нулевым потенциалом. В то же время в сочетании даже с весьма простыми математическими моделями (например, с приме­ нением регрессионного анализа) информационные модели могут привести к открытию новых закономерностей, позволить прогно­ зировать развитие исследуемых процессов.

Так как в качестве входных или выходных параметров моделей могут выступать математические объекты, а саму процедуру поис­ ка данных можно представить в виде некоторого оператора, то ин­ формационные модели можно считать специфической разновидно­ стью математических моделей. В данном пособии информацион­ ные модели и особенности их построения рассматриваться не будут.

1.3. Классификация математических моделей

Черная королева покачалаголовой: «Вы, конеч­ но, можете назвать это чушью, ноя-то встреча­ ла чушьтакую, чтов сравнении снейэтакажется толковым словарем».

Л. Кэрролл

Классификационные признаки

Бурное развитие методов математического моделирования и многообразие областей их использования привело к появлению ог­ ромного количества моделей самого разного типа. В связи с этим возникает необходимость в определенном упорядочивании, клас­ сификации существующих и появляющихся математических моде­ лей. Учитывая большое число возможных классификационных признаков и субъективность их выбора, появление все новых клас­ сов моделей, следует отметить условность и незавершенность рас­ сматриваемой ниже классификации.

36

го примера число сценариев возможного поведения системы равно 82 = 64.

Поведение системы быстро усложняется с ростом числа ее эле­ ментов системы. Так, для системы из 10 элементов при М= 2 чис­ ло состояний S= 1024, а число сценариев равно 1 048 576. Данное обстоятельство, с одной стороны, говорит о сложности систем и многовариантности их поведения. С другой стороны, следует ожи­ дать наличия больших трудностей, возникающих при изучении и моделировании систем.

Конечно, деление объектов исследования на «простые» и «слож­ ные» условно. Поскольку для любых известных процессов, явлений, материальных тел невозможно выделить их «элементарные кирпи­ чики», «атомы», то любой объект исследования можно считать бес­ конечно сложным. Упрощение его строения при разработке моде­ ли выполняется в результате отбрасывания малозначимых, несуще­ ственных для достижения поставленных на данный момент целей исследования связей между составляющими объект элементами. При изменении целей исследования или повышении требований к точности и глубине модели приходится, как правило, пересматри­ вать уровень детализации объекта.

Модели объектов-систем, учитывающие свойства и поведение отдельных элементов, а также взаимосвязи между ними, называ­ ются структурными. Более подробно модели подобного типа будут рассмотрены в гл. 4.

Среди структурных динамических систем выделяют в отдель­ ный подкласс имитационные системы, состоящие из конечного числа элементов, каждый из которых имеет конечное число состо­ яний. Число связей между элементами также предполагается конеч­ ным. Моделирование взаимодействий элементов внутри системы осуществляется с помощью некоторого алгоритма, реализуемого обычно с использованием ЭВМ. Для моделирования на ЭВМ ре­

ального времени вводится понятие системного времени. В качестве моделей отдельных элементов могут быть использованы модели любого типа. Модели имитационного типа более подробно рассмот­ рены в гл. 7.

Как правило, взаимодействие внешней среды со сложной сис­ темой полностью проследить не удается, что приводит к неопреде­ ленности внешних воздействий и, как следствие, неоднозначности в поведении самой системы. Наличие подобной неопределенности является характерной особенностью сложных систем.

Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели

Выше отмечалось, что любая математическая модель может рас­ сматриваться как некоторый оператор А, который является алго­ ритмом или определяется совокупностью уравнений —алгебраи­ ческих, обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), си­ стем ОДУ (СОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), интегродифференциальных уравнений (ИДУ) и др. (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Классификация в зависимости от оператора модели

Если оператор обеспечивает линейную зависимость выходных параметров Уот значений входных параметров X, то математичес­ кая модель называется линейной (рис. 1.7). Линейные модели более просты для анализа. Например, из свойства линейности следует свойство суперпозиции решений, т.е. если известны решения У1при

Х1 и Y2 при Х2, то решение для вы­ ходных параметров при Х= Х2 + Х2 есть 7= 7j + Y2. Предельные значе­ ния 7 для линейных моделей дости­ гаются, как правило, на границах об­ ластей С1Х допустимых значений входных параметров.

Исторически первыми стали раз­ рабатываться и исследоваться имен­ но линейные математические модели. Область применения подобных моде­ лей очень широка. Она охватывает классическую механику, электроди­

намику, аналитическую химию и биологию. Методы их построения, разрабатывавшиеся в течение столетий, обладают большой общно­ стью и эффективностью.

