Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Неопределенный интеграл

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

883.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

§1. Метод непосредственного интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования основан на применении таблицы и свойств неопределенных интегралов.

Пример 1. Вычислим неопределенные интегралы с помощью свойств неопределенных интегралов и данных табл. 1.

		2		5
а)	I = x		− 3x +			dx.	Воспользуемся свойством 5 неоп-
а)	I = x		− 3x +	x	2	dx.	Воспользуемся свойством 5 неоп-
				x

ределенных интегралов (интеграл суммы равен сумме интегра-

лов): I = x2dx + (−3x)dx +

dx.

Воспользуемся

свойством 4

вынесем

постоянные

множители

за

знак

интеграла:

−2

I = x

dx −

3 x dx + 5

dx.

Заметим,

что

= x

применим

формулу II: I = x2dx − 3 xdx + 5 x−2dx =

− 3

+ 5

x−1

+ C. Таким

−1

3x2

образом, окончательно получаем:

I =

−

+ C .

x + x2 − x

x x2

б)

−

dx =

dx +

dx −

−

dx = x−

x 2

−

2dx + dx −

+ x − ln

+ C = −

+ х−

−

+ 1

− ln

+ C

(использовали свойство 5

неопределенного интеграла

и формулы I, II, III таблицы интегралов).

в) (x2 + 2x )dx =

+ C (использовали свойство 5 неоп-

ln2

ределенного интеграла и формулы II, V таблицы интегралов).

г) (2sinx + 3cosx)dx = 2sinxdx + 3cosxdx =2 sinx dx + +3 cosx dx = − 2cosx + 3sinx + C (использовали свойства 4, 5

неопределенного интеграла и формулы VI, VII таблицы интегралов).

д)

= −3ctgx + 5tgx + C (свойства 4,5; фор-

cos

sin

мулы VIII, IX).

е)

arctg

x + 2

(свойства

−

+ C

+ 4

4− x

− 2

4,5; формулы X, XI).

ж)

=2arcsin

− 3ln

− 9

−

x +

+ C

9− x

− 9

(свойства 4,5; формулы XII, XIII).

sin2 x

1− cos2 x

з)

xdx =

dx =

−

1 dx =

cos

− dx = tg x − x + C

(формулы VIII и I).

cos

cos2x

cos2 x − sin2 x

cos2 x

и)

dx =

−

cos

xsin

cos

xsin

cos

sin2 x

−

= − ctg x − tg x + C

(формулы

−

cos

xsin

sin

cos

VIII, IX).

3 2x − 2

2 3x

3 x

к)

dx =

−

dx = 3dx −

dx =

= 3x − 2

+ C

(формулы I, V).

1+ 2x

)

(1+ x

)+ x

1+ x

л)

(

dx =

dx +

(1+ x

)

+ x

)

(1+ x

)

dx = dx2

x−1

+ arctg x + C

= − 1

+ arctg x + C

(1+ x

)

1+ x

−1

(формулы II, X).

Задание 1. Найдите неопределенные интегралы с помощью табл. 1 и свойств неопределенного интеграла.

1) x (			3	x − x		2	)dx;	2)	2− 1− x2						3)		3− (x2 + 5)32
												2	dx;									dx;
										1	− x								x	2	+ 5

					1	2			2	− x4							x4 − 80
4)		x		+		dx;		5)			2 dx ;				6)						dx;
					x				1	+ x							x	2	− 9

7)	e3x 3x dx;							8)			dx			;	9)	(tg x +ctg x)2 dx.
									cos2		xsin2 x

2. Операция подведения под знак дифференциала

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала:

du = d (u + b), b – число

(под знаком дифференциала можно прибавить (вычесть) любое число),

du = 1a d(au), a ≠ 0− число

(при умножении под знаком дифференциала на любое число необходимо на это же число поделить).

Последние две формулы можно объединить: du = 1a d(au + b).

Приведем группу формул вида ϕ′(u)du = d (ϕ(u)), которые

часто используются при преобразовании дифференциала. В этих формулах а – число.

u du =

1d (u2 ),

du = 2d ( u ),

ua du =

(ua+1), a ≠ −1,

a + 1

1du = d (lnu),

eu du = d (eu ),

au du =

d (au ),

lna

cosudu = d (sinu),

sinudu = −d (cosu),

du = d (tg u),

cos2 u

du = −d (ctgu),

sin2 u

du =

d arctg

+ u

du = d arcsin u .

a2 − u2

Пример 2. Вычислим неопределенные интегралы, используя операцию подведения под знак интеграла.

а)	dx	= d(x − 2)	= ln	x − 2	+ C	(формула III таблицы


	x − 2	x − 2

интегралов).

б)

= (x −

−2

dx = (x − 3)

−2

d (x −

3)=

− 3)−1

−1

(x − 3)2

+C = −

+ C

(формула II).

− 3

в)

= (2x + 1)−3 dx =

(2x + 1)−3 d (2x + 1)=

(2x + 1)3

(2x + 1)−2 + C = −

+ C (формула II).

4 (2x + 1)2

−2

г) 2x

x2 + 1 dx .

(

)

(

)

Можно заметить,

что 2xdx = d

= d

x2 +

поэтому

1 ,

x2 + 1dx = (x2 + 1)2 d (x2

+ 1)= (x

+ 1)

+ C = 2 (x2 + 1)3 + C

(формула II).

д) (6x − 5) (3x2 − 5x)7 dx .

Здесь 6x − 5 является производной выражения, стоящего во

второй скобке: (6x − 5)dx = d (3x2 − 5x)

, следовательно,

(6x − 5) (3x2 − 5x)7 dx = (3x2 − 5x

(формула II).

е) sin3 x cosxdx.

Так как cosxdx = d (sinx), то

= sin4 x + C (формула II). 4

ж) arctgx (1+ x2 ).

)7 d (3x2 − 5x)= (3x2 − 5x)8 + C

sin3 x cosxdx = sin3 xd sinx =

Замечаем, что

– производная функции arctg x,

значит

1+ x2

d (arctg x)

dx = d (arctg x).

Поэтому

1+ x2

arctg x (1+ x2 )

arctg x

= ln

arctg x

+ C (формула III).

d (cosx)

з)

tg xdx

sinx

dx = −

= − ln

cosx

+ C (формулаIII).

cosx

и)

shx dx =

− e− x

( ex dx − e− x dx)=

( ex dx + e− x d (− x))=

ex + e− x

+ C

(формула IV).

2 x

sin

+ cos

sin

к)

dx =

dx +

sin x

2sin

cos

2sin

cos

1sin

1cos

cos2

−d

cos

dx =

dx +

dx =

2sin

cos

sin

d sin

= − ln

cos

+ ln

sin

+ C = ln

+ C (формула III,

sin

свойство логарифма).

л)

4x2 + 9

Приведем интеграл к формуле X:

d (2x)

1 1

= 2

3arctg

3 + C =

6arctg 3

+ C .

4x2 + 9

(2x)2 + 32

м)

= (подведём к формуле XII) =

4− 3x

22 − (

3x)

d (

3x)

arcsin

+ C.

22 − (

3x)

н)

xdx

x4 + 9

В таблице интегралов нет выражения, содержащего в

знаменателе

x4 , однако,

если

заметить, что

x4 + 9 = (x2 )2 + 32 ,

xdx =

1dx2 ,

можем

свести

этот

интеграл

формуле

1 dx2

xdx

arctg

+ C =

arctg

+ C .

+ 9

2 )

+ 32

о)

2x dx

1− 4

4x = (

22 )x = (

2x )2 , и данный интеграл можно

Заметим,

что

свести к табличному (формула XII):

d (

2x )

ln2

arcsin2x + C .

ln2

1− 4

1− 2

1− (2x )

п)

cosxdx

d (sin x)

= ln

sin x +

5+ sin

+ C (фор-

+ sin

5+ sin

мула XIII).

1 d (x4 − 25)

(x3

+ x)dx

x3dx

xdx

р)

− 25

−

− 25

1 d

(x2 )

− 5

x4 − 25

+ C (формулы III и XI).

(x2 )

+ 5

− 52

Замечание 1. Пример 2, з, представляет собой вывод формулы XVIII таблицы интегралов. Аналогично выводится формула XIX.

Пример 2, и, представляет собой вывод формулы XIV. Аналогично выводится формула XV.

Пример 2, к, представляет собой вывод формулы XX. Аналогично выводится формула XXI.

Замечание 2. Вычисление интегралов иногда требует некоторой изобретательности, «индивидуального подхода» к каждой подынтегральной функции. Соответствующие навыки приобретаются в результате значительного числа упражнений.

Задание 2. Найдите неопределенные интегралы:

1)	(x + 5)2 dx ;			2)			dx		;	3)		dx	;
						2	x −	3				2x + 3

4)		dx	;	5)	e− xdx ;					6)	chx dx ;
		(3x − 5)2

7) 25x+1dx ;

8) 103− x dx ;

10)

cos3xdx ;

11)

ctgxdx ;

13)

;

14)

;

9x2 + 4

9x2 − 4

16)

;

17)

xdx

;

4+ 9x2

x2 + 1

19)

x(x2 + 1)3 dx ;

20)

xex2 dx ;

22)

xdx

;

23)

x2dx

;

5− x

+ 49

25)

sin

dx ;

26)

;

x sin

(

)

1lnx dx

28)

x +1

dx ;

29)

;

(lnx)dx ;

31)

x sin

32)

;

xsin2 (lnx)

9)sin2xdx ;

12)ctg2xdx ;

15)		dx		;
	4	− 9x	2

18)	xdx		;
	2
	x	+ 4

21) xcos(x2 +1)dx ; 24) xx38dx+ 5 ;

27) 7 xx dx ;

30) (x + 1)ln(x + 1) ; 33) 16+1ln2 x dxx ;

34)

;

35)

dx ;

36)

e2x

dx ;

x 1− ln

+ 3

37)

dx ;

38)

dx ;

39)

dx ;

4− e

+ e

+ 5

40)

sinx dx

;

41)

cosx dx

;

42)

cosx 2sin x

dx ;

9+ cos

16− sin

43)

tg x

;

44)

5ctg2x dx

;

45)

;

cos

sin

(arcsinx)

1− x

46)

arctg x

dx ;

47)

;

1+ x

1− x

(arcsin

x + 4)

48)

(1+ arctg3x)5

dx ; 49) earcsinx

;

50)

10arcctg3x

1− x

1+ 9x

§2. Метод замены переменной

1. Интегрирование подстановкой

Метод замены переменной, или метод интегрирования подстановкой, заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Новая переменная может быть введена двумя способами. Способ 1. Пусть требуется вычислить интеграл f (x)dx .

Сделаем подстановку x = ϕ(t), где ϕ(t) – функция, имеющая не-

прерывную производную.

Тогда dx = ϕ′(t)dt, и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем

формулу интегрирования подстановкой
f (x)dx = f (ϕ(t)) ϕ′(t)dt.	(4)

Эта формула называется также формулой замены переменной в неопределённом интеграле. После нахождения интеграла в правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменой x .

Отметим, что формулу (4) применяют, если интеграл в правой части равенства проще исходного интеграла. Примеры применения формулы (4) нам встретятся при интегрировании тригонометрических функций и интегрировании простейших иррациональностей.

Способ 2. Если подынтегральная функция	имеет вид
f (ϕ(x)) ϕ′(x), то подстановку подбирают в виде t = ϕ(x). Тогда
f (ϕ(x)) ϕ′(x)dx = f (t)dt ,	(4*)
где t = ϕ(x).

Формулу (4*) применяют, если под интегралом находится сложная функция f (ϕ(x)) и дифференциал d (ϕ(x))= ϕ′(x)dx.

Внося функцию под знак дифференциала, мы фактически применяем формулу (4*).

Приведем примеры выбора подстановок.

Пример 3. Найдем неопределенные интегралы с помощью замены переменной.

а)	ln x	dx .

	x		1 dx .
Представим рассматриваемый интеграл в виде lnx
			x
Мы видим под интегралом ϕ(x) = ln x , f (ϕ(x)) =			ln x ,

ϕ′(x) = (lnx)′ = 1x . Значит, можно выполнить замену переменной.

Положим ln x = t . Тогда, продифференцировав обе части послед-

него равенства, получим dt = d (lnx)= (lnx)′ dx =							1dx . Следова-
							x
	ln x		3		2
тельно,	ln x	dx =	tdt = t 2	+ C =	2	(ln x)3 + C .
тельно,		dx =	tdt = t 2	+ C =	3	(ln x)3 + C .
	x		3		3
			2

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20239.34 Mб4Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек..pdf
#
19.11.202329.17 Mб0Нелинейные колебания механических систем..pdf
#
12.11.202310.11 Mб5Нелинейные металлоксидные полупроводники..pdf
#
12.11.202310.59 Mб3Нелинейные эффекты в волоконной оптике..pdf
#
12.11.202318.2 Mб4Немецкий язык (летательные аппараты)..pdf
#
12.11.2023883.83 Кб1Неопределенный интеграл..pdf
#
19.11.202339.06 Mб0Неорганическая химия..pdf
#
12.11.202313.36 Mб6Непараметрическая статистика..pdf
#
12.11.202319.67 Mб2Неразрушающий контроль и диагностика горно-шахтного и нефтегазового оборудования..pdf
#
12.11.20232.5 Mб4Неразрушающий контроль и техническая диагностика транспортных сооружений. Диагностика железобетонных мостовых конструкций и их элементов.pdf
#
12.11.202321.37 Mб8Неразрушающий контроль параметров тонких проводящих пленок электромагнитными методами..pdf