Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Неопределенный интеграл

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

883.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

б)

3x + 4

dx .

+ 12x + 10

3(8x + 12)

− 36 + 4=

(8x + 12)− 1 .

Числитель: 3x + 4=

Подкоренное выражение: 4x2 +12x +10 =(

4x2 +12x +9)+1=

= (2x + 3)2 + 1.

Следовательно,

(8x + 12)dx

3x + 4

= 3

−

(2x + 3)

+ 1

+ 12x + 10

4x + 12x + 10

(8x + 12)dx

t = 4x2 + 12x + 10

= 2

t + C =

+ 12x + 10

dt = (8x + 12)dx

= 2 4x2 + 12x + 10 + C;

t = 2x + 3

2dt

dt = 2dx

t + t2 + 1

+ C =

(2x + 3)

+ 1

dx =

t +

2x + 3+ 4x2

+ 12x + 10

+ C.

3x + 4

4x2 + 12x + 10 −

Итак,

dx =

+ 12x + 10

4x2

−

2x + 3+

+ 12x + 10

+ C.

Задание 4. Найдите интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе:

;

x2 + 8x + 25

x2 + x + 1

x2 + 6x + 5

;

x2 − 3x + 2

x2 −10x + 25

4x2 + 12x + 9

;

9x2 + 12x − 32

2x2 + 7x + 3

4x2 − 4x + 3

10)

;

11)

;

12)

;

3x2 − 4x + 3

− x2 + 2x + 3

1− x − x2

13)

;

14)

;

15)

;

+ 12x −

− 5x + 4

+ 12x + 36

16)

;

17)

;

18)

;

10x − 25x

− 6x + 1

+ 5x +

19)

;

20)

;

21)

2xdx

;

3− 2x − 2x2

2+ 5x + 3x2

x2 − 8x + 20

22)

(2x − 1)dx

23)

(3x −1)dx

24)

x − 3

;

dx;

x2 − 2x + 2

x2 + 4x − 5

2− x − x2

25)

3x + 4

dx;

26)

(2x −1)dx

;

27)

(1− x)dx

;

4x2 − 8x + 13

4x2 −12x + 9

3x2 + 4x − 7

28)

5x + 3

dx;

29)

x + 2

dx;

30)

(− x − 1)dx

;

5x2 − 3x + 2

3− 2x2 − 4x

2x2 + 4x + 2

31)

xdx

;

32)

(x + 1)dx

;

33)

3x − 2

dx;

8− 6x + x

+ 4x + 4

x − 6x + 10

34)

2+ x

dx;

35) (7−2

3x)dx ;

36)

− x −1

dx;

7− 6x − x

−10x

− x

− 6x

37)

6x −10

dx;

38)

3x −1

dx;

39)

(3x − 2)dx

;

25− 30x +

3− 4x − 4x

− 3x +

40)

2x − 3

dx.

2− 3x

− 6x

§3. Метод интегрирования по частям

1. Формула интегрирования по частям

Пусть u(x),v(x) – функции аргумента x , имеющие непре-

рывные производные.

Определим дифференциал произведения этих функций d (uv)= udv + vdu . Отсюда udv = d (uv)− vdu . Проинтегрируем обе части последнего равенства:

udv = uv − vdu .

(5)

Формула (5) называется формулой интегрирования по частям. Этой формулой пользуются в тех случаях, когда интеграл

vdu проще, чем интеграл udv . Такая ситуация встречается, ес-

ли под интегралом находится, например, произведение многочлена и показательной, тригонометрической, логарифмической, обратной тригонометрической функции.

Для того чтобы применить формулу интегрирования по частям, необходимо подынтегральное выражение представить в виде произведения двух сомножителей u и dv . Затем множитель u продифференцировать и найти du = u′dx . Множитель dv проин-

тегрировать и найти v = dv . Отметим, что в качестве функции v мы выбираем одну первообразную.

