Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Неопределенный интеграл

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

883.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

=	1	3 4 (−1)− (−5)(2 (−2)(1)+ 3 4 1)	= −	17	.
=	2	16 1	= −	8	.
	2	16 1		8

−1

−17

Итак,

(x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3

x + 1

x + 2

(x + 2)2

x + 3

− 5

− 1

(x + 3)2

(x + 3)3

4. Случай неправильной дроби Pn ((x))

Qm x

Пусть старшая степень числителя дробно-рациональной

функции Pn ((x)) больше или равна старшей степени знаменате-

Qm x

ля: n ≥ m . В этом случае надо выделить «целую часть»										Tn−m (x)
дроби	Pn	(x)					Pn (x)			Pn (x)
				.	Дробь			представить в	виде		=
	Qm	(x)					Qm (x)			Qm (x)
=Tn− m (x)+			R(x)			, где степень «остатка» R (x)			строго меньше
			Qm (x)

R(x)

степени знаменателя, т.е. дробь Qm (x) правильная.

Многочлены Tn−m (x) и R (x) можно найти, например, с помощью деления «уголком».

Пример 6.5. Выделим «целую часть» и правильную дробь

функции x2 − 2x + 3 .

Выполним деление «уголком».

		x3			x2 + 2x − 3
		x3			x2 + 2x − 3
		x3 + 2x2 − 3x			x − 2
		− 2x2 + 3x
		−2x2 − 4x + 6
			4x − 6
						x3
		В результате		деления получили:			= x − 2+
		В результате		деления получили:		x2 − 2x + 3	= x − 2+
+		4x − 6	.
+	x2	− 2x + 3	.
	x2	− 2x + 3

5. Интегрирование дробно-рациональной функции

Сформулируем правило интегрирования дробно-рациональ- ной функции.

Пусть дробь	R(x) =	Pn (x)	является правильной (степень
		Qm (x)

числителя меньше степени знаменателя).

Правильную дробь надо представить в виде суммы элементарных дробей. Для этого:

1)представить знаменатель в виде произведения линейных множителей и квадратичных множителей, не имеющих действительных корней;

2)представить дробь в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами (см. табл. 4);

3)найти неопределенные коэффициенты.

Если дробь R(x) = Pn ((x)) не является правильной (степень

Qm x

числителя больше или равна степени знаменателя), то надо разделить числитель на знаменатель и представить функцию R(x) в ви-

де суммы многочлена и правильной дроби		rl (x)
	R(x) = T (x)+		.
		Qm (x)

Далее надо проинтегрировать многочлен и правильную дробь.

Пример 6.6. Вычислим интегралы от дробно-рациональных функций.

5x + 1

а) Вычислим неопределенный интеграл x2 + x − 2dx .

Представим подынтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей, это было сделано в примере 6.1, а. Затем проин-

5x + 1

тегрируем каждое слагаемое:

dx =

+ x − 2

x + 2

x − 1

= 2

+ 3

= 2ln

x −1

+ 3ln

x + 2

+ C = ln

(x − 1)2

(x + 2)3

+ C.

x −1

x +

4x3

б) Вычислим неопределенный интеграл

dx .

x4 − 1

Представим подынтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей, см. пример 6.1, б. Проинтегрируем каждое

слагаемое:

4x3

dx =

− 1

x + 1

+ 1

x − 1

= ln x − 1 + ln x + 1 + ln x2 + 1 + C = ln x4 − 1 + C.

в) Найдем неопределенный интеграл x4dx− x3 .

Представим подынтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей, см. пример 6.1, в. Проинтегрируем каждое слагаемое:

−

dx =

− x

x − 1

= − ln

+ ln

x − 1

+ C

= ln

+ C.

2x2

г) Найдем неопределенный интеграл (x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3 .

Воспользуемся разложением подынтегральной функции, полученном в примере 6.4, г:

( )( dx)2 ( )3 =

x + 1 x + 2 x + 3

−1

−17

− 5

− 1

= x

+ 1

+ x + 2 + (x + 2)2 + x + 3

+ (x + 3)2 + (x + 3)3 dx =

8ln

x + 1

+ 2ln

x + 2

−

x + 3

+ C

x + 2

4(x + 3)

4(x + 3)2

(x + 1)(x + 2)16

5x + 16

8ln

(x + 3)17

+ C.

x + 2

4(x + 3)2

д) Найдем неопределенный интеграл

x2dx

x − 1

У подынтегральной функции степень числителя выше степени

знаменателя. Разделим числитель на знаменатель.

