книги / Физическая химия. Применение расчётных методов в химической термодинамике
.pdfменять законы идеальных газов для условий, при которых мольный объем не менее 5·10–3 м3 для одно- и двухатомных газов и не менее 20·10–3 м3 дляболеевысокомолекулярных газов приT = 298 К.
Для реальных газов используют более сложные уравнения: уравнение Ван-дер-Ваальса
P = |
|
RT |
|
− |
|
a |
|
; |
|
|
|
|
|
|
(1.7) |
||||
V −b |
V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
уравнение Бертло |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
RT |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P = |
|
|
− |
|
|
|
; |
|
|
|
(1.8) |
||||||||
V −b |
TV 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1-еуравнениеДитеричи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P = |
|
RT |
exp(− |
|
|
|
a |
|
|
); |
(1.9) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
RTV |
|||||||||||||
V −b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2-е уравнение Дитеричи |
RT |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||
|
P = |
|
|
− |
|
|
|
, |
|
(1.10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
V −b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
3 |
|
|
|
|
||||||||
где a и b – индивидуальные постоянные газов, n = 1 моль. Коэффициенты a и b приведены в приложении 4.
Поведение реального газа описывается с помощью вириального разложения по степеням обратного объема
P = |
RT |
|
(1+ |
B2 |
+ |
|
B3 |
+...) |
(1.11) |
||||
V |
V |
V 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или давления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = |
RT |
(1+ B P + B P2 |
+...), |
(1.12) |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
V |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Bi – i-е вириальные коэффициенты, которые зависят от температуры (приложение 6).
Термическое уравнение состояния конденсированной фазы можно вывести в общем виде, исходя из функциональной зависимости V = f (P,T):
11
dV = ( |
∂V ) |
T |
dP +( |
∂V ) |
P |
dT . |
(1.13) |
||
|
|
∂P |
|
|
∂T |
|
|
||
Для конденсированной фазы можно принять, в первом при- |
|||||||||
ближении, что V = const, dV = 0: |
|
|
|
|
|
||||
(∂V ) |
|
+(∂P ) |
+( |
∂V ) |
|
= 0. |
(1.14) |
||
∂P |
T |
∂T V |
|
∂T |
P |
|
|
||
Входящие в эти уравнения частные производные имеют физический смысл:
(∂∂VP )T = −βV0 ; (∂∂VT )P = αV0 ; (∂∂TP )V = γP;
где α – изобарный коэффициент расширения; β – изотермический коэффициент расширения; γ – изохорный коэффициент давления; V0 – объем при T = 0 К. Если известнытермические коэффициенты α, β, γ, томожнополучитьуравнениесостоянияконденсированнойфазы винтегральномвиде.
Пример 1.1.
Привести к нормальным условиям газ (вычислить объем,
который занимает данное |
количество |
газа при Т = 273 К |
|||||
и Р = 1,0131·105 |
Па), если при Т = 373 К и Р = 13,33·102 |
Па его |
|||||
объем равен 3·10-2 м3 . |
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
Изуравнениясостоянияидеальногогазаопределяемобъемгаза: |
|||||||
|
|
PV |
1,0131 105 V |
|
|
||
|
|
1 1 |
= |
|
|
. |
|
|
|
273 |
|
|
|||
|
|
T |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
V = |
13,33 102 3 10−2 273 |
= 2,89 10−4 м3. |
|
||||
|
|
||||||
|
373 1,0131 105 |
|
|
||||
Пример 1.2. |
|
|
|
|
|||
Вычислить |
парциальные объемы |
водяного пара, |
азота |
||||
икислородавовлажномвоздухе. Общийобъемсмеси2·10–3 м3, общее
12
давление 1,0133·105 Па, парциальное давление паров воды 1,233·104 Па. Состав воздуха21 об. % О2 и 79 об. % N2.
Решение.
Вычисляемпарциальныйобъемпаровпоуравнению(1.6):
|
|
|
|
|
vH2O P =V pH2O , |
|
|
v |
= |
|
VpH2O |
= |
|
2 10−3 1,233 104 |
= 2,4 10−4 м3. |
|
P |
|
1,0133 105 |
||||
H2O |
|
|
|
|
|
||
Вычисляем парциальные объемы кислорода и азота: vO2 +vN2 =V −vH2O = 0,002 −0,00024 =1,76 10−3 м3 ;
vO2 = 0,21 . vN2 0,79
Отсюда
vO2 =1,76 10−3 0,21 = 0,37 10−3 м3 ,
vN2 =1,76 10−3 0,79 =1,39 10−3 м3.
Вычисляем парциальные давления кислорода и азота:
|
|
p |
|
= |
|
PvO2 |
= |
1,0133 105 3,7 10−4 |
=1,875 104 Па, |
|
|
|
|
V |
|
||||
|
|
O2 |
|
|
|
2 10−3 |
|||
p |
N2 |
= P − p |
H2O |
− p |
=1,0133 105 −0,1233 105 −0,1875 105 = |
||||
|
|
|
O2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 7,025 104 Па. |
|
|
|
Пример 1.3. |
|
|
|
||||
|
|
Смесь, |
состоящая из 0,8064 кг водорода, 9,6 кг кислорода |
||||||
иx кгазота, занимаетприP = 1,487 105 ПаиТ= 298,2 КобъемV = 15 м3. Определить парциальные давления газов.
Решение.
Из уравнения состояния PV = ΣnRT определяем общее количество киломолей газа в смеси:
∑n = |
PV |
= |
1,487 105 15 |
= 0,9 кмоль. |
||
RT |
8,314 10 |
3 |
298,2 |
|||
|
|
|
|
|||
13
Число молей азота в смеси
nN2 |
= |
gN2 |
= ∑n −nO2 −nH2 = 0,9 − |
9,6 |
− |
0,8064 |
= 0,2 кмоль. |
|
M N2 |
32 |
2,016 |
||||||
|
|
|
|
|
По закону Дальтона pi = Pxi , где pi – парциальное давление газа, P – общее давление смеси:
pN2 = PxN2 =1,487 105 0,20,9 = 0,3304 105 Па,
p =1,487 105 0,4 = 0,6608 105 Па,
H2 |
0,9 |
pO2 = P − pN2 − pH2 = (1,487 −0,3304 −0,6608) 105 = |
|
|
= 0,4958 105 Па. |
Пример 1.4. |
|
Смешанные в объеме 19 м3 при Т = 873 К 14,1828 кг хлора и 5,602 кг СО частично взаимодействуют между собой с образованием COCl2. Равновесное давление устанавливается равным 1,0133·105 Па. Определить парциальное давление каждого газа в равновесной смеси.
Решение.
Реакция протекает по уравнению
Cl2 + CO ↔ COCl2.
Число молей: |
|
|
|
|
|
nCl |
|
|
|
|
|
||
до реакции |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
в равновесной смеси |
|
|
nCl2 |
− x |
nCO − x |
x |
|||||||
|
|
∑n = nCl2 |
+ nCO − x; |
|
|||||||||
n |
= |
gCO |
= |
5,602 |
= 0,2 кмоль; |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||
CO |
|
|
MCO |
28,01 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
n = |
|
gCl2 |
= |
14,1828 |
= 0,2 кмоль. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Cl2 |
|
MCl2 |
|
|
70,914 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
14
Из |
уравнения |
PV = ∑nRT находим число молей COCl2 |
||||||||||||
в равновесной смеси: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x = n |
+ n |
− |
PV |
|
= 0,4 − |
1,0133 105 19 |
|
= 0,135 кмоль, |
||||||
RT |
8,314 103 873 |
|||||||||||||
|
CO |
Cl2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∑n = (nCl2 − x) + (nCO − x) + x = nCO + nCl2 − x = 0,065 + |
||||||||||||||
|
|
|
+0,065 +0,135 = 0,265 кмоль; |
|||||||||||
p |
= p |
= P |
nCO − x |
=1,0133 105 |
0,065 |
= 0,2485 105 Па; |
||||||||
|
|
|||||||||||||
CO |
Cl2 |
|
|
∑n |
|
|
0,265 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
pCOCl2 |
= P − pCl2 |
− pCO = (1,0133 − 2 0,2485)105 = 0,5163 105 Па. |
||||||||||||
Пример 1.5.