В качестве примера рассмотрим интеграл x 103x dx. Подынтегральное выражение представляет собой произведение:


x 103x dx = u dv.					Пусть		u = x,	dv = 103x dx.	Тогда
du = dx, v =	103x		.	Применим формулу интегрирования по частям:
du = dx, v =	3ln10		.	Применим формулу интегрирования по частям:
	3ln10
x 103x dx = x		103x			−	103x	dx. Интегралвправойчастиравенства
x 103x dx = x		3ln10			−	3ln10	dx. Интегралвправойчастиравенства
		3ln10				3ln10

проще, чем исходный интеграл. Значит, мы правильно выбрали u, dv.

Так

как

103x

dx =

103x d (3x)=

103x + C

3ln10

ln10

(формула V таблицы

интегралов), то окончательно получаем:

x 10

dx = x

103x

−

103x

+ C =

103x

(x 3ln10−1)+ C.

3ln10

9ln

Замечание. Формула интегрирования по частям может при-

меняться несколько раз.

Рассмотрим подробнее интегралы, которые могут быть найдены с помощью метода интегрирования по частям. В каждом случае будем формулировать правило выбора функции u.

2.	Интегралы вида
Pn (x)sinax dx ,	Pn (x)cosax dx ,	Pn (x)eax dx

Здесь мы рассмотрим ситуацию, когда под интегралом содержится произведение тригонометрической (sinax , cosax ) или

показательной (eαx ,β αx ) функции на многочлен Pn (x) степени n

или степенную функцию xn . В этом случае за множитель u следует принять многочлен (степенную функцию).

Действительно, для случая		Pn (x)cosax dx имеем: u = Pn (x),
dv = cosax dx. Следовательно,		du = u′dx = (Pn (x))′ dx = Pn−1(x)dx ,
v = dv = cosaxdx =	1sinax .
	a
По формуле	интегрирования по частям получаем:

Pn (x)cosax dx = a Pn (x)sinax − a Pn−1(x)sinax dx .

Таким образом, мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на 1 меньше. Применяя формулу интегрирования по частям n раз, получим под интегралом многочлен нулевой степени. Интеграл сведется к табличному.

Пример 5.1. Найдем интегралы с помощью метода интегрирования по частям.

а)

x cos3x dx =

u = x

dv = cos3x dx

xsin3x −

du = dx

v =

sin3x

sin3x dx =

−

xsin3x −

−

cos3x

+ C =

xsin3x +

cos3x + С.

б)

x2 sin3x dx =

u = x2

dv = sin3x dx

= −

x2 cos3x +

du = 2xdx

cos3x

v = −

x cos3x dx =

u = x

dv = cos3x dx

cos3x

1sin3x

du = dx

v =

= − 3x

xsin3x −

sin3x dx = −

cos3x +

xsin3x −

−

cos3x

+ c = −

cos3x +

xsin3x +

cos3x + С.

в) xe2x dx =

u = x

dv = e2x dx

xe2x

−

e2x dx =

= dx

xe2x −

e2x + C.

г)

(3x2 − 2x + 1)ex dx =

u = 3x2 − 2x + 1 dv = ex dx

du = (6x − 2)dx

v = e

= (3x2 − 2x + 1)ex − (6x − 2)ex dx =

u = 6x − 2 dv = ex dx

= 6dx

v = e

=(3x2 − 2x + 1)ex − ((6x − 2)ex − 6ex dx)=

=(3x2 − 2x + 1)ex − (6x − 2)ex + 6ex + С = (3x2 − 8x + 9)ex + С .

Задание 5.1. Вычислите неопределенные интегралы с помощью метода интегрирования по частям.

1) xe5xdx ;

4) x2exdx ;

7) x cos2xdx ;

10) x cos2 xdx ;

13) xctg2xdx ; 16) e− 3 x+1dx .


