книги / Неопределенный интеграл

дроби

A

+

B

+

Cx + D

кобщему знаменателю:

A

+

B

+

Cx + D

=

x −1

x +1

x2 +1

x −1

x +1

x2 +1

=

A(x + 1)(x2 + 1)+ B(x − 1)(x2 + 1)+ (Cx + D)(x − 1)(x + 1)

=

(

)(

)(

)

x − 1

x + 1

x2 + 1

4x3

=

(A + B + C )x3

+ (A − B + D)x2 + (A + B − C )x + (A − B − D)

x4 −

1

x4 − 1

запишем систему для определения A,B,C,D . Для этого запишем

4x3 = 4x3 + 0 x2 + 0 x + 0

и приравняем

коэффициенты при

x3

A + B + C = 4

одинаковых

степенях x

:

x2

A − B + D = 0

.

Решая полученную

x1

A + B − C = 0

x0

A − B − D = 0

систему,

находим

A = 1, B = 1,C = 2, D = 0 . Таким образом,

4x3

=

1

+

1

+

2x

.

x4 −

1

x −1

x + 1

x2 + 1

1

в)

Представим функцию

в виде суммы элементар-

x4 − x3

2.

Представим функцию

1

в виде суммы элемен-

x4

− x3

тарных

дробей

с

неопределенными коэффициентами

1

=

A

+

B

+

C

+

D

.

x4 − x3

x3

x −1

x x2

3.

Найдем неопределенные коэффициенты. Для этого при-

ведем дроби

A

+

B

+

C

+

D

к общему знаменателю:

x2

x −

1

x

x3

A B C

D

Ax2 (x −1)+ Bx(x −1)+ C (x −1)+ Dx3

+

+

+

=

=

x

x2

x3

x −1

x3 (x −1)

Ax2 (x − 1)+ Bx(x − 1)+ C (x

− 1)+ Dx3

=

=

x3

(x − 1)

1

=

(A + D)x3 + (− A + B)x2 + (− B + C )x − C

запишем систему

x4 − x3

x4 − x3

x3

A + D = 0

при одинаковых степенях

x :

x2

− A + B = 0

. Решая полученную

x1

−B + C = 0

x0

−C = 1

систему, находим

A = −1, B = −1,C = −1, D = 1. Таким образом,

1

= − 1 −

1

−

1

+

1

.

x4 − x3

x3

x −1

x x2

дом частных значений для функции

5x + 1

,

рассмотренной

x2 + x − 2

в примере 6.1, а.

Запишем равенство, полученное в пункте 3

примера 6.1, а:

5x + 1

=

(A + B)x + (2A − B)

. Приравняем числители: (A + B)x +

x2 + x − 2

(x − 1)(x + 2)

+ (2A − B)= 5x + 1.

Придадим x

конкретные значения, например,

x = 0,x = 1.

Запишем равенство

(A + B)x + (2A − B)= 5x + 1 при

x = 0,x = 1.

x = 0: 2A − B = 1

x = 1:

3A = 6.

нированным методом для функции

4x3

, рассмотренной в при-

x4

−

1

мере 6.1, б.

Запишем равенство

4x3

=

(A + B + C )x3

+ (A − B + D)x2

+ (

A + B − C )x + (A − B − D)

,

x4 − 1

x4 − 1

x = 1

4A = 4

циенты при

x3,x2 . Получим систему:

x = −1

−4B = −4

. Решая

x3

A + B + C = 4

x2

A − B + D = 0

1. Пусть

Pn (x)

=

Pn (x)

и r (a)≠ 0 , т.е.

x = a

являет-

Qm (x)

(x − a)r (x)

ся простым

(не

кратным)

корнем знаменателя.

Тогда

Pn (x)

=

A

+

p(x)

. Умножим обе части последнего равен-

(x − a)r (x)

x − a

r (x)

ства на

x − a , получим:

Pn (x)

= A + (x − a)

p (x)

. Положим

x = a :

r (x)

r (x)

ся корнем знаменателя

кратности

k.

Тогда

Pn (x)

=

(x − a)k r (x)

A1

A2

+ ...+

Ak −1

Ak

p(x)

=

+

+

+

.

