клеточные» способности выбора направления перехода для одно­ клеточных («ума») приводит к почти двукратному увеличению пе­ риода колебаний (с 11-12 до 26—28 тактов). Добавление в систе­ му «хищников» увеличивает период колебаний почти до 100 так­ тов.

Как правило, моделируемые сложные системы представляют собой открытые термодинамические системы (т.е. обменивающиесяся с внешней средой веществом, импульсом, энергией, инфор­ мацией и т.д.), способные к диссипации (рассеянию) подводимой энергии. Единоборство этих двух механизмов приводит к появле­ нию диссипативных структур из начально случайного «бульона» субстанции. Можно сказать, что подчас поразительно красивые структуры возникают для более эффективного противодействия внешним воздействиям, а в симметрию «рисунка» вносят вклад симметрии свойств среды и внешних воздействий.

7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ

Некоторые вещи недоступны человеческому

уму, но мы не знаем какие.

«Закон Джеффи»

Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов

Рассмотрим моделирование явлений самоорганизации дефек­ тов кристаллического строения, наблюдаемых в пластически де­ формируемых металлах. Природой пластического течения метал­ лов (в особенности —с гранецентрированной кубической решет­ кой) при обычных температурах является движение образующихся в них при деформировании в огромном количестве линейных де­ фектов кристаллического строения —дислокаций. Учет этих дис­ локаций в одночастичном приближении в моделях пластичности объяснил многие особенности пластического течения. Эти теории применимы для описания процессов на ранних стадиях пластичес­ кого течения, когда дислокаций в кристалле не так много, чтобы учитывать их многочастичное взаимодействие. Достаточно тонкие наблюдения фиксируют на последующих стадиях временную неста­ бильность и пространственную локализацию пластического тече­

ния, отражающие возникновение режимов самоорганизации дис­ локаций, приводящих к структурным переходам. Для описания этих процессов нужны модели, трактующие пластичность и опи­ сывающие ряд эффектов пластичности как результат коллективных явлений в ансамблях дислокаций. Одним из решений этой задачи является применение имитационного подхода, описывающего на основе техники клеточных автоматов поведение большого количе­ ства дискретно распределенных взаимодействующих дислокаций.

Дислокации могут быть краевыми, винтовыми и смешанного типа. Дислокацию характеризуют два вектора: единичный £,, на­ правленный вдоль линии дислокации (на рис. 7.15,5 за плоскость рисунка ортогонально ей) и особый (ненулевой только для линей­ ных дефектов типа дислокаций) —вектор Бюргерсз Ь. Краевые дислокации представляют собой края лишних атомных полуплос­

костей, и для них |-Lb (рис. 7.15,6); для винтовых дислокаций

4l|b, для смешанных —взаимная ориентация векторов ^ и b ме­

няется вдоль линии дислокации. В зависимости от того, как рас­ положена лишняя атомная полуплоскость —ниже плоскости зале­ гания или выше, т.е. в зависимости от знака вектора Бюргерса, краевые дислокации условно разделяют на положительные и отри­

цательные и обозначают символами 1 и Т Линии дислокаций из

геометрических соображений могут обрываться только на поверхно­ сти кристалла (но не внутри него) или на других дислокациях, об­ разуя узлы дислокационной сетки. При обычных температурах ос­ новным механизмом движения краевых дислокаций является их скольжение в плоскости залегания (вдоль горизонтали, см. рис. 7.15).

Л „ А

-О—о—6—О—<0—о—О -

- о < Ь Ч > - б - О —< >—6 -

- о < > - ч > — 0 — 0 — о — 6 -

- 6 — 6 * 6 О ' 0 6 -

Рис. 7.15. Контуры Бюргерса: а —в идеальном кристалле, б —в кристал­ ле с краевой дислокацией (мера несовпадения —вектор Бюргерса Ъ)

При встрече краевых дислокаций противоположных знаков выст­ раивается полная атомная плоскость —дислокации аннигилируют.

