книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

Точка M0 (−1; 1) принадлежит первой прямой.

Перейдем от общего уравнения второй прямой к нормальному. Для этого обе части уравнения умножим на нормирующий множи-

прямой равно...

Решение

Перейдем от общего уравнения данной прямой 3x − 4 y + 8 = 0

к уравнению с угловым коэффициентом y = 34 x + 2 . Угловой коэф-

а AD : 12x − 5y + 26 = 0 , равна...

Решение

82

Рис. 3.20

1-й способ

Высота трапеции ABCD равна расстоянию от какой-либо точки прямой BC до прямой AD . Прямая BC проходит через начало координат, поэтому искомая высота равна расстоянию от начала ко-

мая высота равна расстоянию от начала координат до прямой AD . Это расстояние равно свободному члену нормального уравнения прямой AD , взятому с противоположным знаком, т.е. d = 2 .

Ответ: 2.

Задача 3.2.19

83

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (2;5;−3) , перпендикулярно вектору M1M2 , где M1 (7;8;−1) , M2 (9;7;−4) , имеет вид…

1)x + y = 0,

2)4x − 2 y + z = 0,

3)x + 2z = 0,

4)2x − y − 3z − 8 = 0.

Решение

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) , перпендикулярно вектору n = { A; B;C} , имеет вид:

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0.

сти, т. е. является нормальным вектором. Тогда уравнение искомой плоскости имеет вид:

2(x − 2) −1( y − 5) − 3(z + 3) = 0;

2x − y − 3z − 8 = 0.

Верный ответ № 4.

Задача 3.2.20

Уравнение плоскости, проходящей через точки A(3;−1;2) ,

B(4;−1;−1) , C (2;0;2) , имеет вид…

1)x + 3y + z − 2 = 0,

2)x + 2 y + z − 1 = 0,

3)2x + 3y − 2z = 0,

4)3x + 3y + z − 8 = 0.

84

Решение

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1 (x1, y1, z1 ) , M2 (x2 , y2 , z2 ) , M3 (x3 , y3 , z3 ) , не лежащие на одной прямой, имеет вид:

Раскроем определитель по правилу треугольников:

3( y + 1) + (z − 2) + 3(x − 3) = 0;

3x + 3y + z − 8 = 0 – уравнение искомой плоскости.

Верный ответ № 4.

Задача 3.2.21

Плоскость 3x + 2y + (a + 5) z + 3 + a = 0 параллельна оси Oz при

значении параметра a , равном...

Решение

Поскольку плоскость параллельна оси Oz , ее уравнение имеет вид Ax + By + D = 0 , т.е. коэффициент C = 0 . Следовательно,

a + 5 = 0 и a = −5 .

Ответ: –5.

Задача 3.2.22

85

Вектор n = {1;a ;2} является нормальным вектором плоскости 3x − 24 y + 6z + 5 = 0 при значении параметра a , равном...

Решение

Нормальный вектор плоскости 3x − 24 y + 6z + 5 = 0 имеет координаты {3;−24;6} . Для того чтобы вектор {1;a;2} был нормальным вектором плоскости достаточно, чтобы он был коллинеарен вектору {3;−24;6} , т.е. имел пропорциональные с вектором {3;−24;6} коор-

с осью Oy равна...

Решение

Если плоскость пересекает ось Oy , то точка пересечения имеет вид M0 (0; y0 ;0) . Подставляя координаты точки M0 (0;y0 ;0) в уравнение плоскости, получаем −3y0 − 9 = 0 или y0 = −3 .

Ответ: –3.

Задача 3.2.25

86

Решение 1-й способ

Если Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости, то расстояние от точки M0 (x0 ;y0 ;z0 ) до плоскости определяется по фор-

2-й способ

Приведем общее уравнение плоскости 2x + 3y − z − 3 = 0 к нор-

плоскости. С этой целью умножим все члены уравнения на норми-

Нормальное уравнение заданной плоскости имеет вид:

87

Свободный член в нормальном уравнении, взятый с противопо-

плоскости x + y − 3z − 1 = 0 , то значение выражения 44 cos γ равно…

Решение

Перейдем от общего уравнения плоскости к нормальному. Найдем

Коэффициенты при переменных в нормальном уравнении плоскости равны косинусам углов наклона нормального вектора к соответствующим координатным осям.

Поэтому косинус угла между нормальным вектором плоскости и осью Oz равен cos(n,Oz) = − 311 < 0 , следовательно, найденный угол тупой. В качестве острого угла выберем смежный угол. Его ко-

синус равен 311 , а выражение 44 cos γ = 6 .

Ответ: 6.

Задача 3.2.27

88

Плоскость, проходящая через точку M (α;2;1) перпендикулярно вектору n = {−2;2;0} , содержит точку A(0;1;1) при α ,

равном...

Решение

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M (α;2;1) перпендикулярно вектору n = {−2;2;0} .

−2(x − α) + 2( y − 2) + 0(z −1) = 0.

Найдем такое значение параметра α , при котором плоскость проходит через точку A .

−2(0 − α) + 2(1− 2) = 0 .

Отсюда α = 1.

Ответ: 1.

Задача 3.2.28

Плоскость, проходящая через точки A(−4;0; −1) и B(1;2;2) параллельно векторуa = {0;3;2} , пересекает ось Ox в точке с абсцис-

сой равной...

Решение

Рис. 3.21

Найдем вектор AB = {5;2;3} . Поскольку координаты векторов a и AB не пропорциональны, можно сделать вывод, что векторы не

89

коллинеарны. Нормальный вектор плоскости найдем как векторное произведение векторов a и AB (рис. 3.21).

A(−4;0;−1) , перпендикулярно вектору n = {5;10; − 15} .

5(x + 4) + 10y −15(z + 1) = 0,

5x + 10 y − 15z + 5 = 0; x + 2 y − 3z + 1 = 0.

Точка пересечения плоскости с осью Ox имеет вид M0 (x0 ;0;0) . Подставим координаты точки M0 (x0 ;0;0) в уравнение плоскости.

x0 + 1 = 0.

Отсюда x0 = −1.

Ответ: –1.

Задача 3.2.29

Объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2x − 3y + 6z − 12 = 0 и координатными плоскостями, равен...

Решение

Запишем общее уравнение плоскости 2x − 3y + 6z − 12 = 0 в виде 2x − 3y + 6z = 12 . Разделим все его члены уравнения на 12, полу-

a = 6, b = −4, c = 2.

90