2) x 3x dx ;							3) (2x + 3)exdx ;
5)	(2x2 + 3x − 4)10x dx ;						6)	xsinxdx ;
8)	x2 sin2x dx ;						9)	x2 cos3xdx .
		xsin		3						x
11)					xdx ;		12)				dx ;
										cos2 x
14)			xsinx			dx ;	15)		x3e− x2dx ;
			cos2 x

3. Интегралы вида

Pn (x)ln x dx , Pn (x)arcsinx dx , Pn (x)arctg x dx

В этом	пункте	мы рассмотрим интегралы вида
Pn (x) f (x)dx ,	где f (x)	– функция, имеющая дробно-рацио-

нальную или дробно-иррациональную производную. Например, в качестве f (x) можно взять логарифмическую или обратную три-

гонометрическую функцию ln x,arcsin x,arccosx,arctg x,arcctg x .

В этом случае за множитель u следует принять логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию, чтобы в интеграле

vdu участвовала не функция f (x), а ее производная.

Пример 5.2. Найдем интегралы с помощью метода интегрирования по частям.

а) (2x + 1)ln x dx =

u = lnx dv = (2x + 1)dx

(x2 + x)lnx −

du =

v = x2 + x

− (x2 + x)

dx = (x2 + x)lnx − (x +

1)dx = (x2 + x)lnx −

+ x

+ С.

б)

ln2 x dx =

u = ln2 x

dv = dx

= xln2 x − x 2lnx

dx =

du = 2lnx

v = x

u = lnx

dv = dx

= x ln

x − 2 ln x dx =

= x ln

x − 2

x ln x − x

du =

v = x

= x ln2 x − 2(x ln x −

dx)= x ln2 x − 2ln x

+ 2x + С.

в)

2x arctg x dx =

u = arctg x

dv = 2xdx

= x2arctg x −

du =

v = x2

1+ x2

− 1

−

dx = x

arctg x

−

dx = x

arctg x −

1−

dx =

1+ x

= x2arctg x − x + arctg x + С.

г)

arcsinx dx =

u = arcsinx

dv = dx

= xarcsinx −

xdx

du =

v = x

1− x

− x2

При вычислении интеграла

xdx

можно сделать замену

1− x2

xdx = − 1dt .

переменной

t = 1− x2 ,

тогда

dt = −2xdx и

Получим

xdx

−

= −

1 t− 2dt = −t 2

+ c = − 1− x2

+ С.

1− x

Таким образом,

arcsinx dx =xarcsinx +

1− x2

+ С.

д)

I1 = x arcsin x dx =

u = arcsin x

dv = xdx

du =

v =

1− x2

x2 arcsin x −

x2dx

1− x

Вычислим

интеграл

I2 =

x2dx

помощью

замены

1− x2

x = sint.

Тогда

dx = cost dt

1− x2 = cost.

Поэтому

sin2 t cost dt

1− cos2t

dt =

t −

sin2t + С .

Выполним

cost

обратную замену t = arcsin x ,

sin2t = 2sint cost = 2x

1− x2 .

Значит, I

arcsinx −

1− x2

+ c.

Следовательно,

= 1 x2 arcsinx −

1arcsinx + 1 x 1− x2 + С.

Задание 5.2. Вычислите неопределенные интегралы с помощью метода интегрирования по частям.

1) x2 ln xdx ;

4) x ln xdx ;

7) x arctg x dx ;

arctg x

10) x3 dx ;

13)xln 1+ 1 dx ;

16) sin x ln(tgx)dx .

2)	x3 ln xdx ;					3)	ln(x2 + 2)dx ;
5)	ln2 xdx ;					6)	arctg x dx ;
8)	arcsin2xdx ;					9)	x2 arccosxdx ;
11)		arcsin		1	dx ;	12)		(arcsin x)2 dx ;
				x
									ln(arctg x)
14)			xarcsinx		dx ;	15)						dx	;
			1− x	2					1	+ x	2

4.Циклические интегралы

Вэтом пункте мы рассмотрим интегралы вида eax cosbx dx ,

eax sinbx dx ,	sin(lnx)dx ,	cos(ln x)dx ,	a2 + x2 dx ,
a2 − x2 dx и другие.

Эти интегралы дважды берутся по частям и приводятся к уравнению относительно искомого интеграла.

Пример 5.3. Найдем циклические интегралы с помощью метода интегрирования по частям.

а) Вычислим интеграл I = e2x cos3x dx . Мы будем дважды

интегрировать по частям. В обоих случаях в качестве u надо выбирать одну и ту же функцию (или показательную, или тригонометрическую).

I = e

cos3x dx =

u = e2x

dv = cos3x dx

sin3x −

du = 2e2x dx

v =

sin3x

sin3x dx =

u = e2x

dv = sin3x dx

sin3x −

−

du = 2e2x dx

cos3x

v = −

−

cos3x +

cos3x dx .

Таким

образом, мы

получили

уравнение

I =

e2x sin3x +

e2x cos3x −

I . Отсюда

I =

e2x sin3x +

e2x cos3x . Следо-

вательно,

e2x cos3x dx =

e2x sin3x +

e2x cos3x + C .

б) Вычислим интеграл I = 1+ x2 dx . Перенесем иррацио-

нальность в знаменатель и представим интеграл в виде суммы двух интегралов:

I = 1+ x2

dx =

1+ x2

dx =

x2dx

Интеграл

1+ x

1+ x2

I =

является

табличным,

= ln

x +

+ C .

1+ x2

x2dx

Интеграл I2 =

вычислим с помощью формулы интегриро-

1+ x2

вания по частям. Положим u = x , dv =

xdx

. Тогда du = dx . Так

1+ x2

d 1+ x2

как

dv =

xdx

(

)

1 t−

dt =

t + C =

1+ x2 + C ,

1+ x

то

v =

1+ x2

Поэтому

x2dx

= x

1+ x2 −

1+ x2 dx =

1+ x2

= x

1+ x2

− I. Мы получили уравнение I = ln

x +

1+ x2

+ x 1+ x2 − I.

1+ x2

1+ x2 .

Отсюда

2I = ln

x +

+ x

Следовательно,

(ln

x + 1+ x2

1+ x2 )+ C.

1+ x2 dx =

I =

+ x

Итак,

x + 1+ x2

+ 12 x 1+ x2 + C .

Задание 5.3. Вычислите неопределенные интегралы с помощью метода интегрирования по частям.

1)	e2x sin3xdx ;	2)	e4x cos3xdx ;	3)	e2x cosxdx ;
4)	a2 − x2 dx ;	5)	x2 + b dx ;	6)	cos(ln x)dx ;
7)	ex 1+ e2x dx .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20239.34 Mб4Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек..pdf
#
19.11.202329.17 Mб0Нелинейные колебания механических систем..pdf
#
12.11.202310.11 Mб5Нелинейные металлоксидные полупроводники..pdf
#
12.11.202310.59 Mб3Нелинейные эффекты в волоконной оптике..pdf
#
12.11.202318.2 Mб4Немецкий язык (летательные аппараты)..pdf
#
12.11.2023883.83 Кб1Неопределенный интеграл..pdf
#
19.11.202339.06 Mб0Неорганическая химия..pdf
#
12.11.202313.36 Mб6Непараметрическая статистика..pdf
#
12.11.202319.67 Mб2Неразрушающий контроль и диагностика горно-шахтного и нефтегазового оборудования..pdf
#
12.11.20232.5 Mб4Неразрушающий контроль и техническая диагностика транспортных сооружений. Диагностика железобетонных мостовых конструкций и их элементов.pdf
#
12.11.202321.37 Mб8Неразрушающий контроль параметров тонких проводящих пленок электромагнитными методами..pdf