- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
ства покрыты «наростами», которые называют почками, каждая цз них подобна всему множеству в целом. На рис. 6.35 приведены увеличенные части границы множества.
-А 7453 |
-0,7451 |
|
-0,7454 |
-0,7452 |
Рис. 6.35. Границы множества Мандельброта (цифры указывают коорди наты участка границы множества Мандельброта в единичном квадрате)
Фрактальная размерность кластеров
Кластеры —комплексные соединения, в основе молекулярной структуры которых лежит объемная ячейка из непосредственно связанных между собой атомов, играющая роль центрального ато ма. Фрактальные кластеры —это структуры, образующиеся, напри мер, при:
•ассоциации твердых аэрозолей в газе при их диффузионном движении;
•электролизе;
•кристаллизации жидкости на подложке;
•вытеснении жидкостью с меньшой вязкостью жидкости с большей вязкостью (так называемые «вязкие пальцы»);
•течении в пористых средах.
Примером фрактального кластера может служить множество пустот в пористом материале.
Для «классических» фракталов при определении размерности
Хаусдорфа—Безиковича нужно, чтобы 5 - > 0 . Однако для физичес ких систем существует минимальный характерный размер, напри мер RQ — радиус атома (молекулы). То есть линию нужно заменить цепочкой молекул (мономеров), поверхность (двумерное множество)
— плоским набором мономеров, объем — набором сфер, тогда бу дем иметь число мономеров:
• в цепи длиной L = 2R: |
N = R/RQ, |
где R/RQ » 1; |
• в круглом диске площадью S = nR2 : |
N = (R/RQ) |
' |
• в шаре объемом V = 4лЛ3/ 3 : |
N = (R/RQ) |
|
Плотность числа мономеров, которая зависит от упаковки,
р < я>/з/2 .
Так как диск и сферу можно покрыть мономерами приближен но, то асимптотическая формула для соотношения числа частиц — размера «кластера», оцениваемого по радиусу R наименьшей сфе
ры, содержащей кластер внутри себя, имеет вид
N = p(R/R0 f |
ЛГ-> со, |
где D —размерность кластера; N —масса кластера; р —плотность массы. Размерность D не зависит от формы кластера, а р зависит от упаковки и формы кластера (для эллипсоидов вращения
Рис. 6.36. Образующий элемент кривой Кох
р=(б/в)(*£/з)).
Размерность D может быть дробной (фрактальной). Поясним на примере кри вой Кох: рассмотрим предфрактал как конструкцию мономеров; мономер вклю чает в себя один образующий элемент (рис. 6.36).
При п = 1 —первое поколение, число мономеров N = 4, радиус кластера
R = 32BQ; при и = 2 —число мономеров N =42, радиус кластера
R = 32RQ-, /i-поколение —число мономеров N =4", радиус класте
ра R =3nRQ, т.е. триадные кластеры Кох удовлетворяют соотноше
нию
N = |
=(Д/ /^)Д |
где D =In3 /In4 —фрактальная размерность кластера, служащая
количественной характеристикой того, как кластер заполняет за нимаемое им пространство, но не описывающая его форму.
Примером кластера может служить множество точек, получен ных в процессе ограниченной диффузией агрегации (ОДА), D= 1,71 (такой кластер характерен для структур, динамика кото рых описывается уравнением Лапласа): модель протекания в по ристых средах, «вязкие пальцы» в ячейке Хеле-Шоу, вытеснение одной жидкости другой жидкостью с меньшей вязкостью.
Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
Клеточная размерность. Для определения длины береговой линии ее покрывают, например, набором квадратов со стороной
6-»0 и подсчитывают их число N(5). Далее в двойных логариф мических координатах строят зависимость 1пЛГ(б)—1п(8). Так как
ос N(S)8d , то D определяется по углу наклона графика
D = (const - In N(8))/ln 6.
Отношение длина/ площадь, (определение D из соотношения между характеристиками множеств разной топологической размер ности). Например, площадь фигуры, ограниченной фрактальной границей, S ^ R 2 , а длина периметра L « RD, где R - характер ный размер. Тогда из соотношений S */2 « ]}!° следует, что
D = (const + In I? )/ln S ,
т.е. фрактальная размерность границы D определяется как тангенс угла наклона зависимости квадрата периметра I? от площади S,
построенной в двойных логарифмических координатах. Причем длина измеряется непосредственно (курвиметром) либо так же, как в задаче о береговой линии.