Теоретически рассчитано, что для сдвига одной части кристал­ ла относительно другой в бездефектном кристалле необходимо

приложить касательное усилие, большее ц/(2л), где ц —модуль

сдвига. При наличии же краевой дислокации достаточно приложе­

ния ничтожного напряжения Пайерлса т„ = 10-5 -К Н ц для незна­

чительного смещения атомов в ядре дислокации, в результате ко­ торого «перекидываются» атомные связи и происходит скольжение краевой дислокации, реализующее пластический сдвиг одного бло­ ка кристалла относительно другого.

Эта схема объясняет исключительную роль именно краевых дислокаций в процессе неупругого деформирования твердых тел. Поскольку существует силовой порог (сухое трение), который не­ обходимо преодолеть для того, чтобы «сдвинуть» дислокацию, то движение дислокаций диссипативно, и деформирование вследствие движения даже одной дислокации является необратимым. При пластическом деформировании за счет процессов аннигиляции и образования новых дислокаций меняется собственная энергия ан­ самбля дислокаций, а за счет движения дислокаций —энергия их взаимодействия. Таким образом, кристалл с ансамблем взаимодей­ ствующих дислокаций представляет собой довольно сложную тер­ модинамическую систему, которая содержит как источники энер­ гии, так и каналы диссипации подводимой энергии деформирова­ ния.

В результате сложных внутренних процессов в пластически де­ формируемом кристалле образуются дислокационные структуры, которые в зависимости от условий нагружения проходят несколь­ ко стадий —от хаотической структуры клубков дислокаций разных знаков до трехмерной ячеистой структуры. Примером дислокаци­ онной структуры при циклическом деформировании является строение устойчивой полосы скольжения, содержащей двумерные структуры —мультипольные дислокационные стенки (рис. 7.16).

В реальных металлах с гранецентрированной кубической ре­ шеткой краевые дислокации, как правило, наблюдаются в сочета­ нии с поверхностными дефектами упаковки. Длина вектора Бюргерса краевой дислокации не может быть меньше межатомного расстояния, иначе после скольжения дислокации не будет восста­

новлена правильная структура кристалла. Если же вдоль части АА'

Рис. 7.16. Модель идеальной устойчивой полосы скольжения и микрофо­

тография (просвечивающая электронная микроскопия) нерегулярной струк­ туры с мулътипольными стенками *

плоскости скольжения совершить сдвиг на вектор Ь ', меньший вектора b решетки, то линия А (рис. 7.17,о) будет границей обла­ сти, по которой прошел сдвиг Ь, а линия А ' —границей сдвига Ь' На линии А получается скачок вектора сдвига b '= .b -b ', и дисло­ кация с вектором Бюргерса b расщепляется на две частичные дис­ локации с векторами Бюргерса Ь' и Ь' В кристалле на полосе

АА' нарушается правильная укладка структуры. Укладка атомов при этом может отличаться от равновесной, но существуют вели­

чины сдвигов Ь' и Ь', обеспечивающие минимум энергии в крис­ талле с локальным нарушением укладки. Такие поверхностные де­ фекты называются дефектами упаковки. Энергия дефекта упаковки является фундаментальной характеристикой кристалла, меняющей­ ся от десятков до сотен миллиджоулей на квадратный метр. Со­ ответственно изменяется ширина расщепленных дислокаций, об-*

* Pedersen О.В. Fatigue and associated microstructural aspects; J. Lepinoux et al. (eds.). Multiscale phenomena in plasticity. Kluwer Academic Publishers, 2000. P. 83-97.

---------- к л /J—

ВА А'

а)

Рис. 7.17. Расщепленная дислокация (а) и реакции между дислокациями из пересекающихся плоскостей (б, в)

ратно пропорциональная энергии дефекта упаковки, от десятков до долей нанометров.

Дислокационными реакциями называются перестройки дефект­ ной структуры кристалла, в результате которых одна или несколько

дислокаций с векторами Бюргерса bj, Ь2,... превращаются в дру­

гие дислокации с векторами Бюргерса bj, Ь'2,... Полный вектор

Бюргерса в результате реакций сохраняется. Примером реакции яв­ ляется аннигиляция дислокаций противоположных знаков.

Другой простейшей реакцией является расщепление полной дислокации на частичные. В кристалле с гранецентрированной ку­ бической решеткой происходят простые реакции дислокаций, ле­ жащих в плоскости (111), с векторами Бюргерса bj = [110], b2 = = [101], Ь3 = [011] (рис. 7.18,6), образующими равносторонний тре­

угольник: bj + b2 -» Ь3. Если же в реакции участвуют расщеплен­

ные дислокации, то в результате реакции возникает прочный ба­ рьер Ломера-Коттрелла, блокирующий обе пересекающиеся плос­ кости скольжения (рис. 7.17,в). Эти барьеры играют большую роль в образовании прочных структур при множественном скольжении.

Плоская модель, описывающая самоорганизацию дислокаций с помощью техники клеточных автоматов, построена для дислока­ ций трех равнонаклоненных систем скольжения. Область модели­ рования, в дальнейшем называемая ячейкой, разбивается на боль­ шое число одинаковых клеток (сторона ячейки содержит несколько сотен клеток). Время «идет дискретными шагами». Рассматривают­ ся прямолинейные краевые дислокации, бесконечно протяженные в третьем направлении. Все дислокации могут быть либо расщеп­ ленными, либо нет. Если дислокации расщеплены, то в результа­ те дислокационных реакций появляются барьеры, в противном случае —нерасщепленные дислокации. «Переползание» расщеплен­ ных дислокаций невозможно.

На плоскости моделирования дислокации представлены свои­ ми следами. Клетка может быть занята дислокацией любой из трех систем скольжения любого знака, источником дислокаций или барьером (рис. 7.18), т.е. клетка должна обладать симметрией 3-го порядка. Для этого идеально подходят равносторонние шести­ угольники (рис. 7.19,о). Учитывается дальнодействующее силовое взаимодействие всех дислокаций. Принимаются периодические граничные условия для взаимодействия и перемещения дислока­ ций, в силу последних отдельная дислокация в результате прямо­ линейного движения после нескольких итераций возвращается в исходное положение.

Рис. 7.18. Возможные состояния клетки: а — пустая клетка, б, в — положительная и отрицательная полные краевые дислокации,

г, д — положительная и отрицательная расщепленные краевые дислокации, е —дислокационный барьер, перекрывающий соответствующие плоскости скольжения, ж —источник дислокаций из некоторой плоскости скольжения

Поскольку рассматриваются три равнонаклоненные системы скольжения, то при задании прямоугольной формы ячейки дисло­ кации разных систем скольжения оказываются в различных усло­ виях —дислокации горизонтальной и наклонных систем скольже­ ния пройдут пути неодинаковой длины. Если ячейка имеет гекса­ гональную форму, этого не происходит — разные системы скольжения оказываются равноправными. Периодичность гра­ ничных условий соответствует сворачиванию пространства в тор. Для того чтобы пространство оставалось плоским, при расчете вза­ имодействия учитывается несколько образов рассматриваемой ячейки —текущая ячейка представляется окруженной нескольки­ ми слоями ее образов. Для плотного покрытия плоскости ячейка и ее образы должны частично перекрываться (рис. 7.19,6). Сосед­ ние стороны ячейки периодичности (ее образы заполняют плос­ кость без перекрытия) содержат разное число клеток (рис. 7.19,в).

и м

е)

Рис. 7.23. Основные правила скольжения: а —свободное скольжение дислокации, б — отложенное скольжение, в —аннигиляция, г, д — реакция дислокаций (в случае расщепленных дислокаций образуется барьер соответ­ ствующей системы скольжения), е — остановка дислокации при встрече барьера, источника или дислокации, реакция с которой невозможна. Правила инвариантны относительно одновременной смены знаков у объектов в клетках, отражения относительно вертикальной оси (движе­ ние в противоположном направлении) и поворота на +120° (другие систе­ мы скольжения)

сом движения (например, рис. 7.23,6) могли сдвинуться после всех четырех проходов.

Второй проход отличается от первого смещением окрестнос­ тей на одну клетку по горизонтали, т.е. ситуация рис. 7.23,6 пер­ вого прохода на втором будет соответствовать ситуации рис. 7.23,а. Третий и четвертый проходы (рис. 7.23,в и г) отличаются от пер­ вого и второго соответственно смещением на одну клетку по вер­ тикали. Окрестности в течение каждого прохода не перекрывают­ ся, что обеспечивает консервативность субстанции при движении. Полагается, что реакция двух дислокаций разных систем происхо­ дит только в том случае, когда сумма векторов Бюргерса реагиру­ ющих дислокаций принадлежит третьей системе. При взаимодей­ ствии нерасщепленных дислокаций в результате реакции появля­

ется новая нерасщепленная дислокация, а в случае расщепленных — дислокационный барьер.

Реализация переползания проводится по очереди для разных систем скольжения с помощью двухклеточной окрестности в два (четный и нечетный) прохода (рис. 7.24), обеспечивающих консер­ вативность движения. Темным цветом показан способ выбора ок­ рестности для одной и той же дислокации для проходов разной четности. В расчетах перебираются все дислокации, и в зависимо­ сти от прохода и положения текущей дислокации выбирается ок­ рестность. Аннигиляции и дислокационных реакций при перепол­ зании не происходит.

Рис. 7.24. Проходы, реализующие переползание дислокаций одной из систем

После реализации движения всех дислокаций управление пе­ редается блоку размножения дислокаций. Последнее происходит в однородно распределенных по области моделирования источниках Франка-Рида в том случае, когда результирующая сила в источни­ ке превышает сумму порога активации источника и сопротивления Пайерлса zb. При этом в плоскости залегания источника справа и слева от него выбрасывается пара дислокаций противоположных знаков, принадлежащих той же системе скольжения: положитель-

Рис. 7.25. Правила для переползания дислокаций:

а —свободное движение; б —отложенное движение; в — остановка

ная дислокация в направлении действия силы, отрицательная —в противоположном направлении. Положение и число источников в ходе процесса не меняются. При определении дальнодействующих напряжений источники воспринимаются как дислокации соответ­ ствующих систем скольжения. В близкодействии по локальным правилам источники являются препятствиями для движения дис­ локаций.

После размножения перебираются дислокационные барьеры (если дислокации расщеплены) и проверяются усилия в них. Если усилие в барьере достаточно велико (например, от скопления, за­ пертого барьером), частичные дислокации барьера из вторичных систем поджимаются к головной дислокации и барьер схлопывается в нерасщепленную дислокацию, которая может переместить­ ся на следующей итерации движения, после чего она вновь рас­ щепляется.

Скольжение отдельной дислокации из какой-либо клетки в со­ седнюю вызывает единичное приращение пластической деформа­ ции. В силу периодических граничных условий в результате сколь­ жения одиночная дислокация, возвращаясь в свое начальное по­ ложение, пересекает прямоугольник, соответствующий ее плоскости скольжения (рис. 7.26).

Если рассматриваются дислокации только одной системы скольжения, то представление области моделирования шестиуголь­ ником эквивалентно представлению области соответствующим

Рис. 7.26. Прямоугольные ячейки периодичности различных систем сколь­ жения (изображены темными линиями)

15Введение в математическое моделирование

менты образования и перестройки дислокационной структуры со­ провождаются локальными падениями напряжений (временная нестабильность), появляющимися при небольших скоростях де­ формирования (рис. 7.28). Эти падения наблюдаются также в до­ статочно тонких натурных экспериментах и известны под назва­ нием эффекта Портевена-Ле Шателье.

т, МПа

Рис. 7.28. Диаграммы деформирования с относительно высокой (кривая 1) и низкой (кривая 2) скоростями деформирования

При деформировании по пропорциональной (рис. 7.29) и не­ пропорциональной (рис. 7.30) циклическим траекториям в осях «сдвиговая деформация —растягивающая деформация» в простран­ стве напряжений наблюдается расширение петли, свидетельству­ ющее об упрочнении материала. Последнее связано с образовани­ ем в материале дислокационной структуры. В случае низкой энер­ гии дефекта упаковки (все дислокации расщеплены) заметное упрочнение наблюдается уже в первой части цикла (рис. 7.30). Бо­ лее сильное упрочнение в кристаллах с низкой энергией дефекта упаковки вызвано сильными дислокационными реакциями (обра­ зованием барьеров Ломера—Коттрелла) при геометрически необхо­ димом взаимодействии определенных систем скольжения в ходе непропорционального нагружения.