6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ

Чрезмерная глубина лишь путает и за­ туманивает мысль.

Э. По

Ученые часто сталкиваются с задачей построения математичес­ кой модели настолько нового, необычного и сложного явления, для которого еще не найден удовлетворительный механизм и не установлены балансовые и определяющие уравнения. В этих слу­ чаях главную роль играют экспериментальные методы исследова­ ния, позволяющие установить простейшие опытные факты. Поста­ новка же эксперимента требует предварительного теоретического анализа. Возможность такого предварительного анализа дает тео­ рия размерности и подобия [97]. Несмотря на свою простоту и эф­ фективность, этот анализ, конечно, требует от исследователя оп­ ределенного опыта и проникновения в сущность изучаемого явле­ ния. Самый замечательный итог его применения заключается в том, что он оказывается достаточным для установления особого класса автомодельных решений математической формулировки задачи, отражающих глубокие физические закономерности изуча­ емого явления. Сформулируем суть метода и приведем несколько примеров его применения.

Пусть некая зависимость определяет величину а в функции п параметров а1г..., ап:

Если эта зависимость имеет физическое содержание, то соот­ ношение (6.48) должно отражать тот бесспорный факт, что хотя числа a, aj , ..., ап выражают значения соответствующих величин в определенной системе единиц измерения, физическая закономер­ ность, которую это соотношение представляет, не зависит от про­ извола при выборе единиц измерения. Анализ размерностей осно­ ван на физически содержательном утверждении, сформулированном Э. Бакингамом и известном как П-теорема.

Пусть существует физическая закономерность, выраженная в виде зависимости некоторой размерной величины от размерных оп­ ределяющих параметров. Эта зависимость может быть представлена в виде зависимости некоторой безразмерной величины от безразмер­ ных комбинаций определяющих параметров. Количество этих безраз­

мерных комбинаций меньше общего числа определяющих парамет­ ров на число размерных определяющих параметров с независимыми размерностями.

Следует отметить, что П-теорема интуитивно вполне очевид­ на и ее неявное использование началось задолго до того, как она была явно сформулирована и формально доказана. В этой связи следует, прежде всего, назвать имена Галилея, Ньютона, Фурье, Максвелла, Рейнольдса, Рэлея. Практический выигрыш при обра­ ботке экспериментальных данных, даваемый этой теоремой, оче­ виден.

Пусть для выяснения зависимости некоторой величины а от некоторого определяющего параметра at надо измерить эту вели­ чину при десяти значениях данного аргумента. Тогда для экспе­ риментального нахождения величины а как функции п определя­ ющих параметров а1(..., ап следует произвести 10я экспериментов. Согласно П-теореме, если все величины а, ах, ..., ап выражаются через к независимых размерностей, дело сводится к определению функции п—к безразмерных аргументов П ,,..., ПП_Л, для нахож­ дения которой достаточно 10я-* опытов, т.е. в 10fc раз меньше! Трудоемкость установления искомой функции сокращается в дан­ ном случае на столько порядков, сколько среди определяющих па­ раметров величин с независимыми размерностями.

Применение П-теоремы включает следующую последователь­ ность действий. Разобьем величины ах, ..., ап на две группы. В пер­ вую группу a j,..., ак включается ряд величин с независимыми раз­ мерностями (например, длина, скорость, плотность и т.д.). Во вто­ рую группу а, ак+1, ..., ап входят величины, размерности которых можно выразить через размерности величин первой группы. То есть

где р, q, р{, qt —показатели степени. При этом величины

оказываются безразмерными, так как их значения будут одними и теми же при любом выборе системы единиц измерения. Незави­ симость закономерности, имеющей физический смысл, от выбора

единиц измерения означает, что соответствующее ей соотношение (6.48) можно представить в виде

n = 0 ( n l v .., П п_к ).

Уменьшение числа аргументов упрощает исследование, иног­ да —существенно. Рассмотрим показательный пример.

