книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

Разрешив данное уравнение относительно y , получим:

y = 2x + 4 – уравнение с угловым коэффициентом ( y = kx + b ).

Отсюда следует, что k = 12 . Угловой коэффициент k равен

тангенсу угла наклона прямой к оси Ox . Следовательно, tg ϕ = 12 .

Ответ: 0,5.

Задача № 3.2.6

Прямая 2x + By + 8 = 0 наклонена к оси Ox под углом 135 , ес-

ли B равно...

Решение

Данное уравнение 2x + By + 8 = 0 является общим уравнением

прямой.

Выразим y в явном виде, т.е. перейдем к уравнению прямой с угловым коэффициентом y = kx + b .

By = −2x − 8, y = − B2 y − B8 .

Таким образом, k = − B2 = tg ϕ , где ϕ – угол наклона прямой

к оси Ox .

По условию ϕ = 135° .

Следовательно, − B2 = tg135° ;

− B2 = −1;

Отсюда B = 2.

Ответ: 2.

71

Задача № 3.2.7

Если прямая 2x + 3y − C = 0 отсекает на отрицательной полуоси Oy отрезок длины 3 , то значение C равно...

Решение 1-й способ

Прямая отсекает на отрицательной полуоси Oy отрезок длины 3. Иными словами, прямая проходит через точку (0; − 3) . Подставляя в уравнение x = 0 и y = −3 , получим 0 + 3(−3) − C = 0 . От-

сюда C = −9 .

2-й способ

Приведем общее уравнение прямой к уравнению прямой в от-

По условию b = −3. Следовательно, C3 = −3 .

Отсюда C = −9.

Ответ: –9.

Прямая y = kx + 5 проходит через точку O(2;2) , т.е. координаты точки O удовлетворяют уравнению y = kx + 5 .

Тогда 2 = k 2 + 5, следовательно, k = −1,5 .

Ответ: –1,5.

Задача № 3.2.9

Если прямая проходит через точки A(2;3) и B(8;−6) , то пло-

щадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла, равна...

Решение

Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A и B .

−9(x − 2) = 6( y − 3); 3(x − 2) = −2( y − 3);

3x + 2 y − 12 = 0 – общее уравнение прямой AB .

Перейдем от общего уравнения прямой AB к уравнению прямой в отрезках

ax + by = 1; 3x + 2 y = 12;

4x + 6y = 1 – уравнение прямой AB в отрезках, где a = 4 – вели-

чина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox , b = 6 – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy (рис. 3.15).

73

Рис. 3.15

Таким образом, прямая отсекает от координатного угла прямоугольный треугольник, катеты которого равны 4 и 6. Площадь полу-

ченного треугольника S = 12 4 6 = 12 .

Ответ: 12.

Задача 3.2.10

Острый угол, образованный прямыми, 3x + y − 7 = 0 и 2x − y + 1 = 0 , равен…

1)π2 ,

2)arctg 23 ,

3)0,

4)π4 .

Решение 1-й способ

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициен-

Приведем общие уравнения прямых к уравнениям с угловым коэффициентом:

3x + y − 7 = 0; y = −3x + 7.

Отсюда k1 = −3.

74

2x − y + 1 = 0;

y = 2x + 1. Отсюда k2 = 2.

2-й способ

Найдем косинус угла между прямыми, как модуль косинуса угла между нормальными векторами этих прямых.

Отсюда угол между прямыми равен π4 .

Верный ответ № 4.

Задача 3.2.11

Прямые x + 2 y + 3 = 0 и x − 2 y − 1 = 0 пересекаются в точке…

1)(1;−1),

2)(1;1),

3)(3;−3),

4)(−1;−1).

Решение

Для нахождения координат точки пересечения прямых нужно решить систему уравнений:

x + 2 y + 3 = 0,x − 2 y − 1 = 0.

При почленном сложении уравнений получим 2x + 2 = 0, x = −1. Тогда y = −1.

75

Прямые пересекаются в точке (−1; −1) .

Верный ответ № 4.

Задача 3.2.12

Расстояниеот точки M (−5;5) допрямой 3x − 4 y + 5 = 0 равно...

Решение 1-й способ

Расстояние от точки M0 (x0 , y0 ) до прямой Ax + By + C = 0 есть

длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую

(рис. 3.16).

М0

Рис. 3.16

Расстояние от точки M0 (x0 , y0 ) до прямой можно вычислить по формуле:

d = Ax0 + By0 + C . A2 + B2

2-й способ

Перейдем от общего уравнения прямой 3x − 4 y + 5 = 0 к нормальному. Для этого умножим обе части уравнения на нормирую-

В данном случае свободный член в общем уравнении положителен, поэтому нормирующий множительимеет знак минус: μ = − 15 .

76

Получим нормальное уравнение: − 53 x + 54 y − 1 = 0 .

Отклонение δ точки M0 от прямой l равно левой части нормального уравнения прямой l , где вместо x и y подставлены координаты точки M0 , т.е.

δ = − 53 (−5) + 54 5 − 1 = 6.

Расстояние от точки M0 до прямой l равно модулю отклонения d = δ = 6 .

Ответ: 6.

Задача 3.2.13

Прямая kx − 14 y + 7 = 0 параллельна прямой 2x + 7 y − 5 = 0

при k, равном...

Решение 1-й способ

Прямые заданы общими уравнениями. Для решения задачи будем использовать условие параллельности двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом. Если прямые заданы уравнениями y = k1x + b1 , y = k2 x + b2 , то они параллельны тогда и только

тогда, когда k1 = k2 , b1 ≠ b2 . Перейдем от общих уравнений прямых к уравнениям с угловым коэффициентом. Для этого выразим y

2-й способ

77

Две прямые, заданные общими уравнениями A1x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 , параллельны, если нормальные векторы этих

прямых коллинеарны (рис. 3.17), т.е. имеют пропорциональные координаты, при этом свободные члены уравнений этой пропорции не подчиняются.

Рис. 3.17

2x + 7 y − 5 = 0 при k, равном...

Решение 1-й способ

Прямые заданы общими уравнениями. Для решения задачи будем использовать условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом. Если прямые заданы

уравнениями y = k1x + b1 , y = k2 x + b2 , то они перпендикулярны тогда и только тогда, когда k1k2 = −1 . Перейдем от общих уравнений прямых к уравнениям с угловым коэффициентом. Для этого выразим y

78

в явном виде. Получим: y = 14k x + 12 , y = − 72 x + 75 – уравнения прямых с угловым коэффициентом. Таким образом, k1 = 14k , k2 = − 72 .

Для перпендикулярности прямых достаточно потребовать, чтобы k1k2 = −1 . Для заданных прямых это условие принимает вид:

k − 2 = −1 . Отсюда k = 49. 14 7

2-й способ

Рис. 3.18

Две прямые, заданные общими уравнениями A1x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 , перпендикулярны тогда и только тогда, когда

нормальные векторы этих прямых перпендикулярны (рис. 3.18). Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно

нулю. Так как n1 = { A1; B1} , n2 = { A2 ; B2} , то условие перпендикулярности прямых принимает вид A1 A2 + B1B2 = 0 . Для данных прямых

имеем 2k −14 7 = 0 . Следовательно, k = 49.

Ответ: 49.

Задача 3.2.15

Расстояние между параллельными прямыми 3x + 4 y − 1 = 0 и 3x + 4 y + 6 = 0 равно...

Решение 1-й способ

79

Прямые заданы общими уравнениями: A1x + B1 y + C1 = 0 и

A2 x + B2 y + C2 = 0 .

Если A1 = B1 ≠ C1 , то прямые параллельны.

A2 B2 C2

В данном случае 33 = 44 ≠ −61 , т.е. прямые параллельны.

Рис. 3.19

Искомое расстояние найдем как расстояние от произвольной точки первой прямой до второй прямой. Возьмем на первой прямой произвольную точку, например, точку с абсциссой x = −1. Ее ордината y = 1.

Итак, на первой прямой выбрана точка M0 (−1;1) . Найдем теперь расстояние от этой точки до второй прямой по формуле

2-й способ

Расстояние между параллельными прямыми найдем как расстояние от какой-либо точки первой прямой до второй прямой.

80