Более надежны методы, основанные на прямом эксперимен тальном определении величины N(5). Так, если имеется большое число одинаковых фрактальных кластеров, изображение которых фиксировано на прозрачной фотопластинке, то, пропуская через нее световой пучок толщиной г и измеряя интенсивность прошед шего света I, можно использовать формулу
D = (const - In /) / In г.
Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
На спинках блох блошата есть, Кусают блох они там. Блошонок у блошат не счесть, Итак indefinite...
Даниель Дефо
Фотографии дендритов, полученные с помощью сканирую щего микроскопа, позволяют различать ветви до восьмого поколе ния. Анализ структуры наталкивает на мысль использовать для описания дендритной структуры фракталы. Как показывают экс перименты, в процессе роста дендрита происходит оплавление не которых его ветвей за счет флуктуаций температуры или концен трации элементов сплава, а также обламывание ветвей конвектив ными потоками жидкого металла, что не позволяет использовать для описания дендритов регулярные фракталы.
Вначале рассмотрим фрактальное описание уже сформировав шейся дендритной структуры (см. рис. 6.37). Будем считать, что частица представляется системой некоторых пространственных d-мерных фигур (элементарных фрагментов). Размеры этих фигур уменьшаются при переходе к следующему поколению. Нулевому поколению соответствует основной ствол частицы, имеющий ха
рактерный размер 10 и объем v>0 = Gfl$ Здесь бу- —геометричес
кий фактор, который зависит от типа фигуры, аппроксимирующей дендритные ветви, и не зависит от масштаба длины.
Рис. 6.37. Схема дендритной частицы со случайными геометрическими параметрами
Первое поколение состоит из рх ветвей, имеющих характерный размер /j = /0Д 1? тогда суммарный объем частицы после первого этапа построения
= V0 + Gf px(/0 / k{ f |
(6.90) |
Второе поколение состоит из р2 ветвей, каждая из которых имеет длину /2 = /g/(fcj&2), а суммарный объем ветвей после вто рого этапа построения
|
|
|
fd |
|
b2 = b 0 + v l + p lp2G f - J - J ; |
||||
|
|
|
Kl *2 |
|
после и-го этапа суммарный объем |
|
|
||
|
l + l L + l L f l + J l L |
Y |
||
vn ~ Gf lо |
Pn |
|||
bd |
led ird |
hrd |
(6.91) |
|
|
/C| |
/vj |
^ /vj |
|
Здесь pj, ..., pn, k x, |
..., kn - |
независимые случайные величины. |
||
Кроме того, считается, что величины p f ( /= |
1 ,..., п) подчиняются |
одному закону распределения, а величины kt (/= 1 , п) —друго му. Если Pi = р= const и к( = к = const, т.е. имеет место регу лярный фрактал, то
vn ~ G/ Ч |
- СГу/0 ■ |
(6.92) |
p / k d ~ 1 |
p / k d - 1 |
где Dj = \пр/\пк, цп =1ц/кп.
Найдем математическое ожидание величины ьп для случайного фрактала. Так как pt и kt —независимые случайные величины, распределенные по своим законам, то обозначим математическое
ожидание соответствующих величин М(р{) = р, M(Jki) = k , а rf-й
начальный момент M(kf) = {kd} (/ = 1,..., и). Тогда математичес
кое ожидание величины объема, занимаемого дендритом, имеет вид
\ = G f ld 1 + Д' - + ' |
Р * + ...+ |
Р т |
|
(p/{kd})n - l |
= Gf 4 |
(6.93) |
|||
{kd) |
{kd} |
ikd) |
|
p/{kd)~ 1 |
При выводе соотношений (6.92) и (6.93) использовалась фор мула суммы п членов геометрической прогрессии со знаменателем
р/{кd } Отметим, что р/{к?} < 1; это условие гарантирует отсут
ствие наложений фрагментов фрактала, обеспечиваемое видом со отношения (6.91).
