книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия
.pdf4) |
(2x + 2)2 |
+ |
( 3y − 2)2 |
= 1. |
|
3 |
|
4 |
|
Решение |
|
|
|
Преобразуем данное уравнение следующим образом:
(4x2 + 8x) + (3y2 − 12 y) + 4 = 0; 4(x2 + 2x) + 3( y2 − 4 y) + 4 = 0;
4(x2 + 2x + 1− 1) + 3( y2 − 4y + 4 − 4) + 4 = 0; 4(x + 1)2 − 4 + 3( y − 2)2 − 12 + 4 = 0;
4(x + 1)2 + 3( y − 2)2 = 12;
(x + 1)2 + ( y − 2)2 = 1. 3 4
Верный ответ № 1.
Задача 3.2.56
Центром симметрии эллипса 9x2 + 4y2 + 6x −16y + 16 = 0 является точка с координатами…
1)13 ;−2 ,
2)(3;−2),
3)− 13 ; 2 ,
4)(3; 2).
Решение
Преобразуем данное уравнение следующим образом:
(9x2 + 6x) + (4 y2 − 16 y) + 16 = 0;
9 |
|
2 |
+ |
2 |
|
+ 4( y |
2 |
− 4 y) + 16 |
= 0; |
x |
|
3 |
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
|
|
|
|
|
|
9 |
|
2 |
+ |
2 |
x + |
1 |
− |
1 |
|
|
4( y |
2 |
− 4 y + 4 − 4) + 16 = 0; |
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
9 |
9 |
+ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
+ |
1 |
|
2 |
|
4( y − |
2) |
2 |
− 16 |
+ 16 = 0; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
− 1 + |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
+ |
1 |
|
2 |
|
|
|
2) |
2 |
= 1. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
+ 4( y − |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x + |
3 |
|
|
|
( y − |
2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+ |
|
|
= 1 |
– |
уравнение эллипса, центр симметрии |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которого находится в точке |
|
− |
1 |
; 2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Верный ответ № 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Задача 3.2.57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Длина |
|
большей |
|
полуоси |
эллипса |
4x2 + 9y2 + 4x − 6y + 1 = 0 |
равна…
1)23 ,
2)3,
3)1,
4)12 .
Решение
Приведем уравнение эллипса к виду:
(x − x0 )2 |
+ |
( y − y0 )2 |
= 1. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
В данном уравнении выделим полные квадраты (x − x0 )2 ,
( y − y0 )2 .
112
(4x2 + 4x) + (9 y2 − 6 y) + 1 = 0;
4(x |
2 |
+ x) + |
9 |
|
|
|
2 |
− |
2 |
y |
|
+ 1 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
y |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
2 |
+ x + |
1 |
− |
1 |
|
+ 9 |
|
|
2 |
− |
2 |
y |
+ |
1 |
− |
1 |
|
+ 1 |
= 0; |
|||||||||||||
x |
|
4 |
4 |
|
y |
|
3 |
9 |
9 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
|
|
x + |
1 |
|
2 |
− |
1 |
|
+ 9 |
|
|
y − |
1 2 |
|
1 |
|
+ 1 |
= 0; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
1 2 |
+ 9 |
|
|
− |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x + |
|
|
|
y |
3 |
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
− |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x + |
2 |
|
|
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Большая полуось равна 12 .
Верный ответ № 4.
Задача 3.2.58
Одна из осей симметрии гиперболы 4x2 + 12x − 16y2 + 24y − 1 = 0 имеет уравнение…
1)x = − 23 ,
2)x = 1,5,
3)y = − 23 ,
4)y = 34 .
Решение
Преобразуем данное уравнение следующим образом:
113
4x2 + 12x + (−16 y2 + 24 y) − 1 = 0;
|
|
2 |
|
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|||
4 |
x |
|
+ 3x |
+ |
|
− |
− 16 y |
|
− |
|
y + |
|
|
|
− |
|
|
|
− 1 = 0; |
||||||||
|
4 |
|
2 |
16 |
|
16 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
+ |
3 |
2 |
− 9 |
− 16 |
|
|
|
3 |
2 |
+ 9 − 1 = 0; |
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
2 |
|
y − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
− |
3 2 |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x + |
2 |
|
− 16 y |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x + |
2 |
|
|
|
|
y − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из полученного уравнения видно, что гипербола имеет оси
симметрии x = − 32 и y = 34 .
Верный ответ – № 4.
Задача 3.2.59
Вершиной параболы 64x2 − 16x + 12y − 3 = 0 является точка
скоординатами…
1)1 ; 1 ,8 3
2)(8;−1,5),
3)− 1 ; − 2 ,8 3
4)1;− 23 .
Решение
Преобразуем данное уравнение следующим образом:
(64x2 − 16x) + 12 y − 3 = 0;
114
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
64 |
x |
|
− |
|
|
+ |
|
− |
|
|
+ 12 y − 3 = 0; |
||||
|
4 |
|
64 |
64 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
64 |
|
|
− |
1 |
2 |
|
|
|
− 3 = 0; |
||||||
x |
8 |
|
− 1+ 12 y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
64 |
|
|
− |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
x |
8 |
|
= −12 |
y − |
3 |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 2 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|||||
x |
− |
|
|
|
|
= − |
|
y − |
|
. |
|
||||
8 |
|
16 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили уравнение вида (x − x0 )2 = 2 p( y − y0 ) – уравнение па-
раболы с вершиной в точке (x0 ; y0 ) . В данномслучае x0 = 18 , y0 = 13 .
