книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

Вопрос 2.1.7

Проекция вектора a на вектор b равна…

1)aab ,

2)abb ,

3)a × b , a

4)a a× b .

Решение

Проекция вектора a на вектор b :

прb a = a cos ϕ , где ϕ – уголмежду векторами a и b (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Из формулы скалярного произведения имеем: cos ϕ = aa bb .

Отсюда

Верный ответ № 2.

31

Вопрос 2.1.8

Укажите верные утверждения.

Рис. 2.10

1)Sпар−ма = a × b ,

2)Sпар−ма = 12 a × b ,

3)Sпар−ма = a × b ,

4)Sпар− ма = c .

Решение

Векторным произведением вектора a на вектор b называют

такой вектор с (рис. 2.10), модуль которого равен:

a × b = a b sin ϕ , где ϕ – угол между векторами a и b , т.е.

Sпар−ма = a × b = c .

Верными являются ответы № 1 и № 4.

По формуле 12 a × b определяем площадь треугольника, по-

строенного на векторах a и b , как на сторонах, поэтому второй ответ неверен. Ошибочен и третий ответ, так как результатом векторного произведения является вектор, а площадь параллелограмма – это число.

32

Вопрос 2.1.9

Выберите верные утверждения.

1)Если смешанное произведение трех векторов abc = 0 , то векторы a , b , c компланарны.

2)Если три вектора a , b , c образуют правую тройку, то смешанное произведение этих векторов отрицательно.

3)Смешанное произведение не изменится при перемене мест любых двух векторов – сомножителей.

4)Смешанное произведение не изменится при круговой перестановке векторов.

5)Смешанное произведение трех векторов равно объему треугольной пирамиды, построенной на этих векторах.

Решение

Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное векторному произведению a × b , умноженному скалярно на вектор c .

abc = (a × b) c = a × b c cos ϕ , где ϕ − угол между векторами

(a × b) и c .

Рис. 2.11

Если смешанное произведение трех векторов abc = 0 , то вектор (a × b) перпендикулярен вектору c , т.е. ϕ = 90°.

33

Следовательно, вектор c лежит в плоскости векторов a и b , т.е. векторы a, b, c − компланарны (рис. 2.11).

Первое утверждение верно.

Знак смешанного произведения отвечает за ориентацию тройки векторов. Если тройка правая, то abc > 0 , а если тройка левая, то

abc < 0 . Поэтому второе утверждение неверно.

Для оценки верности третьего и четвертого высказываний используем представление смешанного произведения в координатной форме:

получим abc = −bac = bca .

Таким образом, четвертое утверждение верно.

Пятое утверждение ошибочно, так как модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах, как на трех пересекающихся ребрах.

34

§2.2. Задачи

Задача 2.2.1

Даны координаты трех точек: А(1;2), В(2;3) , С(4;5) . Длина вектора AB + 3BC равна ...

1)7 2,

2)7 3,

3)3 2,

4)2 2.

Решение

Найдем координаты векторов AB и BC :

AB = { xA − xB ; yA − yB } = {1;1} ,

аналогично

BC = {2;2} .

Тогда 3BC = {6;6} ,

AB + 3BC = {7;7} .

Длина вектора равна арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его координат.

Следовательно, AB + 3BC = 72 + 72 = 7 2 .

Верный ответ № 1.

Задача 2.2.2

Даны координаты трёх вершин параллелограмма АВСD:

А(11;12) , В(13;14) , С(8;10) . Вершина D имеет координаты ...

1)(1;13),

2)(6;8),

35

3)(8;14),

4)(14;8).

Решение

Рис. 2.12

Поскольку ABCD − параллелограмм, то векторы BC и AD равны. Найдем координаты векторов BC и AD . BC = {−5; −4} , AD = { xD − 11; yD − 12} . Приравнивая соответствующие координаты, получим систему:

xD − 11 = −5 . Отсюда D(6;8) .

yD − 12 = −4

Верный ответ № 2.

Задача 2.2.3

Если m длина медианы CK , проведённой в треугольнике ABC , где A(1;0;3) , B(1;4;1) , C (0;2;3) , то выражение 2m равно ...

Решение

Рис. 2.13

Найдем векторы CB, BA, BK .

36

Вектор CK = CB + BK = {1;0; −1}.

ловию λ > 0 .

Тогда вектор a = 3 ; 2 ; 6 .

7 7 7

Верный ответ № 1.

37

Задача 2.2.5

Проекция вектора a на вектор b , где a = {1; −1;2} , b = {2;1;2} , равна ...

1)53 ,

2)56 ,

3)76 ,

4)73 .

Решение

Рис. 2.14

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны, т.е.

углы α = 30° и β = 60° , то косинус угла между вектором a и осью

Oz равен...

Решение

Обозначим γ – угол между вектором a и осью Oz . Сумма

квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора a равна единице:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

По условию α = 30° и β = 60°.

сумма параметров α и β равна ...

Решение

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда координаты векторов пропорциональны, т.е. 93 = β2 = 12α . Отсюда α = 4 ,

β = 6 . Тогда сумма α + β = 10 .

Ответ:10.

39

Задача 2.2.9

Скалярное произведение векторов a = {7;3;4} и b = {−1;1;1}

равно ...

Решение

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат

этих векторов, т.е. ab = axbx + ayby + azbz = 7 (−1) + 3 1 + 4 1 = 0 .

Ответ: 0.

Задача 2.2.10

Косинусугламеждувекторами a = {8;2;3} и b = {−2;8;0} равен...

Решение

Из определения скалярного произведения следует, что

b = {−1;1;4} равно 12, то параметр m равен...

Решение

Найдем скалярное произведение двух векторов a и b : ab = axbx + ayby + azbz .

По условию ab = 12.

Тогда 9(−1) + m 1+ 5 4 = 12.

Отсюда m =1.

Ответ: 1.

40