книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

цу A , т.е.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Если при этом выполнено равенство r ( A) = r (A) = n , то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, а если r ( A) = r (A) < n , то система линейных алгебраических

уравнений имеет бесконечно много решений. Поэтому верными яв-

ляются утверждения № 1, № 4.

Второй вариант ответа ошибочный, так как ранг матрицы системы r ( A) не может быть больше количества неизвестных.

Если r ( A) = r (A) < n , то система совместна и имеет бесконечно

много решений. Третье утверждение ошибочно.

Верные ответы № 1, № 4.

§1.2. Задачи

Задача № 1.2.1

					−2	5		−3		2
Произведение матриц						4				равно …
					1	4		−4		1
1)	−14	1	,
1)			,
	−19	6
2)	–77,
3)	−14	−4
3)		6	,
	−4	6
4)	7.
Решение
Пусть A = (aij )				m×n	, B = (bij )	n× p	,	тогда произведением A B мат-
				m×n		n× p
риц A и B называется матрица C = (cij )									m× p	. При этом элемент матри-
									m× p

цы C = A B , стоящий в i-й строке и j-м столбце равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие эле-

менты j-го столбца матрицы B. cij = aik bkj .

k =1

−2 5 −3 2		−2 (−3) + 5 (−4)			−2 2 + 5 1					−14 1
		=	(−4)		1 2 +				=
1 4 −4 1		1 (−3) + 4	(−4)		1 2 +		4 1			−19 6
Верный ответ № 1.
Задача № 1.2.2
			0		−1	0
Минор элемента а11 матрицы				1	−1	2		равен …
Минор элемента а11 матрицы			A =	1	−1	2		равен …
				2	−4	3
				2	−4	3
Минором Mij	элемента aij квадратной матрицы A,									называется

определитель матрицы, полученной из данной вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

В данномслучае вычеркиваем первуюстроку ипервый столбец.

		M11 =		−1 2		= −3 + 8 = 5.
		M11 =		−1 2		= −3 + 8 = 5.
				−4	3
Ответ: 5.
Задача № 1.2.3
Элемент c12	матрицы			C = A B ,				полученной при умножении
двух матриц A =	1	−3		−2			1	, равен…
двух матриц A =		5	и	B =	0			, равен…
	2	5			0		3
Решение
По определению			произведения				матриц элемент c12 матри-

цы C = A B равен сумме произведений элементов первой строки матрицы A на соответствующие элементы второго столбца матрицы B, т.е.

c12 = 1 1+ (−3) 3 = 1− 9 = −8.

Ответ: –8.

Задача № 1.2.4 Решение

Число строк матрицы C = A B , полученной при умножении

1		0	3	−5 1			3	4
	−2	1	1		1	0 −1		0	, равно…
двух матриц A =				и B =
	7	−4 0			3	1	4	−2

Умножение матриц A и B, где A = (aij )3×3 , B = (bij )3×4 , определе-

но, так как число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы В. По определению произведения матриц число строк матрицы C равно числу строк матрицы A, а число столбцов матрицы C равно числу столбцов матрицы В, поэтому число строк матрицы C равно 3.

Ответ: 3.

Задача № 1.2.5

Из предложенных матриц невырожденной является …

	0			0		−5
1)		−6		−2		−2		,
1)		−6		−2		−2		,
		9		3		−1
		9		3		−1
		3	3	−5
2)		1	0	−2
2)		1	0	−2		,
		2	0		4
		2	0		4
	−2			0	1
3)		−1		6	−2		,
3)		−1		6	−2		,
		2		0	−1
		2		0	−1
4)	−24			16
4)		−3		2	.
		−3		2

Решение

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Все указанные матрицы квадратные. Найдем определители этих матриц.

0	0	−5

−6 −2 −2			= 0 + 0 + 90 − 90 − 0 − 0 = 0.
9	3	−1

3 3 −5

10 −2 = 0 − 12 + 0 − 0 − 0 − 12 = −24 ≠ 0.

20 4

−2	0	1
−2	0	1
−1	6	−2	= 12 + 0 + 0 − 12 − 0 − 0 = 0.
2	0	−1

−24 16 = −48 + 48 = 0. −3 2

Только во втором варианте определитель матрицы отличен от нуля.

Верный ответ № 2.

Задача № 1.2.6
Обратной матрицей для матрицы 5				3	является …
			−2	2
	2	3

	16	16
1)			,

− 2

16 16

	5		−	2

2)		16		16
					,

16 16

	2		−	3

3)		16		16
					,

16 16

4)	2		−3
		2	5	.

Решение

Введем обозначения:

или

A − определитель матрицы A .

Матрица A − квадратная.

Найдем

= 10 + 6 = 16.

−2

Поскольку

≠ 0,

матрица А – невырожденная, и, следователь-

но, существует обратная ей матрица.

