книги / Теория функций комплексного переменного
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»
Е.В. Костина, Е.А. Морозова, В.П. Плаксина, О.А. Федосеева
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2011
УДК 517.53(075.8) ББК 22.161.5я73
Т34
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор С.В. Русаков (Пермский государственный университет);
канд. физ.-мат. наук, доцент Л.Б. Грайфер (Пермский государственный технический университет)
Теория функций комплексного переменного: учеб.
Т34 пособие / Е.В. Костина, Е.А. Морозова, В.П. Плаксина, О.А. Федосеева. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 203 с.
ISBN 978-5-398-00624-7
Рассмотрены основные разделы теории функции комплексного переменного: понятие и представление комплексных чисел, действия над ними, функции комплексного переменного, дифференцирование и интегрирование функций комплексного переменного, разложение в функциональные ряды, анализ особых точек и вычисление вычетов.
По каждому разделу кратко изложены теоретические сведения, приведены решения типовых примеров, представлены геометрические интерпретации решений.
Может быть рекомендовано для самостоятельной работы студентов технических специальностей.
|
УДК 517.53(075.8) |
|
ББК 22.161.5я73 |
ISBN 978-5-398-00624-7 |
© ГОУ ВПО |
|
«Пермский государственный |
|
технический университет», 2011 |
2 |
|
1. ПОНЯТИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Основные понятия |
|
Комплексным числом z называется выражение вида |
|
z = x +iy, |
(1.1) |
где x и y – действительные числа, а i – число, квадрат которого равен –1.
i2 = −1. |
(1.2) |
Числа x и y называются соответственно действитель-
ной и мнимой частью комплексного числа и обозначаются x = Re z, y = Im z; i – мнимая единица.
Множество комплексных чисел обозначается .
Из определения следует, что действительные числа можно
рассматривать как частный случай комплексных, т.е. |
. |
||
При y = 0 получаем z = x |
– действительное число. |
|
|
При x = 0 получаем |
число z = iy, |
которое называется |
|
чисто мнимым. |
|
|
|
Два комплексных числа z1 = x1 +iy1 |
и z2 = x2 +iy2 |
назы- |
ваются равными, если у них соответственно равны действительные и мнимые части:
z1 = z2 |
Re z1 |
= Re z2 |
, |
(1.3) |
|
= Im z2. |
|||
|
Im z1 |
|
Комплексное число z = x +iy равно нулю тогда и только тогда, когда x = y = 0.
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
3
Два комплексных числа z = x +iy и z = x −iy, отли-
чающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжен-
ными.
Геометрическое изображение комплексных чисел
Любое комплексное число z = x +iy |
можно изобразить |
точкой M ( x; y) плоскости Оху такой, что |
x = Re z, y = Im z. |
И, наоборот, каждую точку M ( x; y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x +iy
(рис. 1).
Рис. 1. Изображение числа на комплексной плоскости
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z = x +i0 = x. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые, комплексные числа z = 0 +iy. Плос-
кость Оху при этом называется комплексной плоскостью и обозначается .
Как и в действительной плоскости, на множестве комплексных чисел вводится понятие бесконечности, бесконечно удаленной точки (∞) . Бесконечно удаленная точка – это
4
внешность сколь угодно большого круга на комплексной плоскости. Плоскость , дополненная элементом ∞, называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается
={∞}.
Комплексное число z = x +iy можно задавать с помощью радиус-вектора r =OM =(x; y). Длина вектора r , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается z или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или ϕ.
Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и оп-
ределяется с точностью до слагаемого 2πk, |
k = 0, ±1, ±2,…. |
Arg z = arg z +2πk , |
(1.4) |
где arg z – главное значение аргумента, заключенное в про-
межутке (−π; π], т.е. −π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2π) ).
Формы записи комплексных чисел
Запись числа z в виде z = x +iy называют алгебраической
формой комплексного числа.
