книги / Теоретические основы теплотехники. Теория теплообмена
.pdfтах ядерного реактора и т.д. Процессы, связанные со сменой агрегатного состояния, сопровождаются как подводом, так и отводом теплоты.
Рассмотрим процессы стационарной теплопроводности в телах простейшей формы при объемном тепловыделении, когда внутренние источники теплоты мощностью qV в размерности Вт/м3 равномерно распределены по объему тела и постоянны во времени.
1.7.1. Плоская стенка с внутренними источниками теплоты и граничными условиями первого рода
Пусть в неограниченной плоской стенке толщиной 2 действуют внутренние источники теплоты qV (рис. 1.16). Поверхности стенки имеют одинаковые температуры tw (граничные условия первого рода). Материал стенки изотропный с коэффициентом тепло-
|
проводности λ = const. Зада- |
|||||
|
ча |
является |
одномерной, |
|||
|
тепловые |
потоки |
распро- |
|||
|
страняются вдоль оси х в |
|||||
|
направлении обеих поверх- |
|||||
|
ностей. |
Требуется |
найти |
|||
|
температурное поле в стенке |
|||||
|
t(x) и распределение тепло- |
|||||
|
вых потоков q(x). |
|
||||
|
|
При одинаковых темпе- |
||||
|
ратурах поверхностей стен- |
|||||
|
ки |
поле |
температур будет |
|||
Рис. 1.16. Плоская стенка |
симметричным |
относитель- |
||||
но плоскости симметрии x = |
||||||
с внутренними источниками |
||||||
теплоты и граничными |
= 0, поэтому в качестве рас- |
условиями первого рода
50
четнойобластиможнорассматриватьтолькооднуполовинустенки, например правую. На границе x = 0 температура достигает макси-
мального значения tmax, а производная ddxt 0 . Поскольку значение
tmax неизвестно, в качестве граничного условия при x = 0 используется равенство нулю производной температуры (т.е. граничное условие второго рода с нулевым тепловым потоком). Таким образом, математическая формулировка задачи будет иметь вид
d 2t |
|
q |
0; |
|
||
|
|
V |
|
|||
d x2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 : |
|
d t |
|
0; |
(1.104) |
|
|
d x |
|||||
|
|
|
|
|
x : t tw .
После интегрирования дифференциального уравнения получим
|
d t |
qV x C ; |
|
|
(1.105) |
|||
|
|
|
|
|||||
|
d x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t x |
q x |
2 |
|
|
. |
(1.106) |
||
V |
C x C |
2 |
||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Константы интегрирования С1 и С2 определяем из граничных условий. При х = 0 из выражения (1.105) находим С1 = 0; при х = δ из выражения (1.106) находим
C2 tw q2V 2 .
Подставляя найденные константы интегрирования в (1.106), находим частное решение задачи:
t x tw |
qV |
2 x2 . |
(1.107) |
|
2 |
||||
|
|
|
51
Функция температурного поля в расчетной области представляет собой квадратичную параболу с максимальным значением температуры при х = 0:
tmax tw |
q 2 |
. |
(1.108) |
|
V |
||||
2 |
||||
|
|
|
Плотность теплового потока определяется по закону Фурье:
q x |
d t |
|
|
qV x |
q x . |
(1.109) |
|
|
|
||||||
|
d x |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
На поверхностях стенки плотность тепловых потоков будет равна:
q qV . |
(1.110) |
1.7.2. Сплошной цилиндр с внутренними источниками теплоты и граничными условиями первого рода
Рассмотрим сплошной цилиндр, диаметр которого мал по сравнению с длиной. Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему тела и не зависят от времени. Поверхность цилиндра радиусом r0 имеет постоянную температуру tw . Материал цилиндра изотропный с коэффициентом теплопроводности λ = const. Как и в предыдущем случае, задача является одномерной и симметричной, а температура будет изменяться только по радиусу. Требуется найти температурное поле в цилиндре t(r), распределение плотности тепловых потоков q(r) и погонный тепловой поток ql с поверхности цилиндра в окружающую среду.
Граничные условия задаются на оси симметрии цилиндра r 0 и на поверхности r r0 . Математическая формулировка задачи будет иметь вид
52
d |
2 |
t |
|
1 dt |
qV |
|
1 d |
|
|
d t |
|
|
qV |
0; |
|||
|
|
|
|
r |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d r |
2 |
r d r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
r d r |
d r |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
r 0: |
|
dt |
0; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
d r |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r0: t tw .
Интегрируя дифференциальное уравнение, получим r ddrt 2qV r2 С1 ;
t r 4qV r2 С1 ln r C2 .
(1.111)
(1.112)
Определяя константы интегрирования из граничных условий,
находим С1 = 0; |
C2 |
tw |
q r2 |
|
|
|
V 0 . |
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
Тогда частное решение задачи будет выглядеть так: |
|
|||||
|
|
t r tw |
qV |
r02 r2 . |
(1.113) |
|
|
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
Как и в предыдущем случае, распределение температуры представляет собой квадратичную параболу с максимальным значением температуры на оси симметрии:
tmax |
tw |
q |
r2 |
|
|
|
|
|
||||
|
V |
0 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
Плотность теплового потока |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
q r |
d t |
|
|
|
|
q r |
|
q |
(1.114) |
|||
|
|
|
|
V |
|
|
V |
r , |
||||
d r |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
а на поверхности цилиндра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
q |
qV |
r . |
|
|
|
|
|
(1.115) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Погонный тепловой поток с наружной поверхности r = r0
q |
2 r |
qV r |
r2q . |
(1.116) |
l |
0 |
2 0 |
0 V |
|
53
1.7.3. Плоская стенка с внутренними источниками теплоты и граничными условиями третьего рода
Пусть неограниченная плоская стенка толщиной 2 омывается с обеих сторон теплоносителем с температурой tf (рис. 1.17). Внутренние источники теплоты qV равномерно распределены по объему тела и постоянны во
|
времени. Интенсивность теп- |
|
|
лообмена с окружающей сре- |
|
|
дой задана коэффициентами |
|
|
теплоотдачи α = const. Мате- |
|
|
риал стенки изотропный с ко- |
|
|
эффициентом |
теплопровод- |
|
ности λ = const. |
|
|
Задача, как и в предыду- |
|
|
щих случаях, является одно- |
|
|
мерной, тепловые потоки рас- |
|
|
пространяются вдоль оси х в |
|
Рис. 1.17. Плоская стенка |
направлении обеих поверхно- |
|
с внутренними источниками |
стей. Требуется найти темпе- |
|
теплоты и граничными |
ратурное поле в стенке t(x) и |
|
условиями третьего рода |
распределение |
тепловых по- |
токов q(x). Кроме этого, температура поверхностей стенки tw здесь неизвестна и подлежит определению.
Математическая формулировка задачи будет иметь вид
|
d 2t |
|
q |
|
0; |
|
|||
|
|
V |
|
|
|||||
|
d x2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 0: |
dt |
|
0; |
(1.117) |
|||||
d x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
x : q |
dt |
|
tw t f . |
|
|||||
d x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
54
Общее решение (1.106) дифференциального уравнения содержит постоянные интегрирования С1 и С2, подлежащие определению. Константа С1 = 0 в соответствии с (1.105), а постоянную С2 и температуру поверхности tw, используя второе граничное условие и с учетом выражения (1.110), найдем из решения системы уравнений
qV tw t f ;
tw qV 2 C2 .
2
Решая систему, получим
C |
t |
|
|
q |
|
q 2 |
; |
||||
|
V |
V |
|||||||||
|
2 |
|
|
f |
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
w |
t |
f |
|
|
qV |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда частное решение задачи будет иметь вид
t x t f qV |
|
qV |
2 x2 , |
|
2 |
||||
|
|
|
(1.118)
(1.119)
(1.120)
а функция плотности теплового потока и максимальная температура tmax будут рассчитываться следующим образом:
q x qV x; |
|
|
|
||
tmax t f |
qV |
qV |
2 |
. |
(1.121) |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
55
1.7.4. Сплошной цилиндр с внутренними источниками теплоты и граничными условиями третьего рода
Рассмотрим длинный сплошной цилиндр ( |
|
), внутренние |
|
источники теплоты в котором равномерно |
распределены по объ- |
||
|
|
|
ему тела и не зависят от времени. Заданы коэффициент теплоотдачи α и температура окружающей среды tf. Материал цилиндра изотропный с коэффициентом теплопроводности λ = const. Требуется найти температурное поле в цилиндре t(r), распределение плотности тепловых потоков q(r) и погонный тепловой поток ql с поверхности цилиндра в окружающую среду.
Математическая формулировка задачи будет иметь вид
|
d |
2 |
t |
|
1 |
dt |
qV |
|
|
1 d |
|
|
|
dt |
|
|
qV |
0; |
|||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
d r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
r d r |
|
|
|
|
|
r d r |
|
d r |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 0: |
|
d t |
|
0; |
|
|
|
(1.122) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d r |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
r r0: q |
dt |
tw t f . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
После первого ивторого интегрированиядифференциального |
|||||||||||||||||||||||||||
уравнения получим |
|
|
|
|
|
|
|
qV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r |
d t |
|
|
r2 |
С ; |
|
|
|
(1.123) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d r |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
t r |
qV |
r2 С ln r C |
2 |
. |
|
(1.124) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражений (1.123) и (1.122) при r 0 следует, что С1 = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||
а при r r0 с учетом (1.116) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
q qV r0 |
tw t f , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tw t f |
qV r0 . |
|
2 |
56
Подставляя последнее выражение в (1.124), находим константу С2,
C2 t f |
q r |
|
q r2 |
V 0 |
V 0 . |
||
|
2 |
|
4 |
Частноерешение задачиполучим, подставляя С1 иС2 в (1.124):
t r t f qV r0 |
|
qV |
r02 r2 . |
(1.125) |
|
4 |
|||||
2 |
|
|
|
Температура tmax на оси цилиндра ( r 0 )
t |
|
t |
|
qV r0 |
|
qV |
r2 . |
(1.126) |
|
|
|
|
|||||||
|
max |
|
f |
2 |
|
4 0 |
|
|
|
Полныйтепловойпотоксповерхностицилиндрадлинойl рас- |
|||||||||
считывается так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q q F qV r 2 r l q |
r2l , |
(1.127) |
|||||||
|
|
|
2 0 |
0 |
|
V |
0 |
|
|
а погонный поток |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
q r2 . |
|
|
(1.128) |
|||
|
|
|
l |
V |
0 |
|
|
|
|
57
2. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
Под конвекцией понимают процесс переноса массы вещества приперемещениив пространствемакрообъемовподвижнойсреды (например, жидкости, газа). Переносмассыпрактическивсегдасопровождаетсяпереносом энергии. Приконвекциитеплотымакрообъемы, содержащиебольшоеколичествомолекул, аккумулируют за счет своей теплоемкости теплоту в более нагретой части пространства и переносят ее в менее нагретую часть. Здесь «горячий» объем, соприкасаясь с окружающими его «холодными» объемами, передает им теплоту за счет теплопроводности.
Совместный процесс переноса теплоты конвекцией и тепло-
проводностью называется конвективным теплообменом.
Физическая причина возникновения конвекции – наличие неоднородного поля давлений в текучей среде. В зависимости от того, каким образом создается разность давлений, различают кон-
векцию вынужденную и свободную (естественную). При вынуж-
денной конвекции разность давлений создается искусственно (вентиляторы, насосы). В условиях свободной конвекции движение среды обусловлено разностью плотностей в среде, вызванной, вчастности, неоднородностью температурного поляилиполяконцентраций (концентрационная конвекция). Свободная конвекция возможна только в поле массовых сил (гравитационном, поле электромагнитных сил, силакустическогодавленияит.д.). Например, в областях с неоднородным полем температур при наличии гравитации свободная конвекция возникает за счет архимедовой подъемной силы (термогравитационная конвекция).
В общем случае вместе с вынужденным движением может развиваться и свободное. Такая конвекция называется смешанной.
58
При больших скоростях вынужденного движения влияние свободной конвекции обычно становится пренебрежимо малым.
Процесс конвективного теплообмена, как и теплопроводности, можетбытьстационарныминестационарным. Встационарномпроцессе поля температур и скоростей перемещения среды не изменяются во времени, внестационарном– изменяются во времени.
Одной из основных задач конвективного теплообмена является исследование теплоотдачи – теплообмена между потоками теплоносителя (жидкости или газа) и поверхностью омываемого твердого тела (стенки).
При расчетах теплоотдачи используют закон Ньютона–Рих- мана. Он может быть записан в разных размерностях:
|
W dF d tw t f , Дж ; |
|
|||||||
|
dQ |
W |
dF tw t f |
, Вт ; |
(2.1) |
||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
dQ |
|
|
|
Вт |
|
||
|
dF |
tw t f , |
м |
2 , |
|
||||
|
|
|
|
α |
|
|
|
||
где W – количество |
теплоты; |
– |
коэффициент теплоотдачи |
||||||
[Вт/(м2 |
К)]; |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
температурный напор – разность между |
||||||
температурой стенки |
∆ и температурой теплоносителя |
; – пло- |
щадь поверхности теплообмена [м2]; τ – время теплообмена [с]. Закон устанавливает связь между количеством теплоты, под-
водимым к телу либо отводимым от него, и температурным напором. Связь между этими величинами осуществляется с помощью коэффициента теплоотдачи α. Он учитывает конкретные условия процесса теплоотдачи, влияющие на его интенсивность. Из уравнения Ньютона–Рихмана имеем
|
Q |
|
q |
. |
(2.2) |
F t |
|
||||
|
|
t |
|
Из этого выражения следует физический смысл α: коэффициенттеплоотдачихарактеризуетинтенсивностьтеплообменамежду поверхностью тела и теплоносителем и численно равен плотности теплового потока при единичном температурном напоре.
59