Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Подставляя теперь это значение t в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки пересечения x = 1, y = 5 , z = 0 .

Верный ответ № 4.

Задача 3.2.43

Угол между прямыми

равен…

1)π2 ,

2)π4 ,

3)arccos 13 ,

4)arctg 2.

3x + 3z − 5 = 0,		и	x + y − z + 2 = 0,
	= 0			= 0
2x + y + x + 1			x − z + 3

Решение

Обе прямые заданы как Угол между прямыми найдем торами этих прямых.

линии пересечения двух плоскостей. как угол между направляющими векНаправляющий вектор прямой

l1 : 3x + 3z − 5 = 0

найдем как вектор, коллинеарный векторному

2x + y + x + 1 = 0

произведению

n1 × n2 , где n1 – нормальный вектор плоскости

3x + 3z − 5 = 0 , n2

– нормальный вектор плоскости 2x + y + x + 1 = 0 ,

n1 × n2 =

= −3i + 3

+ 3

Тогда s1 = {−1;1;1}.

Проведем аналогичные рассуждения для второй прямой.

101

	i		j		k
n3 × n4 =	1	1		−1		= −i −		. Тогда s2 = {−1;0;−1} .
n3 × n4 =	1	1		−1		= −i −	k	. Тогда s2 = {−1;0;−1} .
	1	0		−1

cos(l1 l2 ) = cos(s1 s2 ) =

s1s2

(−1) (−1) + 1 0

+ 1 (−1)

= 0.

12 + 12 + 12

(−1)2

+ 02 + (−1)2

Отсюда ϕ = π .

Верный ответ № 1.

Задача 3.2.44

Если ϕ – угол между прямой l:

x − 1

y + 1

и плоскостью

2x + 3y + 2z − 1 = 0 , то sin ϕ равен...

Решение

Рис. 3.25

Обозначим через α острый угол между нормальным вектором

плоскости и направляющим вектором прямой, а								ϕ – угол между
прямой и плоскостью (рис. 3.25).
Так	как		α + ϕ = π ,	то	ϕ =	π	− α ,	следовательно,
			2			2
	π		, т.е. sin ϕ = cos α .
sin ϕ = sin	2	− α	, т.е. sin ϕ = cos α .
	2
102

Из канонических уравнений прямой l:

x − 1

y + 1

можно

сделать вывод, что вектор s = {2;3;2}

является направляющим век-

тором прямой.

Плоскость 2x + 3y + 2z − 1 = 0

имеет

нормальный

вектор

n = {2;3;2} .

sin ϕ =

cos(n s )

n s

2 2 + 3

3 +

2 2

= 1.

22 + 32 + 22

+ 32 + 22

Ответ: 1.

Задача 3.2.45

Если ϕ – острый угол между плоскостями

x − y + 3z − 1 = 0 и

2x − y − 3 = 0 , то значение

55 cosϕ равно...

Решение

Косинус острого угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих плоскостей:

cos(α1 α2 ) =

cos(n1 n2 )

n1n2

1 2 + (−1)

(−1) + 3 0

12 + (−1)2 + 32

22 + (

−1)2

+ 02

11 5

Тогда значение выражения

55 cosϕ равно 3.

Ответ: 3.

Задача 3.2.46

Прямая l:

x − 3

y + 7

z − 4

и плоскость α:Ax + 2 y − 4z − 3 = 0

−1

параллельны, при значении параметра А, равном...

103

Решение

Рис. 3.26

Если прямая и плоскость параллельны, то направляющий вектор прямой s и нормальный вектор плоскости n перпендикулярны (рис. 3.26), следовательно, их скалярное произведение равно нулю. При этом любая точка прямой l не принадлежит плоскости. Прямая

проходит через точку M0 (3,−7,4) и имеет направляющий вектор s = {2;3;−1} .

Нормальный вектор плоскости α равен n = { A;2;−4} . Из условия n s = 0 имеем:

2A + 6 + 4 = 0.

Отсюда A = −5.							α
Таким	образом,				плоскость		α	имеет	уравнение
−5x + 2 y − 4z − 3 = 0 .
Осталось проверить, что точка M0							не принадлежит плоскости
α : −5 3 + 2 (−7) − 4 4 ≠ 0 .
Ответ:–5.
Задача 3.2.47
Прямая	x + 3	=	y + 1	=	z − 3	и плоскость		Ax + 4 y − 10z + 13 = 0
Прямая	4	=	−2	=		и плоскость		Ax + 4 y − 10z + 13 = 0
	4		−2	5

перпендикулярны, при значении параметра А, равном...

104

Решение

Рис. 3.27

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой коллинеарны (рис. 3.27), следовательно, имеют пропорциональные координаты.

Для данной прямой вектор s = {4;−2;5} является направляющим, а вектор n = { A;4;−10} – нормальный вектор плоскости. Усло-

вие пропорциональности координат имеет вид: A4 = −42 = −510 . Отсюда A = −8 .

Ответ: –8.

Задача 3.2.48

Плоскости 3x + By − 5z + 4 = 0 и x − y + 2z + 5 = 0 перпендику-

лярны при В, равном...

Решение

Рис. 3.28

105

Векторы nα = {3; B;−5} , nβ = {1; −1; 2} – нормальные векторы

плоскостей (рис. 3.28).

Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда нормальные векторы плоскостей перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение нормальных векторов равно нулю.

nα nβ = 3 1 + B (−1) + (−5) 2 = 0 . Отсюда B = −7 .

Ответ: –7.

Задача 3.2.49

Уравнение второй степени 36x2 + 36y2 − 24x − 36y − 23 = 0 является уравнением…

1)окружности,

2)эллипса,

3)гиперболы,

4)параболы.