= x

+ 1+

x −

−

x2dx

Поэтому

+ 1

+ x + ln

x −1

+ C .

dx =

−1

е) Найдем интеграл

x2 − 2x + 1

dx.

x2 − 4x + 5

Выделим «целую часть» подынтегральной функции:

x2 − 2x + 1

= 1+

2x − 4

x2 − 4x +

x2 − 2x + 1

Так как

d (x

− 4x + 5)= (2x − 4)dx ,

то

dx =

x2 − 4x + 5

= x + ln

x2 − 4x + 5

+ C.

x3 dx

ж) Найдем интеграл

. Воспользуемся результатами

x2 − 2x + 3

примера 6.5:

= x − 2+

4x − 6

. Поэтому

x3 dx

− 2x + 3

− 2x +

4x − 6

dx. Последний интеграл имеет вид (С) гла-

− 2x + 3

вы 1, §2.2. Представим его следующим образом:

4x − 6

− 2x +

(2x − 2)dx

= 2

− 2

После

интегрирования получим:

− 2x

(x − 1)

x3 dx

x −1

− 2x + 2ln(x

−

2x + 3)+

2arctg

+ C.

x2 − 2x + 3

з)

6x dx

x4 + 5x2 + 4

(

)(

)

Так как

x4 + 5x2 + 4 =

x2 +

, то подынтегральная

x2 + 1

функция может быть записана в

виде

суммы

x4 + 5x2 + 4

Ax + B

Cx + D

Найдем

неопределенные

коэффициенты

x2 + 1

x2 + 4

6x dx

2x dx

и проинтегрируем полученную сумму

−

x4 + 5x2

+ 4

x2 + 1

−

2x dx

= ln

x2 + 1

+ C.

+ 4

Задание 6. Вычислите неопределенные интегралы

Знаменатель имеет только действительные различные корни:

(x + 5)dx

;

5dx

;

(x + 1)(x − 3)

(x + 1)(2x − 3)

x2 − 19x + 6

x2 + 1

dx ;

(

x −

)

(

+ 5x +

)

x + 1

xdx

;

2x4 + x3 −14x2 − 6x − 9

dx ;

+ 1

− 9x

x3 + x2 − 6

2x2 + 4

dx ;

dx .

x3 − x2 − 2x

x4 − 5x2 + 4

Знаменатель имеет только действительные корни. Некоторые из них – кратные:

9)	−3x3 − x2 + 5x + 2								dx ;
			x3 (x + 1)
11)			x3 − 3					dx ;
		(	)(	x	2		)
			x −1			−1

10)	−3x3 − x2 + 5x + 2		dx ;
	x3 (x + 1)
	2x + 1
12)		dx .
	x2 (x − 2)2

Знаменатель имеет комплексные различные корни:


13)		2x2 + x + 1					x2 + 2
					dx ;	14)		dx ;
	(	x + 1		x2 + 1			x4 −1
			)(	)			(3x + 1)dx
15)	2x3		+ x2 + 1
	x2 (x2 + 4)dx ;					16)			.
							x4 + 5x2 + 4

Знаменатель имеет комплексные кратные корни:

17)	dx	18)	x3 + 10x + 1
				dx .
	(x2 + 9)2		(x2 + 9)2

Замечание. При решении примеров 17 и 18 воспользуйтесь рекуррентной формулой.

§2. Интегрирование тригонометрических функций

1. Основная тригонометрическая подстановка

Пусть R – некоторая дробно-рациональная функция. Инте-

грал

R(sinx,

cosx)dx

сводится

интегралу

вида

R* (t )dt =

Pn (t )

с помощью

основной

тригонометрической

Qm (t )

подстановки t = tg

. Здесь

R* (t )

– дробно-рациональная функ-

ция, Pn (t ),Qm (t )

– многочлены степени n, m соответственно.

Так как t = tg

, то x = 2arctgt, dx =

dt.

1+ t2

Далее выразим через новую переменную t функции sin x

и cos x:

2sin

cos

2sin

cos

2tg

sin x =

;

sin

+ cos

2 x

sin

2 x

+ cos

2 x

1+ tg

2 x

+ t2

cos2

cos

− sin

1− tg

1− t2

cosx =

cos

+ sin

1+ tg

+ t2

Выполним

основную

тригонометрическую

подстановку.

В результате получим интеграл от рациональной функции нового аргумента t:

		2t			1− t	2	2
R(sinx,	cosx)dx = R			,					dt = R* (t )dt.
		1+ t	2		1+ t	2	1+ t	2

Пример 7.1. Найдем интегралы от функций, рационально зависящих от тригонометрических, с помощью основной тригонометрической подстановки.

а)

cosx + sinx

Полагаем t = tg

Тогда

2dt

1+ t2

cosx + sinx

− t2 + 2t + 1+ t2

2+ 2t

1− t2

1+ t2

= ln1

+ tg

+ C.

1+ t

б)		dx	.
	3	+ 4cosx

Воспользуемся основной тригонометрической подстановкой.