Модуль r и аргумент ϕ комплексного числа можно рас-
сматривать как полярные координаты вектора r = OM , изобра-
жающего комплексное число z = x +iy |
(см. рис. 1). Получаем |
x = r cos ϕ, |
(1.5) |
|
|
y = r sin ϕ. |
|
|
5 |
Следовательно, комплексное число z = x +iy |
можно запи- |
сать в виде z = r cos ϕ+ir sin ϕ или |
|
z = r (cos ϕ+i sin ϕ). |
(1.6) |
Такая запись комплексного числа называется тригоно-
метрической формой комплексного числа.
Модуль r = z однозначно определяется формулой
r = |
|
z |
|
= x2 + y2 . |
(1.7) |
|
|
При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное
значение аргумента комплексного числа z, |
т.е. найти ϕ = arg z. |
|||||||
Так как −π < arg z ≤ π, то из формулы |
tg ϕ = |
y |
|
получаем, |
||||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
для внутренних точек I и IV четвертей, |
|||||
arctg |
|
, |
||||||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
arg z = arctg |
|
+ π, для внутренних точек II четверти, |
(1.8) |
|||||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
−π, для внутренних точек III четверти. |
|
|||||
arctg |
|
|
||||||
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то arg z можно найти непосредственно.
Используя формулу Эйлера eiϕ = cos ϕ+isin ϕ, комплекс-
ное число z можно записать в показательной (или экспонен-
циальной) форме
|
|
|
|
z = reiφ , |
(1.9) |
где r = |
|
z |
|
– модуль комплексного числа, а угол |
φ = Arg z = |
|
|
||||
= arg z +2πk, k = 0, ±1, ±2,…. |
|
||||
6 |
|
|
|
|
|
В силу формулы Эйлера, функция eiφ периодическая с основным периодом 2π. Для записи комплексного числа z в показательной форме достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. найти φ = arg z.
Пример |
1.1. |
|
Записать комплексные числа z1 =i +1 |
||||||
и z2 = −1− |
3i |
в тригонометрической и показательной формах. |
|||||||
Для z |
=i +1: |
|
z |
|
= r = 12 +12 = 2, φ = arg z = arctg 1 |
= |
π |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив найденные значения в формулы (1.6) и (1.9) полу-
чим 1+i = |
|
|
π |
+i sin |
π |
|
= |
i |
π |
|
|
|
|
||||||||||
2 |
cos |
|
|
|
2e 4 . |
||||||
4 |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
|
z2 = −1− |
|
|
3i: |
r = |
(−1)2 +(− |
3)2 = 2, |
φ = arg z = |
||||||
|
|
− |
3 |
|
π |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
||
= arctg |
|
−1 |
−π = |
|
− |
π = − |
|
|
. |
Подставив найденные значе- |
||||||
|
3 |
|
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ния в |
|
|
формулу |
|
|
(1.6) |
|
и |
|
(1.9), |
получим |
−1− 3i = |
||||
= 2 |
|
|
− |
2π |
|
− |
2π |
= 2e |
−i 2π |
|
|
|||||
cos |
|
3 |
+isin |
3 |
|
3 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
2. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Сложение комплексных чисел
Суммой комплексных чисел z1 = x1 +iy1 и z2 = x2 +iy2 называется комплексное число, определяемое равенством
z1 + z2 =(x1+x2 ) +i( y1 + y2 ) . |
(2.1) |
Пример 2.1. Найти сумму чисел z1 =1−3i |
и z2 = −2 +2i. |
z1 + z2 =(1−3i) +(−2 +2i) =(1+(−2)) +i (−3 +2) = −1−i.
Вычитание комплексных чисел
Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2 , дает число z1, т.е. z = z1 − z2 , если z + z2 = z1.
Если z1 = x1 +iy1 и z2 = x2 +iy2 , то |
|
z = z1 − z2 =(x1 − x2 ) +i ( y1 − y2 ) . |
(2.2) |
Пример 2.2. Найти разность чисел z1 =1−3i |
и z2 = −2 +2i. |
z1 − z2 =(1−3i) −(−2 +2i) =(1−(−2)) +i(−3 −2) = 3 −5i.
Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел; z1 = x1 +iy1 и z2 = = x2 +iy2 называется комплексное число, определяемое равенством
z = z1z2 =(x1x2 − y1 y2 ) +i (x1 y2 + y1x2 ) . |
(2.3) |
Формула (2.3) получается путем перемножения двучленов z1 = x1 +iy1 и z2 = x2 +iy2 с применением формулы (1.2):
8
( x1 +iy1 ) (x2 +iy2 ) = x1x2 + x1iy2 +iy1x2 +iy1iy2 =
= x1x2 +i2 y1 y2 +i (x1 y2 + y1x2 ) =(x1x2 − y1 y2 ) +i(x1 y2 + y1x2 ).
Для комплексных сопряженных чисел z = x +iy и z = = x −iy получим
z + z =(x +iу) +(x −iy) = 2x ,
zz =(x +iу) (x −iy) = x2 + y2.
Таким образом, сумма и произведение сопряженных комплексных чисел – числа действительные.
Для тригонометрической и показательной форм комплексного числа формула умножения имеет вид
|
|
z1z2 = r1 (cos φ1 +i sin φ1 ) r2 (cos φ1 +isin φ1 ) = |
(2.4) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
= r1r2 (cos(φ1 + |
φ2 ) +isin (φ1 +φ2 )). |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z z |
2 |
= r eiφ1 |
r eiφ2 |
= r r ei(φ1+φ2 ). |
|
|
(2.5) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
То есть при умножении комплексных чисел модули пере- |
|||||||||||||||||||||||||||||
множаются, а аргументы складываются. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример 2.3. Найти произведение чисел |
z1 =1−3i и |
z2 = |
|||||||||||||||||||||||||||
= −2 +2i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1−3i)(−2 +2i) = −2 +6i +2i −6i2 = −2 +8i +6 = 4 +8i. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Пример |
2.4. |
|
|
Найти |
произведение |
чисел |
z1 = |
||||||||||||||||||||||
=3 cos |
π |
−isin |
|
π |
и |
z2 |
= 2 cos |
π |
|
+i sin |
|
π |
. |
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
3 |
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 cos |
π |
−isin |
π |
2 |
cos |
π |
|
+i sin |
π |
= |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
||||
|
|
=3 |
2 cos |
− |
|
|
+ |
|
|
+isin |
− |
|
+ |
|
|
= |
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
6 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= 6 cos |
− |
|
|
|
+i sin |
|
− |
|
|
|
= 6 |
|
|
|
|
|
|
−i |
|
|
=3 |
3 −3i. |
|
||||||
|
6 |
|
6 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Возведение комплексного числа |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в натуральную степень |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Возведение в натуральную степень n комплексного чис- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ла z |
– это нахождение произведения n сомножителей, каждый |
|||||||||||||||||||||||||||||
из которых равен z, |
т.е. |
zn = z z … z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При возведении в натуральную степень комплексного |
|||||||||||||||||||||||||||||
числа, заданного |
|
в |
|
тригонометрической |
форме |
zn = |
||||||||||||||||||||||||
= r |
(cos φ+i sin φ) n |
, получаем формулу, называемую форму- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лой Муавра: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r (cos φ+i sin φ) n |
= rn (cos nφ+isin nφ). |
(2.6) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Возведение в натуральную степень комплексного числа, |
|||||||||||||||||||||||||||||
заданного в показательной форме, имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(reiφ )n = rneinφ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.7) |
|||||||||||||
|
Пример 2.5. Найти (−1− |
|
3i)6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Запишем число z = −1− |
|
|
3i |
в тригонометрической форме |
|||||||||||||||||||||||||
(см. пример 1.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z = −1− |
|
3i = 2 cos |
− |
2π |
|
+i sin |
− |
2π |
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
По формуле Муавра (2.6) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
6 |
=(−1− |
3i) |
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
2π |
|
||||||||||
|
z |
|
|
= 2 |
|
cos 6 |
|
|
|
|
|
−i sin 6 |
|
|
= |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|