Решение

Преобразуем данное уравнение следующим образом:

36				2	−		2	x						2	− y) − 23 = 0;
36	x				−		3	x	+ 36( y						− y) − 23 = 0;
							3
36				2	−		2	x	+	1	−	1							2	− y +	1	−	1		= 0;
36	x				−		3	x	+	9	−	9	+ 36				y			− y +	4	−	4	− 23	= 0;
							3			9		9									4		4
36						1 2				4 + 36						1		2		− 9 = 23;
36	x −							−		4 + 36			y −			2				− 9 = 23;
						3										2
			1		2					−	1	2			36	;
x −			3				+ y			−	2	=			36	;
			3								2				36
			1		2					−	1	2
x −			3				+ y			−	2	= 1.
			3								2
Данное уравнение										является							частным					случаем			уравнения
(x − a)2 + ( y − b)2		= R2						– уравнения окружности с центром в точке

(a;b) радиуса R . Таким образом, данное уравнение является урав-

нением окружности.

Верный ответ № 1.

106

Задача 3.2.50

Уравнение второй степени 9x2 − 49y2 − 42x + 42y + 54 = 0 является уравнением…

1)окружности,

2)эллипса,

3)гиперболы,

4)параболы.

Решение

Преобразуем данное уравнение следующим образом:

9		2	−		14								2	−	6
9	x		−			3	x	− 49 y						−	7	y + 54 = 0;
						3									7
		2			14				49		49						2		6		9		9
9	x		−				x +			−					−	49 y		−		y +		−		+ 54	= 0;
9	x		−			3	x +		9	−		9			−	49 y		−	7	y +	49	−	49	+ 54	= 0;
						3			9			9							7		49		49
9		−		7		2	− 49 − 49									3 2	9 + 54 =				0;
9	x	−		3			− 49 − 49					y −				+	9 + 54 =				0;
				3												7
9		−		7		2							3	2
9	x	−		3			− 49 y −						7		= −14;
				3									7

						7	2					3 2
			x −			3				y −
		−				3			+			7		= 1.
		−							+					= 1.
					14			2			2		2
					14						2

					3						7
					3						7
	Полученное							уравнение						является уравнением гиперболы
−	(x − x0 )2	+		( y − y0 )2					= 1 с центром симметрии в точке (x ; y						) .
−	a2	+							= 1 с центром симметрии в точке (x ; y						) .
	a2				b2									0 0

Верный ответ № 3.

107

Задача 3.2.51

Полуоси эллипса		(x + 3)2	+	( y − 5)2	= 1 равны…
Полуоси эллипса		22	+	32	= 1 равны…
1)	3 и 5,	22		32
1)	3 и 5,
2)	4 и 9,
3)	2 и 3,
4)	–3 и 5.

Решение

Уравнение	(x + 3)2	+	( y − 5)2	= 1 определяет эллипс с центром
	22		32

симметрии в точке (−3;5) и полуосями 2 и 3.

Верный ответ – № 3.

Задача 3.2.52

Правая вершина гиперболы x2 − y2 = 1 находится в точке…

25 49

1)(5;0),

2)(−5;0),

3)(7;0),

4)(5;7).

Решение

Уравнение	x2	−	y2	= 1 является каноническим уравнением ги-
	25		49
перболы.

Вершинами гиперболы являются точки пересечения гиперболы
с действительной осью симметрии, в данном случае с осью Ox .
Полагая в уравнении гиперболы					y = 0 , получаем x = ±5 , т.е.
точки с координатами (−5;0) и (5;0)					являются вершинами гипер-

болы. Условию задачи удовлетворяет ответ № 1.

Верный ответ – № 1.

108

Задача 3.2.53
Для приведения уравнения	(x − 2)2	+	( y + 1)2	= 1	к канониче-
Для приведения уравнения	9	+	4	= 1	к канониче-
	9		4

скому виду необходимо выполнить преобразование параллельного переноса системы координат в систему с центром в точке …

1)(3;2),

2)(−2;1),

3)(2;−1),

4)(9;4).

Решение

Рис. 3.29

Уравнениеэллипса со смещеннымцентром симметрииимеетвид:

(x − x0 )2	+	( y − y0 )2	= 1.
a2		b2

Это уравнение становится каноническим, если выполнить преобразование параллельного переноса системы координат в точку

с координатами (x0 ; y0 ) (рис. 3.29). В данном случае в точку (2;−1) .

Верный ответ № 3.

109

Задача 3.2.54

Для приведения уравнения (x + 2)2 − ( y − 3) = 0 к каноническо-

му виду необходимо выполнить преобразование параллельного переноса системы координат в систему с центром в точке …

1)(−2;3),

2)(2;3),

3)(−2;−3),

4)(2;−3).

Решение
Уравнение	(x − x )2 = 2 p( y − y ) является уравнением параболы
		0	0
со смещенной вершиной.
Замена переменных x1 = x − x0 , y1 = y − y0 позволяет получить
каноническое	уравнение,		иными	словами,	уравнение
(x − x )2 = 2 p( y − y )		становится каноническим, если			выполнить
0	0

преобразование параллельного переноса системы координат в систему с центром в точке (x0 ; y0 ) . В данном случае x0 = −2 , y0 = 3 .

Верный ответ № 1.

Задача 3.2.55

Уравнение кривой второго порядка 4x2 + 8x + 3y2 − 12y + 4 = 0 приводится к уравнению эллипса вида…

1)	(x + 1)2	+	( y − 2)2		= 1;
	3			4

2)	(x − 1)2	+	( y + 2)2		= 1;
	3			4

3)	(2x − 2)2		+	( y − 2)2
	4			4	= 1;

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги