4.3.ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ

речь. Все это позволяет в качестве моделей каждого элемента системы выбрать материальную точку с заданной массой. При этом одну точку мож­ но считать условно неподвижной (Солнце), а две другие - движущимися в одной плоскости под действием центральных сил, определяемых соглас­ но закону всемирного тяготения. В этом случае для произвольного мо­ мента времени структурная схема системы будет иметь вид, изобра­ женный на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Структурная схема системы двух тел в поле центральных сил

Теперь с учетом того, что положение точки на плоскости в любой мо­ мент времени описывается с помощью двух координат, определение тра­ екторий движения точек 1 и 2 данной системы сводится к нахождению функций координат от времени xf (/), yt (/), / = 1 , 2 , которые и будут вы­

ходными параметрами построенной структурной модели.

Теперь осталось установить функциональную связь между выходны­ ми и входными параметрами системы, к которым, в частности, относятся массы планет и расстояния между их центрами. Для этого в соответствии с выбранной структурной схемой достаточно записать дифференциальные уравнения движения двух материальных точек, находящихся в поле цен­ тральных сил. Однако это необходимо делать в рамках следующего этапа математического моделирования, а именно —математической постанов­ ки исходной задачи.

Математическая постановка задачи. Требуется определить функции координат от времени х,- (/), yt (/), / = 1 , 2 , описывающие движение двух ма­

териальных точек, находящихся под действием четырех центральных сил, указанных на структурной схеме (рис. 4.12).

к которой добавляются начальные условия для величин ^(О), ^ ( 0 ), vljc(0 ), vljF(0) и ^(О), у 2(0), v^O), v2y(0). Решая численно систему (4.9) с учетом

начальных условий, получаем таблицу значений координат и скоростей планет в зависимости от времени. Траектории движения Земли и Луны, находящихся в поле центральных сил, приведены на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Траектории движения Земли и Луны в поле центральных сил (а); фрагмент 1 траектории движения Луны в окрестности траектории Земли (б)

Пример 4.2. Структурная модель упругопластического тела.

Многие тела при деформировании проявляют упругие, пластические и вязкие свойства. Для моделирования подобных сложных систем удобно использовать структурные элементы, описывающие в отдельности тот или иной физический механизм деформирования [48].

Упругий механизм деформирования, как было показано в разд. 4.1, можно моделировать с помощью структурного элемента в виде линейной или нелинейной пружины (рис. 4.14,д). На диаграмме а—е (напряжениедеформация) угол наклона прямой (или модуль упругости тела Е) зависит от жесткости пружины с.

Пластический механизм может быть смоделирован с помощью струк­ турного элемента сухого трения (Р), изображенного на рис. 4.14,5. Из ди­ аграммы а -е видно, что пластическое деформирование может начаться только при достижении некоторого напряжения о$у которое называется пределом текучести и значение которого ассоциируется с величиной коэффициента сухого трения /

Вязкий механизм можно изобразить с помощью структурного элемен­ та вязкого трения (рис. 4.14,в), сопротивление перемещению которого зависит от коэффициента вязкого трения v и скорости перемещения.

Теперь, рассматривая различные комбинации соединения структур­ ных элементов, можно строить структурные модели тела с различными де­ формационными свойствами. Таким образом, в данном случае тело мо­ делируется с помощью агрегата, состоящего из нескольких соединенных между собой структурных элементов. Свойства агрегата в значительной степени зависят от способа соединения элементов (структурной схемы).

На рис. 4.15 приведено несколько простейших агрегатов. Как видно, путем перестановки последовательно соединенных двух структурных эле­ ментов можно получить агрегаты с различными свойствами. Первый из них (рис. 4.15,я) будет обнаруживать лишь пластические свойства (модель упрочняющегося жестко-пластического тела), а второй (рис. 4.15,6) — упругие и пластические свойства (модель идеального упругопластическо­ го тела).

а)

б)

шт

8

Рис. 4.15. Виды упругопластических агрегатов

С помощью различного соединения структурных элементов можно получать и другие интересные свойства агрегатов. Например, при после­ довательном соединении вязкого и упругого элементов в них возникают одинаковые усилия (напряжения), но различные перемещения и скорос­ ти перемещений (деформации и скорости деформаций). Такая модель на­ зывается телом Максвелла (рис. 4.16,д). При параллельном соединении этих же структурных элементов свойства агрегата изменяются (рис. 4.16,6); элементы будут испытывать одинаковые деформации (скорости деформа­ ций), но различные напряжения (тело Фойхта).

