Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Неопределенный интеграл

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

883.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Задание 5.2.
1)	x3	ln			x				−		x3		+ С;																	2)		x4	ln	x	−			x4			+ С ;
	x3										x3																					x4						x4
	3									9																					4						16
	3									9																					4						16
3)	xln		x2 + 2									− 2x + 2							2arctg						x	+ С ;				4)		2 x32 ln				x		−			4 x32			+ С		;
																									x

																									2						3									9
																									2						3									9
5)	x ln2				x			− 2x ln							x		+ 2x + С ;													6)		x arctg x −							1		ln		1+ x2		+ С;



																																					2			1
	x2 + 1															1																					2									2
7)	x2 + 1						arctg x −									1		x	+ С ;											8)		xarcsin2x +										1		− 4x		2	+ С ;
7)	2						arctg x −									2		x	+ С ;											8)		xarcsin2x +								2		1		− 4x			+ С ;
	2															2																								2
9)	x3	arccosx −												x2				1− x		2			−	2	(1− x		2	)	3	+ С ;
9)	3	arccosx −												3				1− x					−	9	(1− x			)		+ С ;
10)	−	1				1				+ 1 arctg x −												1		+ C ;
10)	−	2				2				+ 1 arctg x −											2x			+ C ;
		2		x																	2x
11)Выполнитезамену t =																							1		: x arcsin					1	+ x −1+ C ;
11)Выполнитезамену t =																								x	: x arcsin					x	+ x −1+ C ;
																								x						x

12)x arcsin2 x + 2 1− x2 arcsin x − 2x + C ;

13)Воспользуйтесь равенством

ln 1+	1	= ln(x + 1)− lnx :	1	(x2	−1)ln(x + 1)−	x2	lnx +	x	+ C ;
	x		2
					2		2

14)− 1− x2 arcsin x + x + C ;

15)arctg x(ln(arctg x)− 1)+ C ;

16)ln tg x − cosx ln(tg x)+ C .

Задание 5.3.
1)		2	e2x sin3x −		3	e2x cos3x + С ;	2)	e4x	(3sin3x + 4cos3x)+ С ;
								25
	13			13
3)		e2x (2cosx + sinx)+ С ;					4)	1 x	a2 − x2 + a2	arcsin	x	+ C ;
											a
	5							2	2

101

x2 + b + b ln

x +

x2 + b

+ C ;

(sin(lnx)+ cos(lnx))+ C ;

1ln(ex + 1+ e2x )+ C .

1ex

1+ e2x +

Задание 5.4.

1) I (n) =

2n − 3

I (n − 1);

2(n − 1)a2

(x2 + a2 )n−1

2n − 2

I (1) =

arctg

+ C

I (2) =

1 1

arctg

+ C ,

2a2

(x2 + a2 )

3 1

I (3) =

arctg

+ C .

4a2

(x2 + a2 )2

(x2 + a2 )

2) I (n)

x(a2 − x2 )n

2na2

I (n −1);

2n + 1

I (− 1) = arcsin

+ C

x a2 − x2

arcsin

+ C ,

I 3

1 x

(a2 − x2 )3

+ 3a2

a2 − x2

+ 3a4

arcsin

+ C .

3) I (n)= x(lnx)n − nI (n −1);

I (0)= x + C ,

I (1)= x lnx − x + C ,

102

I (2)= x ln2 x − 2x lnx + 2x + C ,

I(3)= x(ln3 x − 3ln2 x + 6lnx − 6)+ C .

4)I (n)= xnex − nI (n −1);

I(0)= ex + C ,

I (1)= xex − ex + C ,

I (2)= (x2 − 2x + 2)ex + C ,

I (3)= (x3 − 3x2 + 6x − 6)ex + C .

Задание 6.

(x − 3)2

+ C ;

2x − 3

+ C ;

x + 1

− ln

x −1

−16ln

x + 2

+ 18ln

x + 3

+ C ;

4)x2 − x + ln(x + 1)2 + C ; 2

6) x2 + x + ln x(x − 3)2 (x + 3) + C ;

x + ln

x3 (x − 2)

+ C ;

(x + 1)2

2x2 − ln

x3 (x + 1)

−

+ C ;

(x −1)2

11)

x + ln

+ C ;

+ 1

x −1

13)

(x + 1)

x2 + 1

+ C ;

5) x − ln x + 1 + C ;

8) ln

(x + 1)(x − 2)

+ C ;

(x − 1)(x + 2)

10)

−

3 + ln

x + 1

+ C ;

12)

+ C ;

−

+ 4ln

4(x − 2)

x − 2

14) 34ln xx +− 11 − 12arctg x + C ;

103

15)		−				1		+ ln(x2						+ 4)+					3	arctg						x		+ C ;
15)		−				4x		+ ln(x2						+ 4)+					8	arctg								+ C ;
						4x													8						2
16)			1			ln		x2 + 1					+			1	arctg x −						1		arctg						x			+ C ;
			1					x2 + 1								1							1								x
		2						x2 + 4							3							6									2
		2						x2 + 4							3							6									2
17)			1				arctg			x	+			1				x			+ C ;
17)		54					arctg				+			18 9+ x2							+ C ;
		54						3						18 9+ x2
18)			1			ln(x2 + 9)								−				1				+			1				arctg								x	+		1		x	+ C .
18)						ln(x2 + 9)								−				9+ x2 )				+			54				arctg									+		189+ x2			+ C .
		2													2(			9+ x2 )							54										3					189+ x2
Задание 7.
					1																			1			ln			tg			x			+ 2			+ C ;					x − tg	x
																																	x
1)									+ C ;												2)											2											3)			+ C ;
1)									+ C ;												2)											2											3)			+ C ;
		tg			x		− 2															4								tg			x			− 2								2
					2																										2
							1+ 2tg					x																						4+ 5tg							x
												x																													x
	1																							2
											2																														2
4)				ln							2				+ C ;						5)						arctg														2	+ C ;
5							4	− 2tg				x										3													3
							4	− 2tg				2
6) ln(2+ cosx)+															4			arctg				1					tg			x				+ C ;
6) ln(2+ cosx)+																	3	arctg				3					tg							+ C ;
																	3					3							2

7)− sin x + ln sin x + C ;

8)− 14cos4 x + 23cos3 x − cos2 x + 4cosx − 9ln(2+ cosx)+ C ;

9)	1cosx −	3		ln	2cosx − 1	+ C ;

		4	2		2cosx + 1
	2

10)14sin4 x − sin3 x + 72sin2 x − 21sinx + 64ln(3+ sinx)+ C ;

11)13arctg(3tg x)+ C ;

104

12)	−		2					ln				(1+ tg2x)−														1				x +			1	ln			tg x			−		1			ln				4		+ tg x						+ C ;
			2																							1							1									1

			17																						17						4										68
			17																						17						4										68
13)	1			arctg										2		tg x						+ C ;														14)					1				−							1				+ C ;

	6													3																											sinx								3sin				3	x
	6													3																											sinx								3sin					x
15)	2				cos7 x − 2																	cos3 x + C ;														16)					1									−				2								+			1				+ C ;
15)	7				cos7 x − 2																	cos3 x + C ;														16)					5cos5						x			−		3cos3							x			+	cosx						+ C ;
	7															3																									5cos5						x					3cos3							x				cosx
17)		1sin6 x − 1sin8 x + C ;																																		18)					1		x −					1			sin4x −											1		sin3				2x + C ;
17)		1sin6 x − 1sin8 x + C ;																																		18)			16				x −								sin4x −										48			sin3				2x + C ;
	6														8																								16							64															48
19)		5			x +								1		sin8x +										3					sin16x −								1			sin3			8x + C ;
19)	16				x +						32				sin8x +										256					sin16x −											sin3			8x + C ;
	16										32														256											192
20)	−			ctg3x									− ctg x + C ;																							21)					tg x +						1			sin2x −										3		x	+ C ;
20)	−					3							− ctg x + C ;																							21)					tg x +					4				sin2x −								2				x	+ C ;
						3																																								4												2
22)		1		tg6x −										1		tg4x +								1			tg2x + ln								cosx				+ C ;
		1												1										1

	6						1							4					1			2																								1sin2x −												1sin4x + C ;
	6													4								2
23)	C −									ctg5x +											ctg3x − ctg x − x ;																				24)
23)	C −					5				ctg5x +											ctg3x − ctg x − x ;																				24)
						5											3																													4												8
25)	2cos								x				−		6cos					5x					+ C					;						26)					1		sin5x + 1sinx + C ;
25)	2cos												−		6cos					12					+ C					;						26)			10				sin5x + 1sinx + C ;
								4							5					12																			10													2
27)		1 1						sin3x +									1			sin7x + sinx +																1								+ C ;
27)								sin3x +									7			sin7x + sinx +																9		sin9x						+ C ;
		4 3															7																			9
28)	−			1				cos6x −										1				cos4x − 1cos2x + C .
28)	−		24					cos6x −									16					cos4x − 1cos2x + C .
			24														16														8
Задание 8.																(												)																														(									)
1) x − 2																(											x	)	+ C ;										2) − x + 2																			(				+	2 x				)		+ C ;
1) x − 2									x + 2ln 1+																		x		+ C ;										2) − x + 2													x − ln 1										+	2 x						+ C ;
3) 23ln(1+ 3 x2 )+ C ;																																							4) 34(4 x3 − ln(1+ 4 x3 ))+ C ;
5) 2				x + 6								6		x + 3ln											x −					1		+ C ;							6) 24ln											12 x					+			12					−		6				+ C ;
																							6		x −					1																				12 x								12							6

																							6 x +							1																					x +								12 x							6 x
																							6 x +							1																		12			x +			1					12 x							6 x

105

7) 63 (1+ x)								2		1+ x				+		1+ x	−	1		+ C;

										10						7		4
										10						7		4
	9			3		(5x −				8)	2				2
8)	9					(5x −				8)		+			2	(5x − 8)		+ C;
8)	25							4				+			3	(5x − 8)		+ C;
	25							4							3

																			4 1− 2x −1;									1			2+ x
9) C −						1− 2x − 24 1− 2x − 2ln													4 1− 2x −1;					10)				1			2+ x		+ C;
				x −1																								2			2− x
11)	2							+ C;								12)	(2x2 −1) 1+ x2							+ C;				2			2− x
																	(2x2 −1) 1+ x2
						x														3x3
						x														3x3
13)	−			1− x2					− arcsinx + C;										14) C −			1	arccos			5	;
13)	−					x			− arcsinx + C;										14) C −			5	arccos			x	;
						x																5				x
15)	C −					(x2			+ 9)3				;			16)	1		arctg			2x			+ C;
15)	C −						27x3						;			16)	2		arctg		1− x2				+ C;
							27x3										2				1− x2
17)		2 2x2 −1								−		(2x2 −1)3					+ C;					18)			x − 4				+ C;
17)						x				−					3x3		+ C;					18)							+ C;
						x									3x3									4 4+ x2
19)	2			2x − 4 + C;												20)	2		(ex + 2)5			− 8			(ex + 2)3 + 8 ex + 2 + C;
				2x − 2													5						3
21)		3		3 (e2x + 4)8 −											12 3 (e2x + 4)5 + 123 (e2x + 4)2												+ C;
21)	16			3 (e2x + 4)8 −											12 3 (e2x + 4)5 + 123 (e2x + 4)2												+ C;
	16														5
22)	3ln					x +		3	+		x		2		+ 3x + 3		+ ln			1	+	1	+		x2 + 3x +					3		+ C;
								3					2							1		1			x2 + 3x +					3
								2												x + 1		2			x + 1
								2												x + 1		2			x + 1
23)					x		+ C.
					x
			x + 2

106

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Что такое первообразная для функции?

2.Для каких функций существуют первообразные?

3.Как связаны между собой две первообразные для одной функции?

4.Что такое неопределенный интеграл от функции?

5.Какими свойствами обладает неопределенный интеграл?

6.Какая операция является обратной операции дифференцирования?

7.Чему равна производная неопределенного интеграла?

8.Чему равен дифференциал неопределенного интеграла?

9.Чемуравенинтегралотдифференциаланекоторойфункции?

10.В чем состоит свойство инвариантности формул интегрирования?

11.Как сделать замену переменной в неопределенном инте-

грале?

12.Для нахождения каких интегралов используется формула интегрирования по частям?

13.Приведите пример интеграла, для которого формула интегрирования по частям приводит к уравнению относительно исходного интеграла.

14.Какая формула называется рекуррентной? Приведите

пример.

15.Назовите основные методы интегрирования.

16.Какой вид имеет дробно-рациональная функция?

17.Перечислите элементарные дроби.

18.Каков алгоритм разложения правильной дроби в сумму элементарных дробей?

19.Какая рациональная дробь называется неправильной?

20.Каков алгоритм интегрирования правильной рациональной дроби?

21.Каков алгоритм интегрирования неправильной рацио-

нальной дроби?

22. В результате какой подстановки интеграл видаR(sinx, cosx)dx сводится к интегралу от рациональной функции?

107

23. Назовите основную тригонометрическую подстановку, в результате которой интеграл вида R(sinx, cosx)dx сводится к интегралу от рациональной функции.

24. Какая подстановка сводит интеграл R(sinx, cosx)dx


к интегралу от рациональной функции в случае,	когда функция
R(sinx,cosx) является нечетной относительно синуса?
25. Какая подстановка сводит интеграл R(sinx,		cosx)dx
к интегралу от рациональной функции в случае,	когда функция
R(sinx,cosx) является нечетной относительно косинуса?
26. Какая подстановка сводит интеграл R(sinx,		cosx)dx
к интегралу от рациональной функции в случае,	когда функция

R(sinx,cosx) является четной относительно синуса и косинуса?

27.Назовите три метода нахождения интегралов вида

sinn xcosm x dx в зависимости от четности (нечетности) и поло-

жительности чисел n, m.

28. С помощью каких формул интегрируют произведения синусов и косинусов различных аргументов?

29. С помощью какой подстановки интеграл вида

		m1		m2		mk
R x,x n1			,x n2 ,…,x nk dx сводятся к интегралам от дробно-рацио-


нальных функций?
	30.		Назовите подстановки, с помощью которых интегралы
вида	R(x, a2				− x2 )dx , R(x,		a2 + x2 )dx , R(x, x2 − a2 )dx сво-

дятся к интегралам от дробно-рациональных функций.

31.Что такое дифференциальный бином?

32.В каких случаях интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции?

108

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Контрольная работа 1

Тема. Табличные интегралы. Подведение линейной функции под знак дифференциала

Вариант 1

3x + 5dx ;

dx ;

(3x + 5)10dx ;

4) sin(3x + 5)dx ;

3x + 5

dx ;

6) e

3x+5

dx ;

7) 10

3x+5

dx ;

sin

(3x + 5)

+ 4

dx ;

10)

dx .

9x2 − 4

Вариант 2

dx ; 2)

dx ; 3)

dx ;

4) cos(2x − 5)dx ;

(2x

− 5)2

2x − 5

3 2x

− 5

dx ;

6) e2x−5dx ;

7) 52x−5dx ; 8)

dx ;

cos

(2x − 5)

+ 49x

dx ;

10)

dx .

+ 49x

− 49x

Вариант 3

4dx

(7− 2x)5 dx ;

2) 3 (7− 2x)dx ; 3)

;

4) cos(7− 2x)dx ;

(7− 2x)2

dx ;

6) e7−2xdx ;

7) 37−2x dx ;

dx ;

cos

(7− 2x)

16−

dx ;

10)

dx .

16+ 9x2

+ 9x2

109

Вариант 4

dx ; 2)

7(3x + 2)dx ; 3)

dx ; 4)

sin(3x + 2)dx ;

5 (3x + 2)2

(3x

+ 2)2

;

6) 103x+2 dx ;

7) e3x+2dx ;

dx ;

sin

(3x +

+ 25x

dx ;

10)

dx .

9− 25x2

9− 25

Вариант 5

(4x − 3)9 dx ;

dx ;

;

4) sin(4x − 3)dx ;

2 4x − 3

(4x −

;

6) e4x−3dx ;

7) 54x−3dx ;

dx ;

cos

(4x − 3)

25+

dx ;

10)

dx .

25− 4x2

− 4x2

Вариант 6

dx ; 2)

dx; 3)

dx ; 4) cos(2− 3x)dx ;

(2− 3x)5

2− 3x

4 (2−

3x)3

;

6) 7e

2−3x

dx ;

2−3x

dx ;

cos

(2− 3x)

25x

− 36

dx ;

10)

dx .

25x2 + 36

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20239.34 Mб4Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек..pdf
#
19.11.202329.17 Mб0Нелинейные колебания механических систем..pdf
#
12.11.202310.11 Mб5Нелинейные металлоксидные полупроводники..pdf
#
12.11.202310.59 Mб3Нелинейные эффекты в волоконной оптике..pdf
#
12.11.202318.2 Mб4Немецкий язык (летательные аппараты)..pdf
#
12.11.2023883.83 Кб1Неопределенный интеграл..pdf
#
19.11.202339.06 Mб0Неорганическая химия..pdf
#
12.11.202313.36 Mб6Непараметрическая статистика..pdf
#
12.11.202319.67 Mб2Неразрушающий контроль и диагностика горно-шахтного и нефтегазового оборудования..pdf
#
12.11.20232.5 Mб4Неразрушающий контроль и техническая диагностика транспортных сооружений. Диагностика железобетонных мостовых конструкций и их элементов.pdf
#
12.11.202321.37 Mб8Неразрушающий контроль параметров тонких проводящих пленок электромагнитными методами..pdf