Умножим обе

x − a

(x − a)2

(x − a)k −1

(x − a)k

r (x)

части

последнего

равенства

на (x − a)k , получим:

Pn (x)

=

r (x)

= A1 (x − a)k −1 + A2 (x − a)k − 2 + ...+ Ak −1 (x − a)+ Ak

+ (x − a)k

p (x)

.

r (x)

Положим x = a :

Pn (a)

= A

. Итак,

A = lim

Pn (x)

= lim

(x − a)k Pn (x).

r (a)

k

k

x→a r (x)

x→a

Qm (x)

k

1

n (

x

)

Продифференцируем обе части равенства

P

= A1(x − a)

−

+

r(x)

+ A2 (x − a)k − 2 + ...+ Ak −1

(x − a)+ Ak

+ (x − a)k

p (x)

.

r (x)

P

x

)

′

k −2

k −3

Получим

n (

=

A1 (k − 1)(x − a)

+ A2 (k − 2)(x − a)

+

r (x)

+...+ Ak −1 + 0+ k (x − a)

k −1 p(x)

+ (x

− a)

k

p(x) ′

.

r (x)

r (x)

Итак,

Ak−1

= lim

Pn (x)

′

= lim

(x − a)k

Pn (x)

′ .

x→a r (x)

x→a

Qm (x)

Аналогично получаем:

Ak − 2 =

1

lim

Pn (x) ′′

=

2 x→a

r (x)

1

x − a

)

k P

x

)

′′

P

x

)

( j)

=

lim

(

n (

, …,

Ak − j

=

1

lim

n

(

=

Qm (x)

r (x)

2 x→a

j!x→a

1

(x − a)k

Pn (x) ( j)

=

lim

.

Qm (x)

j!x→a

Приведемпримерынахождениякоэффициентов Ak − j , 0≤ j ≤ k .

Пусть

k = 2,

Pn (x)

=

Pn (x)

и

r (a)≠ 0 ,

т.е. x = a

(x − a)2 r (x)

Qm (x)

Pn (x)

является корнем знаменателя кратности 2.

Тогда

=

(x − a)2 r (x)

=

A1

+

A2

+

p(x)

. Коэффициенты

A ,A

определяются со-

x − a

(x − a)2

r (x)

1

2

ответственно

равенствами:

A = lim

Pn (x)

= lim(x − a)2 Pn (x) ,

2

x→a

r (x)

x→a

Qm (x)

A1

= lim

Pn (x)

′

= lim

(x − a)2 Pn (x)

′ .

x→a r (x)

x→a

Qm (x)

Пусть

k = 3,

Pn

(x)

=

Pn (x)

и

r (a)≠ 0 ,

т.е. x = a

Qm

(x − a)3 r (x)

(x)

Pn (x)

является корнем знаменателя кратности 3.

Тогда

=

(x − a)3 r (x)

=

A1

+

A2

+

A3

+

p(x)

. Коэффициенты

A ,A ,A

оп-

x − a

(x − a)2

(x − a)3

r (x)

1 2

3

ределяются соответственно

равенствами:

A = lim

(x − a)3 Pn (x)

,

3

x→a

Qm

(x)

A = lim

(x − a)3

Pn (x)

′ ,

A = 1lim

(x − a)3

Pn (x)

′′ .

2

x→a

Qm (x)

1

2 x→a

Qm (x)

Пусть k = 4,

Pn (x)

=

Pn (x)

и r

(a)≠ 0 , т.е. x = a явля-

Qm (x)

(x − a)4 r (x)

Pn (x)

ется корнем знаменателя кратности 4. Тогда

=

A1

+

(x − a)3 r (x)

x − a

p(x)

A2

A3

A4

+

+

+

+

.

Коэффициенты

A1,A2,A3,A4

(x − a)2

(x − a)3

(x − a)4

r (x)

определяются соответственно

равенствами:

A = lim

(x − a)4 Pn (x)

,

4

x→a

Qm

(x)

A3

= lim

(x − a)4 Pn (x)

′

1

(x−a)4 Pn

(x)

′′

,

A1 =

1

(x− a)4

Pn (x)

′′′

Qm (x)

, A2 =

lim

Qm (x)

lim

Qm (x)

.

x→a

2!

x→a

3!

x→a

Вид дробно-

рациональной

Представление

Формулы

функции

Pn (x)

,

функции

для нахождения

в виде суммы

неопределенных

Qm (x)

r (a)≠ 0

элементарныхдробей

коэффициентов

Pn (x)

A

+

p(x)

A = lim

(x − a)Pn (x)

(x − a)r (x)

x − a r (x)

x→a

Qm (x)

Окончание табл. 5

Вид дробно-

рациональной

Представление

Формулы

функции

Pn (x)

,

функции

для нахождения