Составим матрицу A* , элементами которой являются алгебраи-

ческие дополнения		A	элементов					a	матрицы A. Матрица A* име-
		ij						ij
ет вид:
2	2
A* =	.
−3	5
Транспонируем матрицу							A* , получаем присоединенную 15у-
трицу A :
							Т	2		−3
			A = (A* )					=			.
								2		5
								2		3
						1				−
				−1		1			16	−		16
Обратная матрица			A		=		A	=	2	5			.
Обратная матрица			A		=	A	A	=					.
						A

									16	16
									16	16

Верный ответ № 3.

Задача № 1.2.7

1		3	−2	3
	0	−2	4	1
Ранг матрицы	0	−2	4	1	равен …
	0	0	3	1
	0	0	0	5
	0	0	0	5
Решение
Данная матрица		является			матрицей ступенчатого вида

(в данном случае треугольного вида). Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ненулевых строк матрицы. В данном случае r ( A) = 4 .

Ответ: 4.

Задача № 1.2.8

20		1	5
Матрица	0	−4	0 является вырожденной, если пара-
	a	6
	a	6	−1

метр а равен…

Решение

Матрица является вырожденной, если определитель матрицы равен нулю, т.е.

20	1	5
20	1	5
0	−4	0	= 0.
a	6	−1

Вычисляя определитель, получаем уравнение: 80 + 0 a + 0 + 20a − 0 − 0 = 0;

20a = −80; a = −4.

Ответ: –4.

Задача № 1.2.9

			2		0	−1
Элемент	b	матрицы В, обратной к матрице A =		2	4	2	,
	21
				−6	−1	2
				−6	−1	2

равен …

Решение

Матрица А – квадратная. Найдем определитель матрицы А:

		2	0	−1

A	=	2	4	2	= 16 + 0 + 2 − 24 + 4 − 0 = −2 ≠ 0,

		−6	−1	2

следовательно, матрица А – невырожденная и для нее существует обратная матрица B = A−1 .

Составим матрицу A* , элементами которой являются алгебраи-

ческие дополнения Aij для элементов aij				матрицы А:
	10		−16	22
*		1	−2	2
A	=				.
		4	−6	8

Транспонируем матрицу A* , получаем присоединенную матри-

Все элементы матрицы A делим на A ≠ 0,

A−1 = B = 1A A.

					−5	−	1	−2
					−5	−	2	−2
		A−1					2
					8	1		3
			= B =		8	1		3	.
					−11	−1		−4


Элемент b21 = 8.
Ответ: 8.
Задача № 1.2.10
	2	2	3
	2	2	3
Определитель	0	3	6	равен …
	0	4	9

Решение

Вычислим определитель, используя разложение по элементам первого столбца.

	2	2	3		3	6	1+1



	0	3	6	= 2	4	9	(−1)	= 2 (27 − 24) = 6.
	0	4	9
	0	4	9
Ответ 6.

Задача № 1.2.11
	1	2	3
	1	2	3
Определитель	4	x	6	равен 24 при х, равном…
	7	8	9

Решение

1	2	3
1	2	3
4	x	6	= 24.
7	8	9

Найдем определитель по правилу треугольников: 1 x 9 + 2 6 7 + 4 8 3 − 3 x 7 − 1 8 6 − 4 2 9 = 24;

−12x + 60 = 24; x = 3.

Ответ: 3.

Задача № 1.2.12

Равенство

a21

a22

a23

= 2A13 верно при х, равном…

a31

a32

a33

Решение

Найдем определитель

a21

a22

a23

, используя разложение по

a31

a32

a33

элементам первой строки:

a21

a22

a23

= xA13.

a31

a32

a33

В данном случае xA13 = 2A13 , т.е.

x = 2 .

Ответ: 2.

Задача № 1.2.13

x − 4 y − 3z = −6,

− 3z = −7, определитель y имеет вид …

Для системы x − 5y

+ 4z = 9

− x + 6 y

−6

−3

−7

−3

−1

	1	−4	−3
	1	−4	−3
2)	1	−5 −3			,
	−1	6	4
	1	−4	−6
	1	−4	−6
3)	1	−5 −7		,
	−1	6	9
	−6	−4	−3
	−6	−4	−3
4)	−7	−5 −3				.
	9	6	4

Решение

Для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

a1x + b1 y + c1z = d1 ,a2 x + b2 y + c2 z = d2 ,a3 x + b3 y + c3 z = d3 ,

	a1	b1	c1
	a1	b1	c1
главный определитель =	a2	b2	c2	составлен из коэффициентов
	a3	b3	c3

при неизвестных системы. Определитель y получается из главного

определителя системы, если в нем заменить коэффициенты при переменной у свободными членами.

	1	−6	−3
	1	−6	−3
В данном случае y =	1	−7	−3	.
	−1	9	4

Верный ответ № 1.

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги