книги / Теоретические основы теплотехники. Теория теплообмена

Необходимым условием распространения тепла в сплошной среде является неоднородность температурного поля, а в случае теплопроводности необходимо неравенство нулю температурного градиента в различных точках тела. В неоднородном температурном поле всегда возникают тепловые потоки.

Тепловым потоком Q называется количество теплоты W [Дж], проходящее через некоторую контрольную поверхность площадьюF вединицувремениτ[с]. ВсистемеСИтепловойпоток измеряется в ваттах:

Здесь в качестве контрольной поверхности рассматривается либо поверхность тела, граничащаясокружающейсредой, либо изотермическая поверхность.

Плотность теплового потока q – это тепловой поток, прохо-

дящий через элементарную площадку dF изотермической поверх-

ности в данной ее точке:

Плотность теплового потока является векторной величиной, направленной в сторону, противоположную направлению градиента температуры, т.е. в сторону уменьшения температуры.

ТепловойпотокQ черезизотермическуюповерхностьиплот-

ность теплового потока q связаны очевидным соотношением

10

1.2. Основной закон теплопроводности. Коэффициент теплопроводности

Основным законом теплопроводности является закон Фурье. Он устанавливает связь между неоднородностью температурного поля, обусловленную величиной температурных градиентов, с возникающими тепловыми потоками. Согласно гипотезе Фурье, количество теплоты δW, проходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени dτ, пропорционально температурному градиенту:

Минус в правой части математической записи закона учитывает разнонаправленность векторов теплового потока и градиента температуры.

Коэффициентом пропорциональности в данном уравнении служит коэффициент теплопроводности – это важный тепло-

физический параметр вещества, характеризующий его способность проводить теплоту. Согласно (1.7) коэффициент теплопроводностичисленноравен плотноститепловогопотокаприединич-

Коэффициент теплопроводности определяется экспериментально и зависит от множества факторов:

•температуры;

•давления;

11

•влажности;

•природы тела (однородное или неоднородное, изотропное или анизотропное и т.д.).

Большинство методов экспериментального определения теплопроводности основано на измерении теплового потока и градиентатемпературвисследуемомвеществе. Коэффициенттеплопроводности при этом определяется из соотношения (1.8).

Ниже приведен порядок значений коэффициентов теплопроводности различных материалов, Вт/(м К):

•0,05–0,1 – строительные теплоизоляционные материалы;

•1–10 – пластмассы;

•20–50 – железо, стали;

•393 – медь;

•410 – серебро.

Материалы с низким значением коэффициента теплопроводности [меньше 0, 25 Вт/(м К)], применяемые для тепловой изоля-

ции, называются теплоизоляционными.

Коэффициент теплопроводности зависит от температуры. Экспериментальные измерения теплопроводности показывают, что для большинства материалов с достаточной для практики точностью зависимость коэффициента теплопроводности от температуры можно принять линейной:

где 0 – значение коэффициента теплопроводности материала при температуре t0 ; b – постоянная, определяемая при обработке дан-

ных экспериментального исследования теплопроводности для данного материала.

Наиболее трудоемок процесс определения коэффициента теплопроводности для газов, так как для данных сред очень сложно избежать тепловых явлений, связанных с конвективным теплообменом. Тем не менее для большинства газов, используемых на практике, были получены численные значения коэффициента

12

теплопроводности в зависимости от параметров состояния, а также были выведены некоторые зависимости на основе статистической обработки данных.

Так, например, для приближённого нахождения коэффициента теплопроводности чистого (однокомпонентного) газа можно использовать следующую формулу:

где k – показатель адиабаты; μ – коэффициент динамической вязкости, Па с; – изохорная теплоемкость, Дж/(кг К).

В формуле (1.10) учитывается природа, структура и количество степеней свободы молекул газа, а также его реологические характеристики.

Теплопроводность газов изменяется в пределах 0,006...

...0,1 Вт/(м К) и с ростом температуры увеличивается.

Для смесей газов использовать подобные зависимости нельзя – для данных сред закон аддитивности неприменим. То есть расчет теплопроводности с учетом массовых или объемных долей, как, например, для удельной газовой постоянной, приведёт к значительным погрешностям. Поэтому коэффициент теплопроводности для газовых смесей чаще всего измеряется в ходе экспериментов либо применяются более сложные эмпирические формулы.

Несколькопрощетеплопроводностьопределяетсядляжидкостей, так как их вязкость существенно выше, и быстрое развитие конвекции затруднено. Коэффициент теплопроводности жидкостей лежит в пределах от 0,07 до 0,7 Вт/(м К). Опыты показывают, что для большинства жидкостей с повышением температуры коэффициент теплопроводности убывает, исключение составляют вода и глицерин.

Для изотропной однородной среды коэффициент теплопроводности const и одинаков по направлениям осей координат, а в неоднородной среде в зависимости от температуры его

13

значение x, y,z может быть принято в соответствии с фор-

мулой (1.9). В большинстве практических случаев значение коэффициентатеплопроводности такжеможет быть принято средним в рассматриваемом диапазоне температур.

Для кристаллов и некоторых искусственных материалов, например композитов, теплопроводность зависит от направления

(анизотропия теплопроводности). Для таких материалов коэффи-

циент теплопроводности в общем случае представляет собой тензор второго ранга:

Физически здесь λij означает теплопроводность среды в направленииi приградиентетемпературывнаправлении j. Тензор (1.11) является симметричным тензором, то есть выполняются условия i j j i .

Для ортотропных тел, имеющих различную теплопроводность в трех взаимно перпендикулярных направлениях, тензор теплопроводности при соответствующем выборе направлений осей координат имеет шаровой вид:

Кроме того, существует довольно большой класс пористых теплоизоляционных материалов и сред. Учитывая, что в порах таких материалов содержится газ, теплопроводность таких тел приобретает зависимость и от природы этого газа, и от окружающей среды. Например, при увеличении влажности теплопроводность таких тел начнет существенно возрастать. Одно из объяснений данного эффекта – наличие капиллярного движения атмосферной

14

влаги внутри пористого материала. Другой пример – рост теплопроводности пористого материала при повышении температуры по причине роста теплопроводности газа, заполняющего поры. Большоевлияниенатеплопроводностьоказываетиплотностьданных тел. Чем она выше, тем меньше поры, а значит, больше основного материала, из которого состоит пористое тело. А теплопроводность твердых тел, как правило, в разы больше теплопроводности газов.

1.3. Общая постановка задачи теплопроводности. Дифференциальное уравнение Фурье

Закон Фурье устанавливает лишь мгновенную связь между градиентами температуры и возникающими тепловыми потоками в каждой точке исследуемой области в данный момент времени. В общем случае в телах произвольной формы при нестационарном тепловом режиме температурное поле изменяется в пространстве и времени, поэтому для решения задачи теплопроводности, т.е.

определения зависимости q q x, y,z, , необходимо знатьфунк-

Дляполученияфункциональнойзависимости(1.13) используется общий метод математической физики, когда из всего пространства рассматривается лишь элементарный объем, все процессы в котором происходят за малый отрезок времени. Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением исследуемого процесса. Интегрируя дифференциальное уравнение, можно получитьаналитическую зависимость между величинами для всей расчетной области в течение всего времени протекания процесса. Функция температурного поля (1.13) является интегралом решения дифференциального уравне-

ния теплопроводности.

15

Впервые вывод дифференциального уравнения теплопроводности был предложен М.В. Остроградским в 1830 г. В основу вывода положен закон сохранения энергии в следующей формулировке: количество теплоты dW, полученное элементарным объемом извне за время dτ в процессе теплопроводности (а также от внутренних источников теплоты), равно изменению внутренней энергии или энтальпии объема (соответственно для изохорного или изобарного процессов теплообмена).

При выводе приняты следующие допущения:

•тело сплошное, однородное, изотропное;

•физические параметры (свойства) тела постоянны;

•в теле нет внутренних источников и стоков теплоты;

•тело неподвижное, перенос теплоты осуществляется только посредством теплопроводности;

•деформация объема, связанная с изменением температуры, пренебрежимо мала.

∆

∆

∆

Рис. 1.3. Расчётная схема

16

Закон сохранения энергии в процессе передачи тепла теплопроводностью сформулируем для элементарного объема тела (параллелепипеда) с размерами dx,dy,dz (рис.1.3).

Пусть теплота подводится к выделенному объему в положительном направлении осей. При этом будем предполагать, что процесс теплообмена происходит при постоянном давлении. Разность ∆ между вошедшим в объем количеством теплоты за время dτ и вышедшим из него за то же время через противоположнуюграньповсемтрёмнаправлениямравнаизменениюэнтальпии элементарного объема.

Рассмотрим процесс передачи тепла в направлении оси . В соответствии с законом Фурье теплота, подведенная к объему за время dτ, запишется как

где – площадь грани.

Количество теплоты, вышедшее через противоположную грань, запишется так:

Примем, что температура в пределах элементарного объема изменяется линейно от температуры t на левой грани до темпера-

Количество теплоты Wx, затраченное на изменение энтальпии элементарного объема, равно разности между (1.14) и (1.16):

17

где dV = dxdydz – объем параллелепипеда.

Аналогичные соотношения можно получить для передачи теплоты по направлениям и .

Тогда суммарное количество теплоты W, затраченное на изменение энтальпии объема, будет равно сумме изменений по каждому направлению:

С другой стороны, за тот же промежуток времени энтальпия

где dm = ρ dV – масса элементарного объема; ср – изобарная теплоемкость.

Предполагая, что температура объема за промежуток времени

Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности. Размерность уравнения (1.21) Вт/м3.

18

Часто уравнение записывают в размерности К/с:

эффициент температуропроводности характеризует скорость изменения температуры элементарного объема в нестационарных процессах теплопроводности.

При стационарном тепловом режиме частная производная температуры по времени в левой части уравнения (1.22) равна нулю, и уравнение примет вид

В случае, когда в исследуемой области действуют внутренние источники теплоты (например, джоулево тепло при пропускании электрического тока по проводнику), энтальпия элементарного объема изменяется как за счет проходящих через объем тепловых потоков (1.18), так и за счет теплоты источников q :

где q – мощность внутренних источников теплоты, Вт/м3.

Дифференциальное уравнение теплопроводности может быть записано с учетом анизотропии теплопроводящих свойств вещества. В этом случае, считая тело ортотропным, можно записать

Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси Оx, Oy, Oz определяются выражениями

19