Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Неопределенный интеграл

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

883.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Замечание. Нуль является целым числом.

В первом случае, если p положительное, то интегрирование выполняется непосредственно. Бином (a + bxn )p раскладывается по

формуле Ньютона. Если p отрицательное, то данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подста-

новки x = tr , где r – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

Во втором случае, когда	(m + 1)	− целое число, интеграл ра-
	n

ционализируется подстановкой a + bxn = ts , где s знаменатель дро-

би	p =	q	, s N.
би	p =		, s N.
		s							(m + 1)+ p − целое число, применя-
	В третьем случае, когда								(m + 1)+ p − целое число, применя-
									n	p = q .
ют подстановку a + bxn							= ts xn ,		где s знаменатель дроби	p = q .
										s
	Пример8.5.Найдеминтегралыотдифференциальныхбиномов.
	а) Найдем						dx		.
	а) Найдем				(			10	.
				x	(	4	)
				x		4	x + 1

Здесь подынтегральную функцию можно записать в виде

−10

x−1/2 x1 + 1 , т.е. p = −10 – целое число. Значит, имеем первый

случай интегрируемости дифференциального бинома. Поэтому следует применять подстановку x = t4 ; тогда dx = 4t3dt и искомый интеграл принимает вид

4t3dt

= 4

t dt

= 4

t − 1+ 1

dt =

(

)

t4 (t + 1)10

(t + 1)10

+ 1

= 4

−

= −

+ C.

(t + 1)9

(t + 1)10

+ 1)8

9(t +

1)9

Таким образом,

= −

С .

(

)

(

)

4 x

)

4 x

+ 1

б) Найдем

x−1 (x5 + 1)− 13 dx.

m + 1

−1+ 1

Здесь m = −1,n = 5, p = −

. Так как

= 0, то име-

ет место второй случай. Положим

x5 + 1= t3.

Тогда x =

(

)

t3 − 1 5 ,

dx =

(t3 − 1)− 54

t2 dt. Поэтому

3t2 dt

dt.

+ 1

(

)

(

)

− 1

Представим подынтегральную функцию в виде суммы эле-

ментарных дробей:

−

t −1

−1

+ t

t −1

Интеграл

t −

представляет собой

интеграл

ви-

t2 + t

+ 1

да (С) главы 2 §2.2. Преобразуем подынтегральную функцию:

		t − 1		dt	=			1			2t + 1					dt −				3				dt							.	Значит,
t	2	+ t + 1		dt	=		2			t	2	+ t		+		dt −				2				1		2				3	.	Значит,
t		+ t + 1					2			t		+ t		+	1					2				1			+			3
																							t +	2			+			4
																								2						4

					t							1			dt						1 2t + 1											3				dt
		I =			t				dt =			1			dt			−			1 2t + 1							dt −				3				dt		=

			t3			−	1							t − 1							2	t2 + t +										2				1 2
		1	t3			−	1					3		t − 1							2	t2 + t +					1					2				1 2	3
		1
																																		t	+	+	4
																																				2	4
					1										1				2						3								2t + 1
					1										1				2						3								2t + 1
				=			ln			t − 1			−			ln	t				+ t + 1			−					arctg							+ C,
				=	3		ln			t − 1			−		2	ln	t				+ t + 1			−					arctg							+ C,
																											3						3
																											3						3

Отсюда

t − 1

−

+ t + 1

−

2t + 1

x 3 x5 + 1

arctg

+ C, где

t = 3

x5 +1 .

в) Найдем

x−4

(1+ x2 )−

dx.

1+ x

Здесь m = −4,n = 2, p = − 1

m + 1

= − 3 .

Так

как

числа

p, mn+ 1 не являются целыми, то первый и второй случай места не имеют. Имеет место третий случай, потому что целым является число

m + 1

+ p = − 3 −

1 .