Предположим, что выражение для среднего объема имеет тот
же вид, что и для регулярного фрактала (6.92): |
|
|
Б, =<7# f eA / ' " |
'1 - 1 |
(6.94) |
где Gj не зависит от масштаба длины и т|л =lQ/(k)n, т.е. предпо лагается статистическое самоподобие структуры. Определим вели
чину фрактальной размерности Df для нерегулярного фрактала. Сравнивая (6.93) и (6.94), заметим, что
- V n \Dr d
(5.95)
{kd)
Прологарифмировав соотношение (6.95) и воспользовавшись цра_ вилами преобразования логарифмически выражений, получц^-
л1п |
|
к ^ ={Df -d)\n(%f =riDf -d)\nk, |
||||
|
\np-\n{kd)={Df -d)fai> |
|
||||
D |
|
ln{A^} | |
._ !np |
log, |
|
|
* |
InA: |
In к |
In к |
(k)d |
||
|
||||||
Таким образом, фрактальная размерное^ случайного фракта |
||||||
ла вычисляется по формуле |
|
|
|
|||
V £ f |
- 108г |
’{£[} |
ИЛИ |
|
(6.96) |
|
(k)d |
/ IpA: |
|||||
|
In к |
Рассмотрим частные случаи для различной топологической размерности. Для фрактальной структуры на базе одномерного объекта d= 1 (например, для периметра плоской проекции денд ритной частицы) фрактальная размерность имеет вид
f Inк |
= l2 | - log.1 = Ь |. |
(6.97) |
|
MOfc)1 InA: ^ |
InA: |
|
Для плоской фрактальной структуры d= 2 (например, для пло щади плоской проекции дендритной частицы) фрактальная размер
ность определяется соотношениями: |
|
||
{к2} |
|
(к)2 + Р(к)л |
|
(к)2 |
|
{к)2 |
|
In р |
|
u a s i |
(6.98) |
logг |
. |
|
|
~1п£~ |
№>2J |
|
ИЛИ
(6.99)
е'*2,+2'
где D(k) —дисперсия случайной величины к. Если к —детерми нированная величина, то ее дисперсия равна нулю, и формула (6.98) примет вид выражения для фрактальной размерности само
подобного регулярного фрактала: Dy = In p/lnk.
Для объемной фрактальной структуры d= 3 (например, для объема дендритной частицы)
V ffiH 08*-W |
In р |
, |
|
(к)3 +3к Щ ) +{(А:- М(к)?) ] |
||
In к |
Юе* |
\ |
(к)3 |
/ |
||
V ® 3 у |
|
|
|
V 7 |
||
|
|
|
|
|
|
(6.100) |
или |
|
|
|
|
|
|
Df |
= ^l Z - l o g A k 3)+ 3, |
|
(6.101) |
|||
J |
InА |
|
К |
|
|
|
где {(к-М(к))3} = М[(к-М(к))3} |
— третий центральный момент |
случайной величины к [103].
В задаче кристаллизации необходимо определять суммарный объем растущего дендрита, поэтому параметры дендритной и, со ответственно, фрактальной структуры должны зависеть от време ни. Пусть растущий дендрит имеет форму, ограниченную парабо лой и прямой z = 0 в двумерном случае и параболоидом вращения и плоскостью z —0 в пространственном; его ось направлена вдоль оси Oz. Вершина дендрита перемещается равномерно вдоль оси Oz со скоростью v. Тогда уравнения, описывающие форму, имеют вид:
d =2, |
z =v f+ a/2 -jc2/(2a), |
(6.-102) |
||
d = 3, |
z = v t + a / 2 - r 2 |
/(2a), r2 = x2+y2, |
||
|
где a —параметр параболы (параболоида) - расстояние от фокуса до директрисы. В качестве характерного размера дендритной час тицы выберем расстояние от вершины до начала координат, рав
ное IQ =(2vt+a)/2. Выбор данной формы растущего дендрита
обусловлен следующими причинами: во-первых, параболическая форма была получена аналитически в [47] в задаче исследования устойчивости границы раздела фаз; во-вторых, такая зависимость позволяет одновременно описать не только удлинение дендритных ветвей, но и их утолщение. Вычислим площадь (объем), ограни ченную параболой (параболоидом) и осью (плоскостью) z = 0: