- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
вывести как уравнение малых возмущений совершенного идеаль ного баротропного газа (или свободных продольных или попереч ных колебаний струны).
6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
Нужно сковывать себя ограничениями — и
тогда можно свободно выдумывать
У. Эко
Попутно с выводом волнового уравнения покажем, как стро ятся сплошносредные модели механики и физики. Эксперимен тально открыт факт, что физические процессы удовлетворяют за конам сохранения массы, количества движения, энергии и др. Для сплошного деформируемого тела закон сохранения массы в локаль ной форме принимает вид
^ + pV v = 0, |
(6 .8) |
где р = р(г, t) —плотность; г= /7А, —радиус-вектор произволь ной геометрической точки; kt , i = 1, 2 , 3 —декартов ортонормированный репер; /7 , / = 1 , 2 , 3 — координаты радиус-вектора,
V -> Л, тг---- набла-вектор (оператор Гамильтона), v= v(г, t) —век-
т о р н о А л е скоростей бесконечно м м н , материальных частиц (материальных точек). (Очевидно, каждая материальная точка имеет только три степени свободы). Поскольку рассматриваемое тело движется относительно внешней системы координат, для каж дой его материальной точки R имеет место закон движения r = г (R, t).
В отличие от теоретической механики в сплошном теле мате риальных точек оказывается настолько много, что для их иденти фикации необходим континуум точек внешней системы координат: r(R, 0) = R. Таким образом, R есть радиус-вектор геометрической точки, в которой находилась материальная точка в начальный момент времени. Скорость v= v (г, t) материальной точки, находя-
dr
щейся в момент времени t в месте г, определяется как >’ = — • Про-
изводя дифференцирование произвольного поля а, можно полу чить:
da |
да |
+ v-Va. |
(6.9) |
|
dt R |
dt |
|||
|
|
Рассмотрим, например, сплошную среду, свободно движущуюся вдоль прямой Ох со скоростью v = v (х, t). Закон движения любой (материальной) точки этой среды х = <р (/) = х0 + ut {и — ее ско
рость) удовлетворяет второму закону Ньютона По опре
делению, скорость материальной точки м = ^ = v(<p(f), t); диффе- ot
ренцируя по t, получаем уравнение, которому удовлетворяет поле
, Л dv |
dv |
п |
v= v(x,t): — |
+ v— = 0. |
|
dt |
дх |
|
Заметим, что за появление нелинейности wx (здесь vx означа ет частную производную скорости по координате х) отвечает пе реход от материальных координат к пространственным (внешним) координатам. Пространственные координаты г называются эйлеро выми, материальные же координаты R, позволяющие следить за судьбой отдельных материальных точек, не меняющиеся для каж дой материальной частицы в течение всего исследуемого про цесса, называются лагранжевыми.
Балансовое уравнение для плотности массы (6.8) с учетом (6.9) запишется в виде:
— + v- Vp + p V v = 0. |
(6 .10) |
dt |
|
Другой закон сохранения, необходимый сейчас нам, —коли |
|
чества движения —в локальной форме принимает вид |
|
р^ = у о + р/ |
(6 .11)' |
где / —вектор массовых сил; а —тензор напряжений. В правой части (6 .11) фигурируют силы, действующие на материальную точ ку, занимающую положение г. Тензор напряжений отвечает за
контактное силовое воздействие на точку со стороны окружающе го материала, и его следует воспринимать как линейный оператор, ставящий в соответствие проходящей через материальную точку плоскости с нормалью и вектор поверхностной силы 1'. 1 = п о. Левая часть (6.11) соответствует скорости изменения количества движения материальной точки; равенство нулю этой величины в каждой точке сплошного тела описывает его статику. Применяя (6.9) к последнему уравнению, получаем
— + v-Vv = - V a + / |
(6.12) |
|
dt |
р |
|
Одного рассмотрения статики или динамики сплошного де формируемого тела обычно оказывается недостаточно для опреде ления физических полей в этом теле (число неизвестных полевых функций оказывается больше числа уравнений (6.12)). Для полу чения дополнительных уравнений рассматривают геометрическую или кинематическую сторону вопроса, в результате чего появля ются дополнительные уравнения. Полученные динамические и ки нематические соотношения остается связать замыкающими урав нениями, которые являются наиболее неформализуемыми и зави сящими от особенностей рассматриваемой сплошной среды. Эти замыкающие уравнения называются определяющими соотношения ми. Можно сказать, что они являются «центральными» уравнени ями в любой модели.
Будем считать, что среда —идеальный совершенный газ. Пер вое условие («идеальность») означает a = —pi, р —гидростатиче ское давление; I —тензорная единица. Второе условие требует, что бы газ подчинялся уравнению Менделеева—Клапейрона р — RpT, где Т —абсолютная температура; R —универсальная газовая посто янная. Последнее уравнение и есть определяющее соотношение.
Сузим еще круг рассматриваемых процессов: будем полагать,
что последнее принимает форму функции |
|
р = р(р). |
(6.13) |
Такие процессы, называемые баротропными, существуют: на пример, для рассматриваемой среды уравнения изотермического и адиабатического процессов записываются в форме (6.13). Уравне
ния динамики (6 .12) (при / = 0 ), кинематики (6 .10) и состояния
(6.13) в одномерном случае запишутся в виде
dv |
3v |
1 dp |
°. |^ + v |£ + p |^ = 0, P = P(P ) |
(6.14) |
||
at |
dx |
p dx |
||||
Эt dx |
ox |
|
(три уравнения, три неизвестные функции v, р, р независимых переменных х и t). Система (6.14) содержит одно алгебраическое и два нелинейных дифференциальных уравнения. Эти дифферен циальные уравнения с коэффициентами, зависящими от искомых функций, однако, линейны относительно старших производных (такие уравнения называются квазилинейными). Несмотря на назва ние уравнения (6.14) не являются линейными и обладают богатой динамикой. Легко проверить, что тройка функций
vsO, p sp 0, р = р0 = р(р0) |
(6.15) |
является решением системы (6.14). Данное решение соответству ет состоянию покоя газа, причем значение давления (либо плот ности) необходимо определить из начальных условий. Получим дифференциальные уравнения эволюции малых возмущений состо яния покоя системы (6.14) [63]. Путь, который предлагается, - до статочно общий для линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений вблизи какого-либо их решения.
Определим возмущенное решение (6.15), оставляя для воз мущений такие же обозначения, как и у возмущенных полей,
v = v, р = р0 +р, Р = Р0 +Р- |
(6.16) |
Возмущения v, р, р будем считать малыми. |
Из (6.14)—( 6.16) |
следует, что |
|
Зг+±^эр=0> ^+Ро^=0 |
(6.17) |
|
Э/ р0 Эр Эх |
Э/ 0 Эх |
|
с точностью до членов второго порядка. Функцию (6.13) разложим
в ряд вблизи р0 : p(pQ +р) = /?(ро) + р(ро)р+0(р2)- Эксперимент по
казывает, что р(р0)>0, поэтому обозначим р(р0) = а2. Почленным
дифференцированием уравнений и удалением подобных систему можно привести к двум уравнениям вида (6.7) для функций v и г тех же независимых переменных (х, /):