Воспользуемся подстановкой 1+ x2 = t2x2 . От-

сюда x = (t2 − 1)−

, dx = − (t2 − 1)−

t dt. Поэтому x−4 (1+ x2 )−

dx =

= − (t2 − 1)2 (t2 (t2 − 1)−1 )−

(t2 − 1)−

t dt = − (t2 − 1)dt = −

+ t + C.

Мы применяли подстановку 1+ x2 = t2x2 , откуда t =

1+ x2

Следовательно,

= −

( 1+ x2 )3

1+ x2

+ C.

1+ x2

3x3

Подстановки, применяющиеся при интегрировании простейших иррациональностей, запишем в виде табл. 7.

Таблица 7

Подстановки, применяющиеся при интегрировании простейших иррациональностей

Интеграл

Рационализирующаяподстановка

R (x,x

x = tr , dx = rtr −1dt , где r= НОК(n1, n2,…, nk

)

,…,x nk )dx

R(x, a2 − x2 )dx.

x = asint;

dx = a cost dt;

a2 − x2 = a cost;

t = arcsin

;sint =

;cost =

− x

;tg t =

− x2

R(x,

a2 + x2 )dx.

x = a tg t;

dx =

dt ;

+ x

;

cos2 t

cost

t = arctg

;sint =

;cost =

; tg t =

a2 + x2

R(x,

x2 − a2 )dx.

x =

;

dx = a

sint

dt ;

x2 − a2

= a tg t;

cost

cos2 t

t = arccos

;sint =

− a

;cost =

; tg t =

− a

R(x, eax + b )dx

t = eax + b; x =

ln(t2

− b); dx =

− b

Задание 8. Найдите неопределенные интегралы с помощью рационализирующих подстановок.

Дробно-линейные подстановки:

1)				x		dx
	1		+	x

4)				x			dx ;
	1		+	4	3
				x
7)		x +		1+ x					dx;
		3
				1+ x
9)						dx
			1− 2x −					4	1	− 2x

12) x4 dx1+ x2 ,(x−2

1− 2

;

1+ 2

x +

dx;

6 x + 1

dx;

x − 3 x2

6 x + 4 x5

3xdx

;

(5x − 8)

− 23 5x − 8 + 4

; 10)

2− x

dx;

11)

dx;

(2− x)2

2+ x

x −1

+ 1= t2).

Тригонометрические подстановки:

13)

1− x2

dx;

14)

;

15)

9+ x2

dx;

−

16)

;

17)

;

18)

x + 1

dx.

(1+ x2) 1− x2

x4 2x2 − 1

(x2 + 4)

Разные подстановки:

e3xdx

19)

, x −

= t ;

20)

+ 2 = t

);

(x −1) x2 − 3x + 2

ex + 2

e6xdx

21)

4 = t

);

22)

, x

;

3 e2x +

(x +1) x2 + 3x

+ 3

23)

x + 2

(x + 2) x2 + 2x

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 1.

3 3

−

+ C ;

2) 2arcsinx − x + C ;

x2 + 5

−

3)3ln

x +

− 5x + C ;

+ 2x + ln

+ C ;

5)arctgx + x −

+ C ;

+ 9x +

− 3

+ C ;

x + 3

e3x

+ C ;

tg x − ctg x + C ;

3+ ln3

9) tg x − ctg x + C.

Задание 2.

(x + 5)3

+ C ;

x − 3+ C ;

+ 3

+ C ;

4) − 1

+ C ;

5) −e− x + C ;

6) shx +C ;

3x − 5

25x+1

+ C ;

8) −

103− x

+ C ;

9) −

cos2x

+ C ;

5ln2

ln10

10)

1sin3x + C ;

11) ln

sinx

+ C ;

12)

1ln

sin2x

+ C ;

13)

1arctg

3x + C ;

14)

3x − 2

+ C ;

15)

1arcsin

3x + C ;

3x + 2

16)

1ln3x +

4+ 9x2

+ C ;

17)

1ln

x2 + 1

+ C ;