Рис. 4.16. Структурные модели: а —Максвелла; б —Фойхта

Следует отметить, что все приведенные выше структурные модели описывают только одноосное напряженно-деформированное состояние, хотя с помощью более сложных структур можно моделировать и сложное (трехосное) нагружение [48].

После построения структурной модели тела можно получить для это­ го тела определяющие соотношения, устанавливающие функциональную зависимость между мерами напряженного и деформированного состоя­ ний всего агрегата, что является одной из самых сложных задач в меха­ нике деформируемого твердого тела (в частности, в теории пластичнос­ ти) [85]. В соответствии с таким подходом вначале обычно строится мо­ дель материала, описывающая одноосное нагружение. С этой целью на основе физического анализа и имеющихся экспериментальных данных определяется набор элементарных структурных элементов, отвечающих за тот или иной механизм деформирования. Затем строится структурная схема, включающая различные способы соединения введенных структур­ ных элементов (т.е- получения агрегатов). Записываются одноосные оп­ ределяющие соотношения, константы которых уточняются из эксперимен­ тов (на одноосное нагружение). После этого с помощью дополнительных гипотез осуществляется переход к многомерным моделям.

Рассмотрим пример получения определяющих соотношений, приве­ денный в [48].

Содержательная постановка задачи. Построить определяющие соот­ ношения для упругопластического упрочняющегося изотропного тела, учитывающие упругие, пластические и вязкие механизмы деформирова­ ния.

Концептуальная постановка. Для построения связи между мерами на­ пряженного и деформированного состояний (и/или их скоростями) уп-

ругопластического тела рассмотрим для произвольного момента процесса деформирования двумерную структурную модель тела, включающую все виды структурных элементов и условно изображенную на рис. 4.17. От­ метим, что в данной схеме внешние упругие элементы моделируют упру­ гое деформирование, а внутренний упругий элемент описывает эффект деформационного упрочнения. Вязкие элементы моделируют скоростное упрочнение (или разупрочнение) материала при деформировании. Вслед­ ствие того, что тело считается изотропным, упругие и вязкие свойства тела в обоих направлениях совпадают. Это можно легко смоделировать, задав одинаковые характеристики структурных элементов (си v).

Рис. 4.17. Двумерная структурная модель упругопластического упрочняющегося тела

Обозначим усилия, действующие на внешние упругие элементы, че­ рез Tj и Г2, усилия во внутренних вязких элементах - через и S%, а усилие во внутреннем упругом элементе —через Sе. Перемещения во вне­ шних упругих элементах обозначим через /1 и /2, перемещения пластичес­ кого элемента - через ^ и ^2. Требуется установить функциональную за­ висимость между внешними воздействиями (усилиями Тх и Т2) и откли­ ком системы (ее перемещениями). Другими словами, необходимо определить функциональную зависимость вида е = F(o) , где е - некото­ рая мера деформаций; а —мера напряженного состояния; F —неизвест­ ный оператор, вид которого требуется определить. При этом будем счи­ тать, что полная деформация складывается из упругой, пластической и вязкой деформаций.

Математическая постановка задачи. Найти функциональную зависи­ мость (вид оператора F) между мерами напряженного и деформирован­ ного состояний упругопластического упрочняющего тела. Для этого вос­

пользуемся построенной структурной моделью. Для внешних упругих элементов можно записать

Очевидно, что перемещение пластического элемента Р (поршень в ци­ линдре с сухим трением) будет происходить, когда результирующие уси­ лия достигнут некоторого предельного значения

где К — предельное значение силы сухого трения, а внутренние усилия определяются следующим образом:

=iS^ + S e cosa; S2 = S2 + S e sina; tana = 7^/7}.

Приращение перемещения элемента пластичности происходит по на­ правлению равнодействующей, т.е.

