книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

Решение

Неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными несовместна, т.е. не имеет решений, если главный опреде-

при а, равном…

Решение

Неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений, если = 0 , при этом x = 0 , y = 0 .

Из уравнения = 0 найдем а.

=1 a = 0,

2 −4

−4 − 2a = 0, a = −2.

21

Проверим, что при a = −2 x = 0 , y = 0 .

3a

x= 6 −4 = 0,

13

y= 2 6 = 0.

При a = −2 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: –2.

Задача № 1.2.16

на…

Решение

Решение неоднородной системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными определяется по формулам Крамера:

22

Решение

Найдем определитель по правилу треугольников:

−x2 + x + 6 = 0; x2 − x − 6 = 0;

x1 = 3, x2 = −2 – решения уравнения. Сумма решений равна x1 + x2 = 1 .

Ответ: 1.

23

II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

§2.1. Вопросы тестовых заданий

Вопрос 2.1.1

Модуль вектора AB , где A(x1, y1, z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) , равен…

1)(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 ;

2)(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 ;

3)(x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 );

4)(x2 − x1 )( y2 − y1 )(z2 − z1 ).

Решение

Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала

AB = { x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1}.

Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его координат, т.е.

AB = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .

Верный ответ № 2.

Вопрос 2.1.2

Для вектора c = a + b справедливы высказывания…

1)вектор c можно найти по правилу треугольника;

2)вектор c может быть коллинеарен каждому из своих слагаемых;

3)вектор c перпендикулярен вектору d = a − b ;

4)вектор c имеет длину, равную сумме длин векторов a и b;

5)вектор c коллинеарен вектору g = 2a + 2b.

24

Решение

Рис. 2.1

Суммой двух векторов a и b называется вектор, направленный из начала первого вектора a в конец второго вектора b , при

условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a

(рис. 2.1), т.е. первое высказывание верно.

Если векторы a и b коллинеарны, то сумма a + b является вектором, коллинеарным векторам a и b , поэтому второе выска-

зывание верно.

Если векторы a и b представить как стороны параллелограм-

ма, то векторы a + b и a − b совпадают с диагоналями параллелограмма. Диагонали параллелограмма перпендикулярны только в том случае, когда параллелограмм является ромбом или квадратом, т.е.

когда a = b , поэтому третье высказывание неверно.

Если векторы a и b совместить со сторонами треугольника, то

вектор a + b совпадет с третьей стороной. Для сторон треугольника справедливо утверждение: любая сторона треугольника не превосходит суммы двух других сторон. Поэтому четвертое утверждение неверно.

Используя свойство операций сложения векторов и умножения вектора на число, имеем g = 2a + 2b = 2(a + b ). По определению

операции умножения вектора на число вектор 2(a + b ) коллинеарен вектору a + b , поэтому пятое утверждение верно.

25

Вопрос 2.1.3

Если координаты векторов a = {ax , ay , az } и b = {bx ,by ,bz } про-

порциональны, то векторы … .

Решение

Если координаты векторов пропорциональны, то выполнено

Это означает, что a = λb . По определению операции произведения вектора на скаляр векторы a и b коллинеарны.

С другой стороны, из равенства a = λb следует, что a − λb = 0 . Левую часть последнего равенства можно рассматривать как линейную комбинацию векторов a и b с нетривиальным набором скаляров {1,−λ} . По определению векторы a и b являются линейно за-

висимыми.

Вопрос 2.1.4

Пусть ненулевые векторы a и b линейно зависимы, тогда…

1)a и b коллинеарны;

2)координаты векторов a и b пропорциональны;

3)существует такое действительное число λ , что λ = ba ;

4)существует такое действительное число λ , что a = λb;

5)сумма a + b есть нулевой вектор.

Решение

Пусть векторы a и b линейно зависимы, тогда найдутся два числа, одновременно не обращающиеся в ноль, такие что

чаем a = λb . Четвертое утверждение верно.

Из определения линейной зависимости векторов следует существование таких чисел λ1,λ2 , одновременно не обращающихся в

ноль, что справедливо равенство λ1a + λ2b = 0 . При этом λ1 и λ2 не обязательно равны единице, поэтому пятое утверждение неверно.

Вопрос 2.1.5

Установите соответствие между проекцией прl a и взаимным расположением вектора a с осью l.

<А>

Рис. 2.2

27

<Б>

<В>

<Г>

Рис. 2.2. Окончание

<1> прl a > 0, <2> прl a < 0, <3> прl a = 0, <4> прl a = a , <5> прl a > l , <6> прl a = 1,

Решение

Проекция вектора a на ось l равна модулю вектора a , умноженному на косинус угла ϕ между вектором и осью: прl a = a cosϕ ,

28

где ϕ – угол поворота оси l против часовой стрелки до совпадения с направлением вектора a .

<А>

Рис. 2.3

На рисунке <А> угол ϕ – острый, следовательно, cos ϕ > 0 . Поэтому прl a > 0 .

Рисунку <А> соответствует ответ № 1.

<Б>

Рис. 2.4

На рисунке <Б> угол ϕ – тупой, следовательно, cos ϕ < 0 . Поэтому прl a < 0 .

Рисунку <Б> соответствует ответ № 2.

<В>

Рис. 2.5

На рисунке <В> угол ϕ – прямой, следовательно, cos ϕ = 0 . Поэтому прl a = 0.

Рисунку <В> соответствует ответ № 3.

29

<Г>

Рис. 2.6

На рисунке <Г> угол ϕ = 0°, следовательно cos ϕ = 1. Поэтому,

прl a = a .

Рисунку <Г> соответствует ответ № 4.

Вопрос 2.1.6

Если два вектора перпендикулярны, то скалярное произведение этих векторов равно … .

Решение

Скалярным произведением двух векторов называется число, равноепроизведениюмодулей этихвекторовнакосинусугламежду ними,

a b = a b cos ϕ.

Рис. 2.8

30