= t

2dt

1+ t

3+ 4cosx

1+ t2

1− t2

3(1+ t2 )

+ 4(1− t2 )

cosx =

1− t2

3+ 41+ t2

1+ t2

2dt

7 + t

7 + tg

+ C =

+ C .

7− t2

7 − t

7 − tg

в)

− sinx

Применим основную тригонометрическую подстановку.

= t

2dt

dx =

1+ t

1− sinx

1+ t2

1+ t2 − 2t

(1− t )2

−

sinx =

1+ t2

+ C =

+ C .

− t

1− tg

2. Интегрирование четных (нечетных) относительно синуса (косинуса) функций

Универсальная подстановка довольно часто приводит к сложным вычислениям. Во многих случаях интегралы указанного выше вида могут быть вычислены с помощью более простых подстановок.

Если

выполнено

условие

R(− sinx,cosx)= −R(sinx,cosx) ,

т.е. функция является нечетной относительно sin x ,

то применяют

подстановку t = cosx .

условие R(sin x,− cosx)= −R(sinx,cosx) ,

Если

выполнено

т.е. функция является нечетной относительно cosx ,

то применяют

подстановку t = sin x .

R(− sinx,− cosx)= R(sinx,cosx) ,

Если

выполнено

условие

т.е. функция является четной относительно sin x и cosx ,

то при-

меняют подстановку t = tgx . При этом используются формулы:

sin x =

cosx =

dx =

x = arctgt.

+ t2

1+ t2

Пример 7.2. Найдем неопределенные интегралы от четных

(нечетных) относительно синуса (косинуса) функций.

а)

sinx dx

2cos2 x + 3sin2 x

sinx

Подынтегральная функция R(sinx,cosx)=

2cos2 x + 3sin2 x

является

нечетной

относительно

синуса:

R(− sinx,cosx)=

(− sinx)

− sinx

= −R(sinx,cosx). Восполь-

2cos2 x + 3(− sinx)2

2cos2 x + 3sin2 x

зуемся подстановкой

t = cosx.

Тогда

dt = − sinxdx,

sin2 x = 1− t2 ,

следовательно,

sinx dx

−dt

= −

2cos

x + 3sin

+ 3(1

− t

)

3− t

3 − t

3 − cosx

+ C =

+ C.

3 + t

3 + cosx

б) cos3 xdx . 3− sinx

В этом	случае	R(sinx,cosx)=			cos3 x	. Так как
					3+ sinx
	(− cosx)3
R(sinx,− cosx)=		= −	cos3 x	= −R(sinx,cosx), то подын-
	3+ sinx		3+ sinx

тегральная функция является нечетной относительно косинуса.

Воспользуемся подстановкой t = sin x . Так как cos3 x dx =
	2
= cos2 x cosx dx = (1− sin2 x) d (sinx), то cos3−	3sinxdxx =	(1− t )dt	.
		3− t
Мы получили интеграл от дробно-рациональной функции.

Так как степень числителя подынтегральной функции выше

степени знаменателя, то разделим числитель на знаменатель,

выделим

целую

часть

и «остаток». Получим:

(1− t2 )dt

3− t

= t +

−

+ 3t + 8ln

3− t

+ C .

Выполним

обратную

− t

замену:

cos3 xdx =

1sin2

x + 3sin x + 8ln(3− sin x)+ C.

3− sin x

в)

3+ sin2 x

Подынтегральная функция R(sinx,cosx)=

является

3+ sin2

четной

относительно

синуса и

косинуса:

R (− sinx,− cosx)=

= R (sin x,cosx).

3+ (− sin x)2

3+ sin2 x

В этом случае выбираем подстановку tg x = t. Тогда

1+ t2

= I

(

3+ sin2 x

+ t2

)

+ t2

3+ 4t2

3 1

1+ t2

Найдем первообразную и выполним обратную замену:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20239.34 Mб4Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек..pdf
#
19.11.202329.17 Mб0Нелинейные колебания механических систем..pdf
#
12.11.202310.11 Mб5Нелинейные металлоксидные полупроводники..pdf
#
12.11.202310.59 Mб3Нелинейные эффекты в волоконной оптике..pdf
#
12.11.202318.2 Mб4Немецкий язык (летательные аппараты)..pdf
#
12.11.2023883.83 Кб1Неопределенный интеграл..pdf
#
19.11.202339.06 Mб0Неорганическая химия..pdf
#
12.11.202313.36 Mб6Непараметрическая статистика..pdf
#
12.11.202319.67 Mб2Неразрушающий контроль и диагностика горно-шахтного и нефтегазового оборудования..pdf
#
12.11.20232.5 Mб4Неразрушающий контроль и техническая диагностика транспортных сооружений. Диагностика железобетонных мостовых конструкций и их элементов.pdf
#
12.11.202321.37 Mб8Неразрушающий контроль параметров тонких проводящих пленок электромагнитными методами..pdf