книги / Неопределенный интеграл

циональной функции

dx

=

6t5dt

= 6

t3dt

. Степень числи-

x + 3 x

t3 + t2

t + 1

подынтегральной дроби и «остаток»

t3

= t

2

− t +

1−

1

. Тогда

t

+

1

t

+ 1

6

t3dt

= 6 t3

− t2 + t

− ln

t +1

+ C = 2t3 − 3t2 + 6t − 6ln

t +1

+ C.

t +1

3

2

x,

t2 = 3

x,

t3 =

x . Итак,

Выполним обратную замену t = 6

dx

= 2

x − 33

x + 6

x − 6ln

6

x + 1

+ C.

x +

3 x

в)

4 xdx

x −1

Подынтегральная функция содержит

x = x12

и

4 x = x14 ,

НОК (2,4) = 4.

Поэтому выполним замену

x = t4,dx = 4t3dt . При

этом

x = t2,

4

x = t.Рассматриваемый интеграл сводится к инте-

4 xdx

t 4t3dt

t4dt

гралу от рациональной функции

=

t2 − 1

= 4

= I1

x − 1

t2 −1

Так как

t4

=

t

4 −1+ 1

=

(t2 −1)(t2

+ 1)

+

1

,

то

t2 −1

t2 −1

t2 −1

t2

−

1

= 4

t4dt

= 4

2

+ 1+

1

4

3

+ 4t +

2ln

t −1

+ C.

I1

t

dt =

t

t

2

−1

t

2

−1

3

t

+ 1

Выполним обратную замену: t = 4 x,

t3 = 4 x3 .

Следовательно,

4

xdx

4 4

x3

4

x − 1

=

+ 44

x + 2ln

+ C.

x − 1

3

4

x + 1

г) I =

dx

3 (x + 2)2 − x + 2

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей

2

и 1

3

2

есть 6. Поэтому полагаем x + 2 = t6 ,

x = t6 − 2, dx = 6t5dt. При этом

x + 2 = t3, 3 (x + 2)2 = t4.

Следовательно, I =

6t5dt

= 6 t2dt

= 6 (t2 − 1)+ 1dt

=

t4 − t3

t − 1

t − 1

= 6 t + 1+

1

dt = 3t2 + 6t + 6ln

t − 1

+ C.

t

−1

t2 = 3 x + 2 .Тогда

Выполним обратную замену: t = 6

x + 2,

I =

dx

= 33 x + 2 + 66

x + 2 + 6ln

6

x + 2 − 1

+ C.

3

(x + 2)2 − x + 2

д)

I =

2x − 3

dx

x

1

(t2

+ 3),

Выполним подстановку 2x − 3= t2 . При этом x =

2t2

3

6

2

t

dx = t dt. Тогда

I =

dt =

2 1−

dt = 2t −

arctg

+ C.

t2 + 3

t2 + 3

3

3

Выполним

обратную

подстановку

t =

2x − 3.

Получим

I =

2x − 3

dx

= 2

2x − 3 − 2

3arctg

2x − 3

+ C.

3

x

е) I =

x + 1

dx

x + 1+ x − 1

Разделим числитель и знаменатель подынтегральной функ-

ции на

x + 1

Тогда I =

1

dx

1+

x − 1

x + 1

да x − 1= t2x + t2 . Значит,

x = − t2 + 1, dx

=

4t

dt. Следовательно,

(

)

2

t2 −1

2

t

−1

1

4t dt

4t

I =

=

dt = I1.

1+ t

(t2 − 1)2

(t − 1)2 (t + 1)3

Проинтегрируем

дробно-рациональную

функцию

f (t) =

4t

. Для этого представим ее в виде суммы эле-

(t − 1)2 (t + 1)3

ментарных дробей

A1

A2

B1

B2

B3

f (t) =

+

+

+

+

.

t − 1

(t − 1)2

t + 1

(t + 1)2

(t + 1)3

= −2lim

(t −1)3

− 3(t +

1)(t −1)2

=

1

.

(t −1)

6

4

t→−1

1

4

1

2

1

4

1

Следовательно,

I1 =

− t − 1

+

(t − 1)2

+ t + 1− (t + 1)3 dt

=

1

t + 1

1

1

=

4ln

t − 1

−

+

+ С.

2(t − 1)

2(t + 1)2

x − 1

Выполним обратную замену:

t =

. После преобразо-

x + 1

ваний

получим:

t + 1

x − 1+ x + 1

(x − 1)+ 2 x2 − 1+ (x

+ 1)

t − 1 =

=

=

x − 1−

x + 1

(x − 1)− (x + 1)

= x +

x

2

−1,

поэтому ln

t +1

= ln

x

+

x

2

−1

. Далее

1

−

1

=

t −1

(t + 1)2

(t −1)

2

2

x + 1

x + 1

x

2

−1− x −1

x

2

−1

+ x + 1

=

−

=

−

=

x −

1− x + 1

−2

−2

x −1+ x + 1

=

1((x + 1)2 − x x2 −1).

2

(ln

Таким

образом,

I =

x + 1

dx =

1

x +

x2

− 1

+

x

+ 1+

x −

1

4

+ (x + 1)2 − x x2 − 1)+ C.