Верный ответ № 1.
Задача 3.2.60
Для приведения уравнения 3x2 + 6x − y + 4 = 0 к каноническому
виду необходимо выполнить преобразование параллельного переноса системы координат в систему с центром в точке …
1)(−1;1),
2)(1;1),
3)(−2;−4),
4)(2;−4).
Решение
Преобразуем данное уравнение следующим образом:
(3x2 + 6x) − y + 4 = 0;
3(x2 + 2x + 1− 1) − y + 4 = 0; 3(x + 1)2 − 3 = y − 4;
115
(x + 1)2 = 13 ( y − 1).
Поскольку преобразование |
x1 |
= x + 1 |
позволяет получить ка- |
|
= y − 1 |
||
|
y1 |
|
ноническое уравнение параболы, то необходимо выполнить преобразование параллельного переноса системы координат в систему
с центром в точке (−1; 1).
Верный ответ № 1.
Задача 3.2.61 |
3x − 7 |
|
1 |
|
Для приведения уравнения y = |
к виду y = − |
необхо- |
||
|
x − 2 |
|
x |
|
димо выполнить преобразование параллельного переноса системы координат в систему с центром в точке …
1)(2;3),
2)(3;2),
3)(2;−3),
4)(1;−4).
Решение
Преобразуем данное уравнение следующим образом:
y= 3x − 6 − 1; x − 2
y = |
3(x − 2) |
− |
1 |
; |
|||||
|
|
x − 2 |
|||||||
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|||
y = 3 |
− |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
x |
− |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
y − 3 |
= − |
|
1 |
|
. |
|
|||
x |
− 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
116
|
Поскольку преобразование |
x1 = x − 2 |
позволяет |
привести |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y1 = y − 3 |
|
|
|||
уравнение |
y = 3x − 7 |
к виду y |
= − |
1 |
, |
можно сделать вывод, что |
|||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
x − 2 |
1 |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
центр новой системы координат O′ имеет координаты (2;3) . |
|||||||||||
|
Верный ответ № 1. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Задача 3.2.62 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Прямая |
|
y = α |
является |
осью |
симметрии |
гиперболы |
||||
(x + 7)2 |
( y − 5)2 |
при α , равном... |
|
|
|
||||||
4 |
− |
|
9 |
= 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x + 7)2 |
− |
( y − 5)2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
9 |
= 1 – уравнение гиперболы. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Центром симметрии гиперболы является точка O(−7;5) . |
||||||||||
|
Прямая |
y = 5 |
– ось симметрии |
гиперболы, следовательно, |
α = 5 .
Ответ: 5.
Задача 3.2.63
Кривая x2 + By2 = 4 является уравнением эллипса с полуосями
2 и 4, если B равно...
Решение
Приведем данное уравнение эллипса к каноническому уравне-
нию |
x2 |
+ |
y2 |
= 1 , где a, b – полуоси эллипса. |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
117
x2 |
|
By |
2 |
||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= 1, |
|
4 |
|
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
2 |
+ |
|
y2 |
|
= 1. |
||
4 |
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
Тогда a = 2, b = |
|
4 |
= |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
B |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По условию b = 4, тогда |
|
|
2 |
= 4 . Отсюда, |
|
B = 1 = 0, 25 . |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Ответ: 0,25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.2.64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k , |
|
|
|
|
||
Положительное значение параметра |
при котором прямая |
||||||||||||||||
y = kx является асимптотой гиперболы |
x2 |
− |
|
y2 |
|
= 1, равно... |
|||||||||||
4 |
|
9 |
|
||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если гипербола задана уравнением |
|
x2 |
|
− |
|
y2 |
= 1, то асимптоты |
||||||||||
|
a2 |
|
b2 |
||||||||||||||
гиперболы имеют уравнения y = ± b x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае a = 2, |
|
b = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда асимптоты гиперболы имеют уравнения y = ± |
3 x , отсю- |
||||||||||||||||
да k = ± 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положительное значение k = 1,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: 1,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.2.65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если прямая |
x = a |
является осью |
|
симметрии |
параболы |
x2 + 6x − 5y − 26 = 0 , то значение a равно...
Решение
Преобразуем данное уравнение следующим образом:
118
(x2 + 6x) − 5y − 26 = 0;
(x2 + 6x + 9 − 9) − 5y − 26 = 0; (x + 3)2 − 9 − 5y − 26 = 0;
(x + 3)2 = 5y + 35;
(x + 3)2 = 5( y + 7).
Полученное уравнение является уравнением параболы (x − x0 )2 =
=2 p( y − y0 ) с вершинойв точке (x0 ; y0 ) иосью симметрии x = x0 .
Вданномслучае x = −3 являетсяосьюсимметрии, отсюда, a = −3 .
Ответ: –3.
119
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебник для вузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Проспект; Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014. – 393 с.
2.Смышляева Т.В. Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия: учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., стер. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. – 162 с.
3.Курош А.Г. Курс высшей алгебры: учебник для вузов. – 15-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2006. – 431 с.
4.Бахвалов С.В., Бабушкин Л.И., Иваницкая В.П. Аналитическая геометрия: учебник. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1970. – 376 с.
5.Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник. – 38-е изд.,
стер. – СПб.: Лань, 2010. – 299 с.
120