Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Неопределенный интеграл

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

883.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

x2dx

5. Рекуррентные соотношения

Предположим, что подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением параметра, например, n − 1. Такое соотношение называется рекуррентным. Некоторые рекуррентные соотношения могут быть получены с помощью формулы интегрирования по частям.

Пример 5.4. С помощью интегрирования по частям выведем рекуррентные формулы для вычисления интегралов.

а) Получим рекуррентную формулу для интеграла

I (n)= (x2dx+ 1)n .

I (n)= (x2 1+ 1)n dx = x(2x+2 1+−1)xn2 dx = (x2 dx+ 1)n−1 − (xx22+dx1)n =

= I (n −1)− (x2 + 1)n .

Интеграл I = (xx22+dx1)n вычислим с помощью формулы

интегрирования по частям.

Пусть u = x ,

dv =

xdx

Тогда

(

)

x2 + 1

xdx

(

+ 1

du = dx .

Так как

dv =

)

t− ndt =

(

)

(

+ 1

1 t− n+1

+ c = −

+ C

= −

+ C ,

то

−n + 1

2(n − 1)

tn−1

2(n − 1)

(

)

n−1

+ 1

положим

v = −

. Таким образом,

I =

x2dx

(n −1)

(

)

n−1

(

)

x +

x +1

= −

2(n − 1)

(

)

n−1

(n − 1)

(

)

n−1

2(n − 1)

(

)

n−1

+ 1

(n − 1).

(n − 1)

Итак,

I (n)= I (n − 1)+

−

I (n − 1).

2(n − 1)

(

)

n−1

2(n − 1)

+ 1

Следовательно,

I (n)= 3− 2n I (n − 1)

2(n − 1)

(

)

n−1

2n − 2

+ 1

Мы получили рекуррентную формулу:

3− 2n

2n − 2

(

)

(

)

n−1

2(n − 1)

(

)

n−1

+ 1

При n = 1 мы имеем табличный интеграл

= arctg x + C .

+ 1

−1

При

n = 2

получим

(

)

x2 + 1

= −

arctg x +

+ C.

(

)

2 +

При n = 3:

−3

(

)

(

)

(

)

x +

+ 1

= − 4

− 2arctg x + 2(x2 + 1)

(

)

+ C =

+ 1

arctg x −

+ C .

(

)

(

)

8 x

+ 1

4 x

+ 1

б)

Получим

рекуррентную

формулу

для

интеграла

I (n)= cosn x dx .

Пусть

n ≥ 3.

Представим

подынтегральную

функцию

виде

cosn x = cosn− 2 x cos2 x = cosn− 2

(

− sin2 x

)

x 1

= cosn− 2 x − cosn− 2 x sin2 x.

Тогда

I (n)= cosn x dx = cosn− 2x dx − cosn− 2 xsin2 x dx =

= I (n − 2)− sinx cosn−2 xsinxdx. Интеграл

I = sinx cosn−2 xsinx dx

возьмем по частям:

dv = cosn−2 xsinxdx = − cosn−2 x d (cosx)

u = sinx

du = cosxdx

v = − cos

n−1

n −1

Поэтому

I = sin x cosn− 2 xsin x dx = −

cosn−1 xsin x +

n − 1

cosn x dx = −

cosn−1

xsin x +

I (n).

n − 1

n −

n − 1

Таким образом, I (n)= I (n − 2)+

cosn−1 xsinx −

I (n).

n −

Отсюда

(n)

= I (n − 2)

cosn−1 xsinx .

Следовательно,

n −1

I (n)

n −1

I (n − 2)+ 1cosn−1 xsinx . Мы доказали формулу:

cosn x dx = 1cosn−1 xsinx + n −1 cosn−2x dx.

При

n =1

мы имеем табличный интеграл

I (1)= cosx dx =

= sinx + C.

x dx = 1+ cos2x dx =

+ sin2x

При n = 2 :

I (2)= cos2

+ C .

При n ≥3 применим рекуррентную формулу.

Пусть n =3. Тогда I (3)

2 I (1)+

1cos2 xsinx

и cos3 x dx =

sinx +

cos2 xsinx + C.

			Пусть n = 4				. Тогда				I (4)=	3	I	(2)+		1	cos3		xsinx		и cos4 x dx =
												4				4
		x			sin2x
=	3			+		+	1	cos	3	xsinx + C =				3	x +	3		sin2x +		1	cos	3	xsinx + C.

	4		2				4							8		16				4
					4

Задание 5.4. С помощью интегрирования по частям получите рекуррентные формулы для вычисления следующих интегралов:

1) (x2 +1a2 )n dx . При n =1 интеграл является табличным.

Вычислите интеграл при n = 2 и n =3.

2) (a2 − x2 )n dx . При n = − 12 интеграл является табличным.

Вычислите интеграл при n = 12 и n = 32 .

3) (ln x)n dx . При n = 0 интеграл является табличным. Вычислите интеграл при n =1, n = 2 и n =3.

4) xnexdx . При n = 0 интеграл является табличным. Вычислите интеграл при n =1, n = 2 и n =3.

