Задача Фламана. Напряжения, эпюры, осадка поверхности.
Задача Фламана позволяет решать разнообразные задачи о напряженнодеформированном состоянии основания в условиях плоской деформации.
Расчетная схема и искомое решение. (без учёта соб веса)
Пусть вдоль оси Oy нормально к поверхности основания действует погонная нагрузка P (рис. 3.4). Остальная часть поверхности остается свободной. Требуется определить напряженнодеформированное состояние основания от такой нагрузки. Решение системы уравнений (2.5)…(2.7) для данных граничных условий имеет вид:
где R – длина радиус-вектора точки M. Выражения для деформаций и перемещений нетрудно получить, используя непосредственно формулы (2.6) и (2.7).
Для
условий плоской деформации, кроме
напряжений (3.5), нормально к плоскости
хОz действуют главные напряжения y
2.
Их величину можно определить из закона
Гука для условий плоской деформации
(2.4):
При x 0 имеем s . Т.к. в точке приложения нагрузки (0, 0), вертикальные напряжения z стремятся к бесконечности, вызывая согласно закону Гука столь же большие деформации. Однако решение (3.6) имеет еще две важные особенности, препятствующие ее непосредственному практическому применению.
Во-первых, формула (3.6) содержит произвольную постоянную, которая не может быть определена из имеющихся граничных условий. И это уже является существенным недостатком. Во-вторых, при любом значении произвольной постоянной C линия, определяющая деформированный вид поверхности, пересекает ось Ox и бесконечно «уходит» вверх, т.е. s(x) при x (см. рис. 3.6). Такое положение дел прямо противоречит существующим представлениям о деформациях оснований.
Таким образом, решение Фламана, имеющее очень большое значение в ТЛДС, не позволяет сколько-нибудь адекватно оценить осадку при данных граничных условиях..
Задача Фламана. Доказать, что выражения для напряжений удовлетворяют исходным уравнениям тлдс и граничным условиям.
Проверка правильности решения. Формулы (3.5) действительно являются искомым решением, если они удовлетворяют уравнениям исходной системы (2.5)…(2.7) и граничным условиям. В качестве иллюстрации того, как выполняются подобные проверки, покажем, что, например, формулы для напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия. Напомним, что в уравнениях равновесия (2.5) следует положить 0, поскольку рассматриваются только дополнительные напряжения. Итак, подстановка (3.5) в первое из уравнений (2.5) даст:
Задача о произвольной полосовой нагрузке на горизонтальном основании (плоская задача).
Ставится задача определить напряженно-деформированное состояние основания от такой нагрузки.
Задача Мичелла. Напряжения, эпюры, осадка поверхности. Угол видимости.
Основной результат, на который следует обратить внимание – это уменьшение напряжений по мере удаления от нагрузки. Здесь же нагрузка распределена по ширине 2a, и вертикальные напряжения z под нагрузкой равны давлению p, что, кстати, отвечает граничным условиям. При этом под краем загруженной площади имеем z p/2.
Формула для осадки поверхности.
Осадку поверхности в задаче Мичелла определим также на основе решения Фламана (3.6) с точностью до произвольной постоянной:
К сожалению, данная формула имеет те же недостатки, что и формула (3.6) – невозможность в рамках принятых граничных условий определить произвольную постоянную (здесь она принята равной нулю) и выход деформированной поверхности в отрицательную область: s при x
Задача Польшина. Определение напряжений в основании насыпи.
Расчетная схема и формулы для напряжений
Решение используется при определении напряжений в основаниях насыпей.
