книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

Решение

M0 (x0 , y0 , z0 ) , параллельно вектору s = {m;n; p} . Плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0 , где n = { A; B;C} – нормальный

вектор плоскости (рис. 3.8).

Первое условие Am + Bn + Cp = 0 представляет собой равенство

нулю скалярного произведения векторов n и s . Поэтому векторы n и s перпендикулярны.

Второе условие означает, что точка M0 не принадлежит плос-

кости. Отсюда следует, что прямая и плоскость параллельны.

Верный ответ № 1.

Вопрос 3.1.19

Число вершин эллипса равно … .

Решение

Рис. 3.9

61

Рассмотрим эллипс, изображенный на рис. 3.9. Для него оси координат являются осями симметрии. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса. Для данного эллипса точки A, B,C, D – его вершины.

Ответ: 4.

Вопрос 3.1.20

Число осей симметрии параболы равно … .

Решение

Рис. 3.10

Рассмотрим параболу, изображенную на рис. 3.10. Она имеет каноническое уравнение y2 = 2 px( p > 0) . Переменная y входит

в уравнение в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ox . Ось Oy не является осью симметрии, так как пе-

ременная x входит в уравнение в первой степени.

Рис. 3.11

Рассмотрим параболу, изображенную на рис. 3.11. Она имеет каноническое уравнение x2 = 2 py( p > 0) . Переменная x входит

62

в уравнение в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Oy . Ось Ox не является осью симметрии, так как пе-

ременная y входит в уравнение в первой степени. Следовательно, у параболы одна ось симметрии.

Ответ: 1.

Вопрос 3.1.21

Ось симметрии, пересекаемая гиперболой, называется ... осью гиперболы.

Рис. 3.12

Решение

Рассмотрим гиперболу, изображенную на рис. 3.12. Она имеет

каноническое уравнение x2 − y2 = 1 . a2 b2

Оси координат являются осями симметрии данной гиперболы. С осью Oy данная гипербола не пересекается, а с осью Ox имеет

две точки пересечения. Ось симметрии, которую гипербола пересекает, называют действительной осью симметрии, а точки пересечения с ней называются вершинами гиперболы.

63

Вопрос 3.1.22

Центрально симметричными кривыми второго порядка являются… .

1)эллипс,

2)гипербола,

3)парабола,

4)окружность.

Решение

Заметим, что любое уравнение кривой второго порядка путем

преобразования параллельного переноса или поворота осей может

только в четных степенях, следовательно, эллипс, гипербола, окружность симметричны относительно осей Ox и Oy , а также

относительно точки O(0;0) , которая является центром указанных

кривых.

Эллипс, гипербола, окружность – центрально симметричные кривые второго порядка.

Парабола к центрально симметричным кривым не относится, так как имеет только одну ось симметрии и не имеет центра симметрии.

Верные ответы № 1, № 2, № 4.

64

Вопрос 3.1.23

1)фокусы расположены в точках (a;0) и(−a;0) ;

2)фокусы расположены в точках (0;b) и(0;−b) ;

3)фокусы расположены на оси Ox ;

4)фокусы расположены на оси Oy .

Решение

Фокусы любого эллипса расположены на большей оси симметрии эллипса.

ось симметрии принадлежит оси Ox и фокусы расположены на оси Ox .

Верный ответ № 3.

Вопрос 3.1.24

1)точка (0;0) является центром симметрии эллипса;

2)прямая x = 0 является осью симметрии эллипса;

3)прямые x = a иx = −a являются осями симметрии эллипса;

4)прямые y = ± ba x являются асимптотами эллипса.

Решение

оси координат x = 0 и y = 0 являются двумя взаимно перпендику-

лярными осями симметрии эллипса.

Начало координат является центром симметрии. Асимптот у эллипса нет. Поэтому верные высказывания № 1, 2.

65

Вопрос 3.1.25

Решение

Поскольку данное уравнение является каноническим уравнением гиперболы, то оси координат являются осями симметрии гиперболы. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. По-

решений не имеет. Таким образом, данная гипербола ось Ox пересекает, а ось Oy – нет. Следовательно, действительная ось гипербо-

лы имеет уравнение y = 0 .

Верный ответ № 2.

§3.2. Задачи

Задача № 3.2.1

Уравнение прямой, проходящей через точки A(1;−1)

иB(11;−6) , имеет вид…

1)x − 2 y − 3 = 0,

2)x + 8y + 7 = 0,

3)2x + y − 16 = 0,

4)x + 2 y + 1 = 0.

66

Задача № 3.2.3

Нормальным уравнением прямой является…

Решение

Рис. 3.13

Напомним, что нормальное уравнение прямой на плоскости имеет вид:

x cos α + y sin α − p = 0,

где α – угол между осью Ox и нормальным вектором прямой, а p –

расстояние от начала координат до прямой l (рис. 3.13).

Таким образом, уравнение первой степени Ax + By + C = 0 является нормальным уравнением прямой, если коэффициенты при x и y являются косинусом и синусом некоторого угла, т.е. для них должно выполняться основное тригонометрическое тождество A2 + B2 = 1 , и, поскольку в нормальном уравнении число p есть расстояние, а рас-

стояние всегда есть число неотрицательное, то свободный член в уравнении Ax + By + C = 0 должен бытьотрицательным.

68

1-й способ

Разделим все члены уравнения на 4, получим 2x + 4y = 1 – урав-

нение прямой в отрезках ( ax + by = 1 ), где a = 2 – величина отрезка,

отсекаемого прямой на оси Ox , а b = 4 – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy .

Рис. 3.14

Прямая пересекает ось абсцисс в точке с координатой x = 2 .

2-й способ

Если прямая пересекает ось Ox , то ордината точки пересечения равна нулю. Следовательно, 2x = 4 , x = 2 .

Ответ: 2.

Задача № 3.2.5

Если прямая проходит через точки A(2;5) и B(−4;2) , то тан-

генс угла наклона прямой к оси Ox равен...

Решение

Составим уравнение прямой, проходящей через точки A и B :

−3(x − 2) = −6( y − 5);

x − 2 y + 8 = 0 – общее уравнение прямой AB .

70