Объем V1 1 кмоль водяного пара при T = 363,2 К и P = = 0,266·105 Па равен 110,85 м3. Определить его объем, если давление увеличивается в 2 и 4 раза. Давление насыщенного пара воды при указанной температуре равно 0,7009·105 Па.
Решение.
При увеличении давления в 2 раза:
P2 = 0,532·105 Па,
объем водяного пара уменьшается в 2 раза:
V2 = 110,85/2 = 55,425 м3,
так как пар еще ненасыщенный.
При увеличении давления в 4 раза внешнее давление
P3 = 1,064·105 Па
и будет больше, чем давление насыщенного пара. Водяной пар сконденсируется, и объем конденсата будет равен объему 1 кмоль воды:
V3 = 0,018 м3.
15
Пример 1.6.
При нитровании пропана получили газовую смесь следующего состава (в об.%): CH3NO2 – 27,0; C2H5NO2 – 11,0; C3H7NO2 – 62,0.
Какова плотность этой смеси при температуре 300 оС и давлении
1,30 МПа?
Решение.
Искомая величина определяется по формуле
ρ= PM /(RT ).
Однако для этого необходимо знать среднюю молярную массу М рассматриваемой смеси. Последнюю определяем по правилу смешения:
M = x1M1 + x2 M2 + x3M3 ,
где x1, x2, x3 и M1, M2, M3 – молярные доли и молярные массы компонентов (CH3NO2, C2H5NO2 и C3H7NO2) газовой смеси.
Из условий задачи следует:
x1 = 27,0 /100 = 0,270; x2 =11,0 /100 = 0,110; x3 = 62,0 /100 = 0,620.
Пользуясь таблицей Менделеева (приложение 18), находим:
M1 = 0,061 кг/моль; M2 = 0,075 кг/моль; M3 = 0,089 кг/моль.
Подставляя полученные значения в соответствующие уравнения, получим
M= 0,270 0,061+ 0,110 0,075 + 0,620 0,089 = 0,080 кг/моль;
ρ=1,30 106 0,080/(8,314 573) = 21,8 кг/м3.
Пример 1.7.
Газовую смесь следующего состава (в об. %): Н2 – 93,0; N2 – 5,0; CH4 – 1,0; Ar – 1,0 – необходимо смешать с азотом так, чтобы объемное отношение водорода с азотом в приготовленной смеси было равным 2:1. Сколько кубометров азота потребуется для
16
PNRPU
смешения со 100 м3 исходной смеси? Каким станет состав смеси после дополнения ее азотом? Давление и температуру газов принять постоянными.
|
Решение. |
|
|
Судя по составу |
исходной смеси, в ней содержится: |
V |
=100 0,93 = 93 м3 ; V |
=100 0,05 = 5 м3. |
H2 |
N2 |
|
|
Для выполнения условия, указанного в задаче, содержание |
|
азота в смеси должно быть |
||
|
VN′2 |
= 93/ 2 = 46,5 м3. |
В смеси уже присутствует 5 м3 азота, следовательно, для удовлетворения условия задачи достаточно добавить к указанному объему смеси 46,5 −5,0 = 41,5 м3 азота.
Тогдаобщийобъемгазовойсмесисоставит 100 + 41,5 =141,5 м3.
Вэтом объеме содержится: 93,0 м3 Н2; 46,5 м3 N2; 1,0 м3 CH4
и1,0 м3 Ar. В объемных долях это будет составлять:
93,0 100/141,5 = 65,7 об. % Н2; 46,5 100/141,5 = 32,9 об. % N2; 1,0 100/141,5 = 0,7 об. % CH4 и Ar.
Пример 1.8.
Вычислить давление 1 кмоль водорода, занимающего при температуре 273 К объем 0,448 м3.
Решение.
Вычисляем давление по уравнению (1.1):
P = 8,314 103 273 = 50,65 105 Па. 0,448
17
Однако этот результат ненадежен, так как при таких значительных давлениях уравнение (1.1) неприменимо. Тогда вычисляем давление по уравнению (1.6):
P = VRT−b −Va2 .
Для водорода
a=1,95 104 (м3 )2 Па кмоль−2 ;
b= 2,3 10−2 м3/кмоль;
P = |
8,314 103 273 |
− |
1,95 104 |
= 52,43 105 Па |
||
0,448 −0,023 |
|
(0,448)2 |
||||
|
|
|
||||
(опытная величина 52,28·105 Па).
Пример 1.9.
Доказать, что при больших объемах уравнение Ван-дер- Ваальса переходит в уравнение идеального газа.
Решение.
Уравнение Ван-дер-Ваальса имеет вид
P = VRT−b −Va2 .
При больших объемах слагаемым в правой части можно пренебречь:
a/V2 → 0.
В знаменателе первого слагаемого можно пренебречь постоянной b:
V–b → V.
В пределе получаем уравнение состояния идеального газа:
P V →∞→ RTV .
18
Пример 1.10.
Найти вириальные коэффициенты Bi для газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса.
Решение.
В уравнении Ван-дер-Ваальса выделим сомножитель RT/V:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
RT |
|
a |
|
RT |
1 |
|
|
|
a |
|
|||||||||||
P = |
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
. |
|
V − b |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||||||
|
|
V |
|
|
|
V |
|
1 |
− |
|
|
|
RTV |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|||||
Если разложить первое слагаемое в скобке в ряд по степе- |
||||||||||||||||||||||
ням b/V, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
RT |
|
b |
|
n |
|
a |
|
|
|||||||||||
|
P = |
|
|
|
− |
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
V |
|
∑ |
|
|
|
RTV |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n=0 |
V |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из этого разложения следует, что второй вириальный коэф- |
||||||||||||||||||||||
фициент газаВан-дер-Ваальса зависит оттемпературы: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
B = b − |
|
|
a |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
RT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а остальные постоянны: Bn = bn−1.
Пример 1.11.
Найти критические параметры и приведенное уравнение состояния для газа Дитеричи.
Решение.
Запишем уравнение Дитеричи в виде
|
|
a |
|
|
P(V − b) = RT exp |
− |
|
|
, |
|
||||
|
|
RTV |
|
|
продифференцируем левую и правую часть этого уравнения 2 раза по объему при постоянной температуре:
19
|
∂2 P |
(V − b) + 2 |
∂P |
|||
|
|
|
|
|
|
|
∂V |
2 |
∂V |
||||
|
|
T |
|
|
||
|
|
|
a |
|
a2 |
2a |
|
|
||
|
= RT exp |
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
2 2 4 |
RTV |
3 |
|||||||
T |
|
|
RTV |
|
R T V |
|
|
|||
и учтем, что в критической точке первая и вторая производная равны 0:
|
|
a2 |
|
− |
|
|
2a |
|
= 0. |
|
2 |
2 |
4 |
|
RTV |
3 |
|||
|
R |
T V |
|
|
|
|
|
||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T V |
= |
a |
. |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
C |
|
C |
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если продифференцировать обе части уравнения состояния по объему 1 раз с учетом равенства нулю первой производной, то можно найти второе соотношение между критическим объемом
и температурой: |
a |
|
|
a |
( |
|
) |
|
|||
∂P |
|
|
|
||||||||
P + |
|
(V −b) = |
|
|
RT exp − |
|
= |
aP V −b |
|
, |
|
|
RTV |
2 |
|
RTV |
2 |
|
|||||
|
∂V T |
|
|
RTV |
|
|
|
||||
откуда
RTCVC 2 = a(VC −b).
Подставляя сюда первое найденное соотношение для критических параметров, получим
|
V |
= 2b, |
T = |
|
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
C |
|
|
C |
4Rb |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
И, наконец, подставляя эти параметры в уравнение состоя- |
|||||||||
ния, находим критическое давление: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
P = |
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
4b2e2 |
|
|
|
|||
|
|
|
C |
|
|
|
|
||
Для вывода приведенного уравнения состояния подставим |
|||||||||
в уравнение Дитеричи приведенные переменные: |
|||||||||
P = P |
a |
|
, V = 2bV |
, T =T |
a |
. |
|||
|
|
|
|||||||
r 4b2e2 |
|
|
r |
|
r 4Rb |
||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|