Сила натяжения во внутренней пружине связана с перемещениями следующим образом:

Перемещения вязких элементов связаны с усилиями следующими соотношениями:

Соотношения (4.10)—(4.14) полностью описывают механическое по­ ведение построенной структурной модели. Переходя от усилий к напря­ жениям, а от перемещений к деформациям, их можно переписать в фор­ ме, принятой в теории пластичности [48]. Предварительно заметим, что из условия (4.11) следует, что существует функция нагружения g, с помо­ щью которой можно установить момент возникновения пластических деформаций. При этом функция нагружения имеет вид окружности по­ стоянного радиуса R. Тогда условие (4.11) можно переписать в виде

Здесь под S понимается тензор внутренних напряжений. Это условие из­ вестно в теории пластичности как условие пластичности Мизеса [48].

Соотношения (4.12) показывают, что вектор скоростей пластических деформаций должен быть направлен по нормали к поверхности нагруже­ ния g, что соответствует известному ассоциированному закону пластичес­ кого течения [48]:

где dk —некоторый множитель. Тогда определяющие соотношения, соот­ ветствующие построенной структурной модели, имеют вид:

Здесь под Ex понимается модуль упрочнения материала, зависящий от жесткости внутренней пружины и коэффициента вязкого трения.

Система (4.17) полностью описывает поведение упругопластичного тела с учетом эффектов деформационного и скоростного упрочнения. При этом, изменяя параметры системы (с, q , v и Д можно получать различ­ ные диаграммы деформирования (рис. 4.18). Например, задавая жесткость внутренней пружины и коэффициент вязкого трения пренебрежимо ма­ лыми, получим модель идеальноупругопластического тела (кривая 1 на

рис. 4.18). Если, наоборот, эти коэффициенты задать достаточно болыии-

ми, то пластический элемент «включаться» не будет, и получим модель упругого тела (прямая 4). В том случае, когда коэффициент вязкого тре­ ния мал, а жесткости внешних пружин выше жесткости внутренней пру­ жины, имеем модель упругопластического тела с линейным упрочнением (кривая 2). И, наконец, можно подобрать коэффициент вязкого трения и жесткость внутренней пружины таким образом, что получим модель уп­ ругопластического тела с нелинейным упрочнением (кривая 3).

Пример 4.3. Оптимальное распределение инвестиций в системе с иерар­ хической структурой.

В качестве примера моделирования системы с иерархической струк­ турой рассмотрим задачу, приведенную в [75].

Содержательная постановка задачи. Пусть задано некоторое объеди­ нение N промышленных предприятий (акционерное общество, трест, синдикат и т.п.), выпускающих однотипную продукцию. Известно, что в данном объединении принята система управления в виде двухступенча­ той веерной иерархической структуры (см. рис. 4.7). Во главе объедине­ ния находится Совет директоров, который принимает решения и кото­ рый в дальнейшем будем называть центром. В распоряжении центра на­ ходится инвестиционный фонд, объем средств которого равен U. Требуется найти такое оптимальное распределение инвестиций между предприятиями, при котором общий объем продукции, выпускаемой всем объединением, будет максимальным.

Концептуальная постановка задачи. В данном случае система представ­ ляет собой совокупность N + 1 неравноправных элементов. При заданной схеме управления центр является привилегированным элементом, хотя сам продукции не производит и результат его деятельности определяется ре­

зультатом производственной деятельности производителей Д ,/ = 1, N.

Обозначим через Р. объем продукции, выпускаемой /-м предприятием. В соответствии с содержательной постановкой задачи, целевая функция центра имеет вид

N

(4.18)

ы

При данной схеме управления центр не может назначать объемы про­ изводства Pi9 i = l, ЛГ, он лишь косвенно влияет на них, учитывая цели производителей. Будем считать, что объем производства Pt зависит от ос­ новных фондов производителей х( и численности рабочих /,., т.е.

Из (4.27) видно, что целевая функция центра / 0 (i/f-) линейна относи­

тельно Uj. Тогда решение задачи (4.26) очевидно. Необходимо вычислить

все коэффициенты перед щ, / = 1, N , в формуле (4.27) и отдать весь инве­

стиционный фонд тому предприятию, у которого этот коэффициент бу­ дет больше.

Если целевая функция / 0 будет иметь более сложный вид или в каче­

стве модели производства выбраны более сложные функции, такое про­ стое решение задачи (4.26) получить не удается. Тогда, используя реше­

ния для /Дн,), можно найти оптимальные значения инвестиций , рас­

сматривая данную систему как имитационную.

Имитируя действия центра, можно направлять различные объемы ин­ вестиций в предприятия, вычисляя при этом значения /,•, Р, и / 0 по соот­

ветствующим формулам. То распределение инвестиций, которое даст наи­ большее значение целевой функции / 0, можно считать оптимальным. Конечно, при таком имитационном подходе можно перебрать только ог­ раниченное число распределений инвестиций. Однако при наличии со­ временной вычислительной техники это число может быть достаточно большим, особенно если необходимо чтобы удостовериться в правильно­ сти принятого решения. Более подробно имитационный подход будет рас­ смотрен в гл. 7.

Пример о баскетболисте (продолжение). Как было отмечено в гл. 2 при

концептуальной постановке данной задачи, в качестве объекта исследо­ вания в общем случае должна рассматриваться система: игрок—мяч—щит- кольцо. Если целью моделирования является описание движения мяча в полете, то взаимодействием его с другими элементами системы можно пре­ небречь. Если же в качестве цели выступает оценка попадания мяча в коль­ цо, то учет взаимодействия необходим [126]. Это связано с тем, что мяч в кольцо может попасть не «чисто», а после отскока от щита и/или дужки кольца. При этом отскок последовательно может осуществляться несколь­ ко раз подряд до попадания мяча в кольцо (рис. 4.20). Поэтому необхо­ димо моделировать все стадии полета мяча, к которым можно отнести следующие: полет мяча до кольца или щита (траектория 1 на рис. 4.20), взаимодействие мяча со щитом (2 ), отскок от щита (3), взаимодействие

с дужкой кольца (4) и отскок от кольца (5).

Моделирование первой стадии полета мяча проведено в гл. 2 , поэто­

му здесь оно рассматриваться не будет, хотя выходные параметры модели (координаты и скорость центра мяча в момент касания кольца или щита) будут использоваться в качестве входных данных для последующих моде-

Рис. 4.20. Одна из возможных траекторий попадания мяча в кольцо

лей. Следует только отметить, что при моделировании полета мяча до кольца пренебрегалось возможным вращением мяча вокруг собственной оси. Это было обосновано пренебрежимо малым влиянием вращения мяча на траекторию его полета. Другая ситуация возникает при моделировании стадии взаимодействия мяча с кольцом или щитом. Направление и вели­ чина скорости вращения будут влиять на направление сил трения в пери­ од взаимодействия мяча с кольцом или щитом и, соответственно, на тра­ екторию отскока и вероятность попадания мяча в кольцо. Кстати, этим пользуются опытные баскетболисты, закручивая мяч при броске в нуж­ ную сторону. А вот рекомендации по правильному выбору параметров зак­ рутки мяча должны следовать из результатов моделирования.

Перейдем к рассмотрению этапа взаимодействия брошенного мяча с кольцом или щитом. Будем считать баскетбольный щит и дужку кольца абсолютно жесткими телами, влиянием формы мяча, дужки кольца и щита на взаимодействие пренебрежем, т.е. контакт считается точечным. Так как в данном случае модели взаимодействия мяча со щитом и кольцом оди­ наковы, то в дальнейшем будем рассматривать только модель взаимодей­ ствия мяча с кольцом. Мяч будем моделировать вязко-упругим телом. Уп­ ругие свойства его зависят от давления накачанного воздуха, а вязкие свой­ ства - от материала и толщины покрышки мяча (рис. 4.21).

Положение центра масс мяча (точка Q в период взаимодействия за­ дается координатой г и углом <р (здесь, как и в гл. 2 , движение рассмат­

ривается в плоскости XOY). Начальное значение угла зависит от траекто­ рии полета мяча до кольца (пунктирная линия 1 на рис. 4.21).

Рассмотрим силы, действующие на мяч. Кроме силы тяжести mg, со стороны кольца на мяч действует сила контактного взаимодействия, про­ екция которой на нормаль п, согласно принятой структурно-механичес­ кой модели мяча, может быть записана в следующем виде: N = c(RM- r ) - v r , где с —коэффициент жесткости мяча; v —коэффици­ ент демпфирования мяча; 1^ —радиус недеформированного мяча; г — расстояние от центра мяча до точки контакта с поверхностью кольца.

а1^ = в(г+Лц) = ф(г+/?ц) , запишем математическую постановку задачи в

следующем виде.

Найти зависимости от времени r(f), ср(/), со(Г), /е[0, Г], из решения

следующей системы дифференциальных уравнений

Здесь Лд —радиус дужки кольца; vc - скорость центра масс мяча в мо­ мент касания дужки.

Видно, что с математической точки зрения задача взаимодействия мяча с кольцом свелась к задаче Коши для системы ОДУ (4.28) с началь­ ными условиями (4.29). Задача решалась с применением численного под­ хода - модифицированного метода Эйлера (см. разд. 3.5). Результаты получены при следующих исходных данных: радиус кольца RK = 0,233 м; радиус дужки кольца Дд = 0,008 м; коэффициент трения/ = 0,5; момент инерции мяча /м = = 0,0055 кг м2; коэффициент вязкого деформирова­ ния мяча v = 15 Н с/м; коэффициент жесткости мяча с = 52820 Н/м.

Результаты исследования попадания мяча в корзину удобно предста­ вить в виде диаграммы, приведенной на рис. 4.22. На диаграмме черные точки соответствуют попаданиям мяча в корзину, белые - нет.

Из приведенных результатов видно, что область попадания, в отли­ чие от результата, полученного в гл. 2 без учета удара о щит и кольцо,

распадается на две широкие С-образные подобласти и несколько узких по­ добластей подобной формы. Широкая подобласть Б включает «чистое» попадание мяча в корзину. Полоса Д характеризует подобное Б попада-

Рис. 4.22. Области попадания в зависимости от v0 и а 0 при броске со штрафной линии

ние, но после отскока мяча от щита. Узкие подобласти свидетельствуют о разнообразных попаданиях после двух, трех и т.д. отскоков мяча от коль­ ца и щита, показанных на рис. 4.23. Полоска А соответствует траектории, показанной на рис. 4.23,а, Б —4.23,£, В —4.23,в и т.д.

Подобласти Б и Д имеют наибольшую площадь и являются опреде­ ляющими при анализе попаданий мяча в кольцо. Ширина Av0 этих подо-

бластей изменяется в зависимости от угла бросания а0, расстояния до кор­ зины, высоты бросания Ah = у0 - ук, где ук - высота центра корзины, yQ- высота бросания.

На рис. 4.24 приведено изменение ширины подобластей Б и Д при броске со штрафной линии в зависимости от угла и высоты бросания. Как можно видеть, низкорослым игрокам следует использовать навесные тра­ ектории. Но даже при броске с уровня корзины угол броска не должен быть меньше 20°. Это значение меньше ограничения в 32,2е, полученного в гл. 2 из решения задачи «чистого» попадания без учета касания и отско­

ка от дужки кольца. Оптимальный угол бросания находится в интервале 50°—70° В этом случае разброс по скорости броска составляет 0,1—0,2 м/ с. При углах бросания более 70° попасть от щита практически невозмож­ но (ширина подобласти Д быстро стремится к нулю, см. рис. 4.24,6), а для «чистого» попадания (рис. 4.24,а) при достаточно широкой подобласти Б и углах бросания более 70е начальная скорость должна быть более 15 м/с.

Рис. 4.24. Ширина подобластей Б (а) и Д (б) при различных значениях а 0 и высоты броска

(1 —Ah = 0 м; 2 —Ah = —0,5 м; 3 — Ah = —1 м)

Что касается закрутки мяча при броске, то можно дать следующие ре­ комендации, вытекающие из решения задачи. В том случае, когда бросок производится в дальнюю дужку кольца, мяч следует закручивать в направ­ лении, противоположном тому, которое показано на рис. 4.21. Тогда воз­ никающая сила трения будет помогать «сваливаться» мячу в корзину, что увеличивает вероятность попадания. Однако влияние вращения мяча на попадание его в корзину наблюдается лишь в узком диапазоне начальных траекторий и скоростей мяча. Поэтому использовать такую технику бро­ сания на практике довольно сложно.