18)

x2 +4 +C ;

19)

(x2 + 1)4 + C ;

20)

1ex2

+ C ;

21)

1sin(x2

+1)+ C ;

22)

5+ x2

+ C ;

4 5

5− x2

24)

1ln

x8 + 5

+ C ;

26)

−2ctg

x + C ;

28)

−5ln

cos(5

x + 1)

+ C ;

30)

ln(x + 1)

+ C ;

32) −ctg(lnx)+ C ; 34) arcsin(lnx)+ C ;

36) 101 ln 5e2x + 3 + C ;

38) arcsin ex + C ;

40) − 13arctgcos3 x + C ;

2sin x

42) ln2 + C ;

5ctg2x

44) − 2ln5 + C ;

46)		2		(arctg x)32 + C ;
	3

48)			2			(1+ arctg 3x)7		+ C ;
	21

50)	−			10arcctg3x			+ C .
					3ln10

23)		1				arctg					x3		+ C ;
	21									7

25)	−2cos									x + C ;
27)	2						7 x					+ C ;
		ln7

29)		1ln2 x + C ;
	2
31)	− cos(lnx)+ C ;
33)		1	arctg						lnx				+ C ;
	4
										4
35)	ln				ex + 3							+ C ;

37)	2 ex + 5 + C ;
												4+ e2x
39)	ln			ex +											+ C ;
41)		1ln						4− sinx						+ C ;

								4+ sinx
	8
43)	etg x						+ C ;

45) − arcsin1 x + C ;

47)1arctg arcsinx + C ; 2 2

49) earcsin x + C ;

Задание 3.

1) 2arctg

x + C ;

(x −1)21

(x −1)22

+ C ;

3) − ln(1+ cos

x)+ C ;

ex −1

+ C ;

−1

+ C .

2ln

ex + 1

2ln

Задание 4.

arctg

x + 4

+ C;

arctg 2x + 1+ C;

1ln

x + 1

+ C;

x + 5

4)ln

x − 2

+ C;

5) −

+ C;

6) − 1

+ C;

x −1

−

2x + 3

3x − 4

+ C;

arctg 2x − 1+ C;

1ln

2x +1

+ C;

3x + 8

2 2

2x + 6

10)

arctg3x − 2

+ C; 11)arcsin

x −1

+ C;

12) arcsin

2x + 1+ C;

x2 + 12x − 32

x2 − 5x + 4

13) ln

x + 6+

+ C; 14)ln

x − 2,5+

+ C;

15)ln

x + 6

+ C;

16)

1ln

3x −1

+ C;

1ln

2x + 5

4x2

17)

+ 5x + 3

+ C;

18)

1arcsin5x −1+ C;

19)

arcsin

2x + 1

+ C;

20)33 ln 6x +5+ 36x2 +60x +24 +C;

21)ln x2 − 8x + 20 + 4arctg x −2 4 + C;

22)ln x2 − 2x + 2 + arctg(x − 1)+ C;

23)32ln x2 + 4x − 5 + 76ln xx+−15 + C;

24)− 12ln 2− x − x2 − 76ln 12−+ xx + C;

25)83ln 4x2 − 8x + 13 + 76arctg 2x3− 2 + C;

26)1ln 2x − 3 − 1 + C; 2 2x − 3

27)− 16ln 3x2 + 4x − 7 + 16ln 33xx +− 73 + C;

28)	1	ln		5x2		− 3x + 2		+	9		arctg		10x − 3		+ C;

	2								31					31

			1ln		2x2					10			2x + 2−		10
29)	−						+ 4x − 3		+			ln				+ C;


			4							20			2x + 2+		10

30)− 14ln x + 1 + C;

31)x − 2ln x + 2 + C;

32)

x2 − 6x + 10 + 4ln

x − 3

x2 − 6x + 10

+ C;

8− 6x + x2

33)

+ 7ln

x − 3+

+ C;

34) −

7− 6x − x2

− arcsin

x + 3

+ C;

35)

− 3 x2 −10x − 8ln

x − 5

x2 −10x

+ C;

36)− x2 − 6x + 2arcsin x +33+ C; 37) 2x + C;

37)2x + C;

38) −	3	3− 4x − 4x2 −	5arcsin	2x + 1	+ C;
	4		4	2

39)		3				2x2 − 3x + 1+											5		2 ln			x − 0,75+									x2 − 1,5x + 0,5								+ C;
39)		3				2x2 − 3x + 1+											5		2 ln			x − 0,75+									x2 − 1,5x + 0,5								+ C;
		2																4									3(x + 1)
		2																4
40) −			2					2	− 3x2 − 6x −									5			arcsin												+ C.
40) −			3					2	− 3x2 − 6x −									3			arcsin												+ C.
			3															3											5
Задание 5.1.
1)	1 xe5x −								1		e5x + С					;					2)		x3x				−		3x		+ С;					3) (2x + 1)ex + С ;
	5								25														ln3					ln2 3
4) (x2 − 2x + 2)ex + С ;																					5) 10x 2x2 + 3x − 4 −															4x + 3 +				4		+ С;
4) (x2 − 2x + 2)ex + С ;																					5) 10x 2x2 + 3x − 4 −															4x + 3 +						+ С;
																													ln10							ln210				ln310
6)	− x cosx + sin x + С ;																				7)			x	sin2x +						1cos2x + С ;
6)	− x cosx + sin x + С ;																				7)		2		sin2x +						1cos2x + С ;
																							2								4
		1				x2									x
8)				−					cos2x +								sin2x + С ;
8)		4		−			2		cos2x +						2		sin2x + С ;
		4					2								2
9)	1 x2 sin3x + 2 xcos3x −																				2	sin3x + С .
9)	1 x2 sin3x + 2 xcos3x −																				27	sin3x + С .
	3		2					1	9						1						27
10)		x	2		+			1	xsin2x +						1		cos2x + C ;
10)		4			+			4	xsin2x +						8		cos2x + C ;
		4						4							8
11)		3sinx − 3 xcosx −																1		sin3x +							1		x cos3x + C ;
11)		3sinx − 3 xcosx −																36		sin3x +						12			x cos3x + C ;
		4							4									36								12				x	2
12)		x tgx + ln								cosx			+ C ;												13) −						2	− x ctg x + ln						sinx			+ C ;

																														2
																														2
14)				x				− ln			x					π			+ C ;				15)						−	1	(x			2	+ 1)e	− x2	+ C ;
				x							x					π														1				2		− x2
											tg			+																2
		cosx									tg	2		+		4
		cosx										2				4
16) Замена t = − 3												x + 1.
−3(3 (x + 1)2 + 23 x + 1+ 2)e− 3 x+1 + C .

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20239.34 Mб4Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек..pdf
#
19.11.202329.17 Mб0Нелинейные колебания механических систем..pdf
#
12.11.202310.11 Mб5Нелинейные металлоксидные полупроводники..pdf
#
12.11.202310.59 Mб3Нелинейные эффекты в волоконной оптике..pdf
#
12.11.202318.2 Mб4Немецкий язык (летательные аппараты)..pdf
#
12.11.2023883.83 Кб1Неопределенный интеграл..pdf
#
19.11.202339.06 Mб0Неорганическая химия..pdf
#
12.11.202313.36 Mб6Непараметрическая статистика..pdf
#
12.11.202319.67 Mб2Неразрушающий контроль и диагностика горно-шахтного и нефтегазового оборудования..pdf
#
12.11.20232.5 Mб4Неразрушающий контроль и техническая диагностика транспортных сооружений. Диагностика железобетонных мостовых конструкций и их элементов.pdf
#
12.11.202321.37 Mб8Неразрушающий контроль параметров тонких проводящих пленок электромагнитными методами..pdf