В1909—1911 гг. специалисты в области физической химии

Э.Бозе, Д. Рауэрт и М. Бозе опубликовали серию экспериментов. Ими изучалось время т заполнения сосуда данного объема Q и пе­ репад давления Р на концах трубки при стационарном протекании через трубку различных жидкостей: воды, хлороформа, бромоформа, ртути. Результаты опытов были представлены в виде серии зависимостей перепада давления от времени заполнения для раз­ ных жидкостей (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Результаты опытов Бозе-Рауэрта в исходном виде для различ­ ных жидкостей: 1 —вода, 2 —хлороформ, 3 —бромоформ, 4 —ртуть [7]

Эти работы были замечены Теодором фон Карманом, который исследовал их с точки зрения анализа размерностей. Рассуждения Кармана можно представить следующим образом: перепад давле­ ния Р на концах трубки должен зависеть от времени заполнения сосуда т, объема сосуда Q и свойств жидкости (коэффициента вяз­ кости р и плотности р):

P = f(*, Q, Р, р)

(в данном случае п = 4). Размерности параметров в классе MLT (масса, длина, время) выражаются следующими соотношениями:

[р ,= 7т 2 ’ ы =т ’ [Q]=I}' ы = Т г ' lpl=f -

Легко увидеть, что определяющие параметры т, Q, ц имеют не­ зависимые размерности, размерность же параметра р выражается через размерности первых трех:

[р]=[ц]М[<ЭГ2/3-

Таким образом, к = 3, и —& = 1 и анализ размерности дает

Следовательно, в координатах П, IIj все опытные точки дол­ жны располагаться на единой кривой. Этот вывод блестяще под­ твердился (рис. 6.3). Ясно, что заранее проведенный анализ раз­ мерностей мог бы сократить объем экспериментальной работы во много раз.

Рис. 6.3. Результаты опытов Бозе-Рауэрта в интерпретации Кармана [7]

Интересен также следующий пример. При атомном взрыве в области, настолько малой, что ее можно считать точкой, быстро (практически мгновенно) выделяется значительная энергия Е. От центра взрыва распространяется мощная ударная волна, давление

за которой вначале составляет сотни тысяч атмосфер. Это давле­ ние много больше, чем начальное давление воздуха, влиянием которого на первой стадии взрыва можно пренебречь. Таким об­ разом, радиус фронта ударной волны г через промежуток времени т после взрыва зависит от Е, т и начальной плотности воздуха р:

r = f(E , т, р).

Таким образом, п = 3, а размерности определяющих парамет­ ров в классе MLT есть:

М-т, [Р|= ^ .

Легко видеть, что к = 3, и —к = 0, так что функция Ф в вы­ ражении П = Ф(ПП_Л,..., Пп) не зависит ни от одного из аргумен­

тов, т.е. Ф = const. Далее нетрудно доказать, что П = г(£’т2/р)~1/5,

откуда

г = const (£т2/р)*/5.

Эта формула показывает, что если измерить тем или иным способом радиус ударной волны в разные моменты времени, то в логарифмических координатах (5/2)lg г, lg т экспериментальные точки должны располагаться на прямой

(5/2)lg г = (5/2)lg(const • £'1/5p_1/5)+lgT,

имеющей наклон, равный единице.

Это подтвердил в 1950 г. английский механик и физик сэр Джеффри Ингрэм Тэйлор, обработавший кинофильм о распрост­ ранении огненного шара, снятый во время американских испыта­ ний ядерного взрыва в Нью-Мексико в 1945 г. (рис. 6.4). Как по­ казывает более детальный анализ, значение const = 1. Зная это, по экспериментальной зависимости радиуса фронта от времени можно определить энергию взрыва. Публикация Тэйлором этой величи­ ны, оказавшейся равной примерно 1017 Дж, вызвала в свое время смущение в американских официальных кругах.

Приведем еще один скорее забавный пример применения ана­ лиза размерностей: «докажем» с его помощью теорему Пифагора. Площадь прямоугольного треугольника S устанавливается величи-