к исследованию в настоящее время далека от завершения. Являясь более богатым и сложным, мир нелинейных моделей представля­ ется для современной науки более перспективным в плане откры­ тия новых закономерностей и описания сложных явлений. Напри­ мер, такие явления, как солитоны и хаос (см. гл. 6), нельзя с дос­ таточной степенью адекватности описать в рамках традиционных линейных моделей. Методы исследования нелинейных моделей в настоящее время быстро прогрессируют, складываясь в новые на­ учные направления. К таким относительно новым направлениям

>совокупность входных (управляемых) воздействий на объект Фх);

>совокупность воздействий внешней среды (неуправляемых) (П^);

>совокупность внутренних (собственных) параметров объек­ та (Q7);

>совокупность выходных характеристик (fly).

Например, при моделировании движения твердого тела в ат­ мосфере в поле сил тяжести входными параметрами могут быть на­ чальное положение и начальная скорость точки, принятой за по­ люс, а также угловая скорость в момент времени t = 0. Сила сопро­ тивления и сила тяжести характеризуют воздействие внешней среды. Масса тела и его форма являются собственными параметрами тела. Координаты и скорости точек тела (при t > 0) относятся к выход­ ным параметрам.

Вто же время отнесение параметров к входным или выходным зависит от постановки конкретной задачи. Например, в приведен­ ном примере можно переформулировать задачу, сделав ее обратной

кисходной: определить начальное положение и скорости (линей­ ную скорость полюса и угловую скорость тела) по заданному поло­ жению и скоростям в момент времени tx > 0. Понятно, что в дан­ ном случае входные и выходные параметры меняются местами.

Входные параметры X, параметры, описывающие воздействие внешней среды Е, и внутренние (собственные) характеристики / объекта относят обычно к независимым (экзогенным) величинам. Вы­ ходные параметры Y — зависимые (эндогенные) величины.

Вобщем случае оператор модели А преобразует экзогенные па­

раметры в эндогенные А: {X, Е, /} -» Y.

Следует отметить, что введенные здесь внутренние характерис­ тики, являющиеся независимыми (от внешних воздействий) вели­ чинами, не следует смешивать с так называемыми внутренними пе­ ременными, широко используемыми в механике сплошных сред, термодинамике и других естественно-научных дисциплинах. К та­ ким внутренним переменным относится, например, плотность дислокаций в моделях физики твердого тела и мезомеханики, ко­ торая, безусловно, зависит от внешних воздействий.

Количество параметров всех типов в математических моделях, как правило, конечно (хотя параметры или функции могут принад­ лежать любому бесконечномерному функциональному простран­ ству). При этом каждый из параметров может иметь различную «ма­ тематическую природу»: быть постоянной величиной или функци­

ей, скаляром или вектором (или тензором второго, третьего и выше рангов), четким или нечетким множеством и т.д. В математичес­ ких моделях, рассматриваемых в естественных науках, наиболее распространенными являются параметры, являющиеся тензор-знач- ными функциями (напомним, что скаляр —тензор нулевого ранга, а вектор - тензор первого ранга). В качестве независимых перемен­ ных (аргументов) при этом обычно выступают координаты точек трехмерного пространства и/или время (или некоторый неубыва­ ющий параметр —аналог времени).

Введение тех или иных количественных характеристик объек­ та моделирования возможно при наличии эталона сравнения. На­ пример, для характеристики размеров тела используется эталонный образец —метр. По своей природе характеристики объекта могут быть как качественными, так и количественными. Для количествен­ ной характеристики вводятся числа, выражающие отношения между данным параметром и эталоном. Кроме того, количественные зна­ чения параметра могут выражаться дискретными или непрерывны­ ми величинами. Качественные характеристики находятся, напри­ мер методом экспертных оценок. В зависимости от вида использу­ емых множеств параметров модели могут подразделяться на

качественные и количественные, дискретные и непрерывные, а также смешанные.

При построении моделей реальных объектов и явлений очень часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Как правило, для любого исследуемого объекта распределение свойств, параметры воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. Это связано с множеством трудно учитываемых факторов, ограниченностью числа используемых па­ раметров модели, конечной точностью экспериментальных изме­ рений. При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенности параметров:

1)детерминированное —значения всех параметров модели оп­ ределяются детерминированными величинами (т.е. каждому пара­ метру соответствует конкретное целое, вещественное или комплек­ сное число либо соответствующая функция). Данный способ соот­ ветствует полной определенности параметров;

2)стохастическое —значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плот­ ностями вероятности. В литературе наиболее полно исследованы случаи нормального (гауссова) и показательного распределения случайных величин;

3)случайное —значения всех или отдельных параметров моде­ ли устанавливаются случайными величинами, заданными оценка­ ми плотностей вероятности, полученными в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных параметров. Эта форма описания тесно связана с предыдущей. Однако в рассматри­ ваемом случае получаемые результаты моделирования будут суще­ ственным образом зависеть от точности оценок моментов и плот­ ностей вероятности случайных параметров, от постулируемых за­ конов распределения и объема выборок;

4)интервальное —значения всех или отдельных параметров мо­ дели описываются интервальными величинами, заданными интер­ валом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра;

5)нечеткое —значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему не­ четкому множеству. Такая форма используется, когда информация

опараметрах модели задается экспертом на естественном языке, а следовательно, в «нечетких» (с позиции математики) терминах типа «много больше пяти», «около нуля».

В теории игр [34, 40, 77] встречается еще один вид неопреде­ ленности параметров модели, называемый игровой неопределеннос­ тью. В данном пособии указанный вид неопределенности не рас­ сматривается.

Разделение моделей на одномерные, двухмерные и трехмерные

применимо для таких моделей, в число параметров которых входят координаты пространства, и связано с особенностями реализации этих моделей, равно как и с резким увеличением их сложности при возрастании размерности (с «проклятием размерности» по образно­ му выражению Р. Веллмана). Как правило, увеличение размернос­ ти модели приводит к росту числа используемых математических соотношений. Особенно сложны в реализации трехмерные модели, требующие высокопроизводительной вычислительной техники с большим объемом оперативной и дисковой памяти. Реализация таких моделей стала возможной лишь с появлением вычислитель­ ных машин третьего поколения и потребовала создания специаль­ ных вычислительных методов и приемов.

Как правило, эффективная реализация трехмерных моделей возможна лишь на многопроцессорных вычислительных комплек­ сах с использованием языков параллельных вычислений. Среди ха­ рактерных вычислительных трудностей, с которыми сталкиваются при создании моделей в трехмерной постановке, можно отметить

необходимость хранения и решения систем уравнений большой раз­ мерности (10 тысяч уравнений и более), проблемы подготовки ис­ ходной информации и ее проверки, наглядное отображение полу­ ченных результатов. При разработке модели стараются (если это возможно) понизить размерность. Однако необоснованное пониже­ ние размерности модели может существенно исказить результаты моделирования. Например, если для исследования движения бро­ шенного мяча в вертикальной плоскости использование двухмер­ ной модели может быть оправдано, то для исследования движения бумеранга такую модель строить бесполезно.

Из всей совокупности параметров при разработке различных моделей отдельно следует рассмотреть учет времени. Как и коор­ динаты, время относится к независимым переменным, от которых могут зависеть остальные параметры модели. В различных ситуа­ циях объект исследования может по разному испытывать влияние времени. Обычно чем меньше масштаб объекта, тем существеннее зависимость его параметров от времени. Если сравнивать скорости изменения различных объектов по отношению к масштабам, харак­ терным для Земли, то можно отметить, что для галактик время за­ метных изменений измеряется миллионами лет, а для элементар­ ных частиц —миллионными долями секунды. Учитывая, что весь окружающий нас материальный мир состоит из постоянно изменя­ ющихся и взаимодействующих элементарных частиц и полей, то все без исключения объекты исследования следует считать изменяющи­ мися во времени.

Любой объект стремится перейти в некоторое равновесное со­ стояние как с окружающей его средой, так и между отдельными эле­ ментами самого объекта. Нарушение этого равновесия приводит к изменениям различных параметров объекта и его переходу в новое равновесное состояние.

При построении модели важным является сравнение времени существенных изменений внешних воздействий и характерных временных переходов объекта в новое равновесное состояние с ок­ ружающей средой, а также времени релаксации, определяющего ус­ тановление равновесия между отдельными элементами внутри объекта. Если скорости изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации, то яв­ ной зависимостью от времени в модели можно пренебречь. В этом случае говорят о квазистатическом процессе.

Например, если скорость появления микротрещин в элементах конструкции моста, связанная с сезонными колебаниями темпера­

туры и переменностью нагрузок, невелика, то расчет его максималь­ ной несущей способности можно проводить в рамках статической модели. Срок службы моста в этом случае можно определить с помощью квазистатической модели, использующей зависимость прочностных свойств материала моста от суммарного числа цик­ лов нагружения до разрушения.

Совокупность значений параметров модели в некоторый мо­ мент времени или на данной стадии называется состоянием объек­ та.

Если скорости изменения внешних воздействий и параметров состояния изучаемого объекта достаточно велики (по сравнению со скоростями релаксации), то учет времени необходим. В этом слу­ чае объект исследования рассматривают в рамках динамического процесса.

Условие движения отдельных элементов исследуемого объекта не является обязательным условием включения времени в число па­ раметров модели. Для примера рассмотрим течение жидкости в

остается неизменным. В этом случае в каждой фиксированной точке исследуемого пространства

значения параметров модели не зависят от времени.

Подобные процессы называют стационарными. Как правило, стационарные модели применяются для описания различных пото­ ков (жидкости, газа, тепла) в случае постоянства условий на входе и выходе потока. Для таких процессов время может быть исключе­ но из числа независимых переменных.

Если в качестве одной из существенных независимых перемен­ ных модели необходимо использовать время (или его аналог), то модель называется нестационарной. Примером нестационарной мо­ дели является модель движения жидкости в трубе, но вытекающей