Глава 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

§1. Интегрирование дробно-рациональной функции

1. Интегрирование элементарных дробей

Элементарными (простыми) дробями называются дроби вида, приведен в табл. 3.

Таблица 3

Элементарные (простые) дроби

Номер

Пример

Номер

Пример

III

Ax + B

x − a

x2 + px + q

Ax + B

(x2 + px +q)k

(x − a)k

Интегралы от дробей типов I и II – табличные:

dx = Aln

x − a

+ C .

x − a

(x − a)− k+1

II.

dx =A

+ C = −

+ C .

(x − a)k

−k + 1

k −1

(x − a)k−1

Интегралы от дробей типа III рассматривались в главе 2 §2.2 (интегралы вида С).

Интегралы от дробей типа IV находятся с помощью рекуррентной формулы, которая была получена в главе 1, §3.5.

2.Представление дробно-рациональной функции

ввиде суммы элементарных дробей

Дробно-рациональной функцией называется функция, пред-

ставляющая

собой

отношение

двух

многочленов:

Pn (x)

, где

Qm (x)

P (x) = a xn

+ a xn−1 + ...+ a

x + a

–

многочлен

степени n,

n−1

Q (x) = b xm + b xm−1

+ ...+ b

x + b

– многочлен степени m.

m−1

Если

степень

числителя

меньше степени

знаменателя

(n <m ), то дробь называется правильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя (n ≥ m ), то дробь неправильная.

Пусть дробь Pn ((x)) правильная (n <m ). Знаменатель Qm (x)

Qm x

нужно разложить на множители. Для этого находим корни уравнения Qm (x) = 0.

1. Если знаменатель имеет m действительных различных корней a1,a2,...,am , то Qm (x) = b(x − a1)(x − a2 ) ... (x − am ) и дроб-

но-рациональная функция

Pn (x)

представима в виде суммы

Qm (x)

элементарных

дробей

Pn (x)

+ ...+

Здесь

Qm (x)

x − a1

x − a2

x − am

A1,A2,...,Am

–

неопределенные

коэффициенты.

Например,

2x + 3

x3 − 6x2 + 11x − 6

(x − 1)(x − 2)(x − 3)

x − 1

x − 2

x − 3

2. Если знаменатель имеет только действительные корни

a1, a2,..., al ,

причем

некоторые

из

них

–

кратные,

то

Q (x) = b(x − a )k1

(x − a

)k2

... (x − a )kl ,

k + k

+...+ k

= m,

и дроб-

Pn (x)

но-рациональная функция

представима в виде суммы

Qm (x)

P (x)

A1,k

элементарных дробей

1,1

1,2

+ ...+

Qm (x)

x − a1

(x − a1 )2

(x − a1 )k1

A2,k

Al,k

2,1

2,2

+ ...+

+...+

l,1

l,2

+ ...+

x − a2

(x − a2 )2

(x − a2 )k2

x − al

− al )2

(x − al )kl

При этом корень кратности 1 порождает одно слагаемое, корень кратности 2 – два слагаемых, корень кратности 3 – три слагаемых и т.д.

Таким образом, если в знаменателе есть сомножитель вида

(x−a)

, то он порождает k слагаемых:

+ ...+

x − a

(x − a)2

(x − a)k

Например, дробно-рациональная

функция

3x2 + 2

x3 + 2x2 + x

3x2 + 2

может быть представлена в виде суммы трех элементар-

x(x + 1)2

ных дробей

3x2 + 2

x5 + x4 − x2 + 1

, а дробь

x(x + 1)2

x + 1

(x + 1)2

(x −1)3 x2 (x + 2)

будет представлять собой сумму 3+2+1=6 элементарных дробей:

x5 + x4 − x2 + 1	A	+	A	+	A	+	A A		A
(x −1)3 x2 (x + 2)	= x −1	+	(x −1)2	+	(x −1)3	+	x	+ x2	+ x + 2 .
	1		2		3		4	5	6

3. Если знаменатель содержит комплексные корни, то каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует слагае-

мое вида		Ax + B	, где			D = p2 − 4q < 0. Например, дробно-
	x2	+ px + q

рациональная функция						1			содержит в знаменате-
				(	x2	+ 2x + 2	)(	)

								x −1
ле, во-первых, квадратный трехчлен								x2 + 2x + 2 с отрицательным
дискриминантом D = −4 < 0						и, во-вторых, множитель вида x – a.

Поэтому эта функция представима в виде суммы элементарных

дробей вида I и III:			1				=	Ax + B	+	C	.
	(				)(	)
		x2	+ 2x +	2				x2 + 2x + 2 x −1
						x −1


Дробь		x	=			x			представима в виде сум-
Дробь		x4 + 5x2 + 4	=	(x2 + 1)(x2 + 4)					представима в виде сум-
мы дробей		x			=	Ax + B	+	Cx + D		, так как квадратные
мы дробей	(x2 + 1)(x2 + 4)				=	x2 + 1	+	x2 + 4		, так как квадратные

трехчлены x2 + 1 и x2 + 4 имеют отрицательный дискриминант. Отметим, что отрицательный дискриминант квадратного

трехчлена означает, что соответствующие квадратные уравнения x2 + 1= 0 и x2 + 4 = 0 не имеют действительных корней; выражения x2 + 1 и x2 + 4 не могут быть представлены в виде произведения b(x − a1)(x − a2 ), где a1, a2 – действительные числа.

4. Если знаменатель содержит комплексные корни, причем некоторые из них – кратные, то каждая пара комплексно-сопря-

женных корней кратности k

порождает k

слагаемых:

A1x + B1

x2 + px + q

A2x + B2

+...+

Ak x + Bk

. Например,

дробно-рациональ-

(x2 + px + q)2

(x2 + px + q)k

ная функция

2x7 + x4 − 3

будет представлять собой сумму 3+1=4

(

)

(

x + 5

)

x2 + 1

элементарных дробей:

A1x + B1

A2x + B2

A3x + B3

x2 +1

(

)

(

)

x +5

2 +1

x2 +1 3

Общая теорема о разложении дробно-рациональной функ-

ции в сумму элементарных дробей имеет следующий вид.

Теорема.

Правильная дробь

(x)

∏(x − ai )li ∏(x2 + pj x + qj )rj

i=1

j=1

где нули

квадратных трехчленов

x2 + p j x + q j

комплексные,

Ai,l

допускает

разложение

i,1

i,2

+ ...+

− ai

(x − ai )

i=1 x

x + C

j,1

j,2

x + C

j,2

Bj,r x

+ C j,r

j,1

+ ...+

. Резуль-

+ pj x + qj )

)

+ pj x + qj

j=1 x

тат запишем в виде табл. 4.

Таблица 4

Решение теоремы

Множитель

Количество

Вид слагаемых

знаменателя

слагаемых

+ ...+

(x − a)k

x − a

(x − a)2

(x − a)k

(x2 + px + q)k ,

A1x + B1

A2x + B2

+ ...+

x2 + px + q

(x2 + px + q)2

p2 − 4q < 0

Ak x + Bk

(x2 + px + q)k

3. Нахождение неопределенных коэффициентов

Способ 1. Для того чтобы найти неопределенные коэффициенты, сумму элементарных дробей приводят к общему знаменателю Qm (x). Затем приравнивают многочлен, получившийся в чис-

лителе, многочлену Pn (x). Полученное равенство является тожде-

ственным. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях тождества, получают систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Решив систему, находят неопределенные коэффициенты.

Пример 6.1. Представим дробно-рациональные функции в виде суммы элементарных дробей.

а) Представим функцию	5x + 1	в виде суммы элементар-
	x2 + x − 2
ных дробей.

1. Найдем корни знаменателя, для этого решим уравнение x2 + x − 2 = 0. Разложим знаменатель на множители: x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2).

2. Представим функцию

5x + 1

в виде суммы элемен-

(x − 1)(x + 2)

тарных дробей с неопределенными коэффициентами

5x + 1

x2 + x − 2

− 1

x +

3. Найдем неопределенные коэффициенты. Для этого приве-

дем

дроби

общему

знаменателю:

x −1

x + 2

(A + B)x + (2A − B)

Ax + 2A + Bx − B

. Из равенства

x − 1

x + 2

(x − 1)(x + 2)

5x + 1

(A + B)x + (2A − B)

запишем систему для определения

x2 + x − 2

(x − 1)(x + 2)

A,B . Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых

степенях x :

A + B = 5

. Решая полученную систему A + B = 5 ,

2A − B = 1

находим A = 2, B = 3. Таким образом,

5x + 1

x2 + x − 2

−1

x + 2

4x3

б)

Представим функцию

в виде суммы элементар-

x4 − 1

ных дробей.

1. Разложим

(

знаменатель

)

на

множители:

x4 − 1=

(

)(

)

)(

)

(

x2 − 1

x2 + 1 =

x − 1

+ 1

+ 1 .

2. Представим функцию

4x3

в виде суммы элементарных дро-

−1

4x3

бейснеопределеннымикоэффициентами

+ Cx + D .

x4 −1

x −1

x +1

x2 +1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20239.34 Mб4Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек..pdf
#
19.11.202329.17 Mб0Нелинейные колебания механических систем..pdf
#
12.11.202310.11 Mб5Нелинейные металлоксидные полупроводники..pdf
#
12.11.202310.59 Mб3Нелинейные эффекты в волоконной оптике..pdf
#
12.11.202318.2 Mб4Немецкий язык (летательные аппараты)..pdf
#
12.11.2023883.83 Кб1Неопределенный интеграл..pdf
#
19.11.202339.06 Mб0Неорганическая химия..pdf
#
12.11.202313.36 Mб6Непараметрическая статистика..pdf
#
12.11.202319.67 Mб2Неразрушающий контроль и диагностика горно-шахтного и нефтегазового оборудования..pdf
#
12.11.20232.5 Mб4Неразрушающий контроль и техническая диагностика транспортных сооружений. Диагностика железобетонных мостовых конструкций и их элементов.pdf
#
12.11.202321.37 Mб8Неразрушающий контроль параметров тонких проводящих пленок электромагнитными методами..pdf