книги / Теоретические основы теплотехники. Теория теплообмена

При наличии в области теплоносителя внутренних источников

2.4.2. Уравнение движения

Строгий вывод дифференциального уравнения движения для вязкой жидкости достаточно сложен и подробно рассматривается в курсах гидродинамики, поэтому рассмотрим упрощенный вариант: выведем уравнение для одномерного течения несжимаемой жидкости. Присохраненииобщихфизическихпредставленийорассматриваемомявлении такойподходоказывается болеенаглядным.

Уравнение движения представляет собой второй закон Ньютона, записанный для элементарного объема подвижной среды:

70

нием от стенки скорость изменяется в соответствии с приведенной эпюрой.

На выделенный элементарный объем действуют три силы: сила тяжести dfg, силы давления dfр, силы вязкого трения dfs. Найдем проекции этих сил на ось х.

Сила тяжести равна произведению проекции ускорения свободного падения gx на массу элементарного объема:

Силы давления dfр в потоке жидкости действуют на верхнюю и нижнюю грани элемента, площадь которых dy·dz. Равнодействующая этих сил равна алгебраической сумме:

d fp [p (p p)] dy dz p dy dz.

Предполагая, что давление внутри элемента изменяется линейно, разность давлений р определяем с точностью до второго члена разложения в ряд Тейлора:

p dpdx dx .

Тогда

Силы вязкого трения dfs действуют на боковые грани элемента, площадь которых dx·dz. Вблизи левой грани скорость движения жидкости в соответствии с эпюрой скоростей меньше, чем в элементе, поэтому сила трения на этой грани направлена против движения. На противоположной грани скорость движения жидкостибольше, исилатрениянаправленавсторонудвижения. Результирующая сила равна алгебраической сумме:

71

Сила трения S обусловлена возникновением касательных напряжений между соседними слоями жидкости, движущимися с различной скоростью, и зависит от разницы этих скоростей, то естьотградиентаскоростивнаправлении, перпендикулярномдвижению. Для различных жидкостей в зависимости от свойств законы трения могут быть разными. Большинство капельных жидкостей, а также газы подчиняются закону трения Ньютона (ньютоновские жидкости). В соответствии с этим законом сила вязкоготренияS, отнесеннаякединицеплощадиповерхноститрения, для нашей задачи рассчитывается следующим образом:

где μ – коэффициент пропорциональности, называемый динамической вязкостью, Па·с. Его величина является физической характеристикойжидкостииопределяетсяопытнымпутем. Врасчетахиспользуют также кинематическую вязкость, равную отношению динамической вязкости к плотности жидкости:

, м2 .

с

ИспользуязаконтренияНьютона, атакжепредполагаялинейное изменение силы S в направлении оси y в пределах элементарного объема, выражение (2.25), приведем к виду

Суммируя (2.23), (2.25) и (2.26), находим равнодействующую всех сил, приложенных к элементарному объему:

72

Согласно второму закону Ньютона (2.22), полученная сумма сил равна произведению массы элемента на его ускорение:

Производя сокращения, окончательно получаем дифференци-

альное уравнение движения в проекции на ось х:

В общем случае трехмерного течения несжимаемой жидкости для нахождения поля скоростей необходимо решить три уравнения для каждой компоненты скорости и проекции сил на оси x, y, z. С учетом того, что левая часть уравнения (2.27) содержит полную производную от скорости по времени, система уравнений движения будет иметь вид

Уравнения (2.28) называют уравнениями Навье – Стокса. Все слагаемые в уравнениях имеют размерность силы, отнесенной к единице объема (Н/м3). Компоненты вектора скорости wx, wy, wz в общем случае при нестационарном течении изменяются как во

времени, так и в пространстве. Производные wi в левой части

уравнений характеризуют изменение скорости со временем в локальных точках исследуемой области течения. Они имеют смысл

73

(иприсутствуютвуравнениях) только приисследованиинестаци-

инерции при нестационарном движении жидкости. Остальные слагаемые в скобках характеризуют изменение скорости в пространстве, т.е. при переходе от точки к точке. Эти слагаемые сохраняются в уравнениях и при стационарном течении.

2.4.3. Уравнение сплошности

Уравнения (2.28) содержат еще одну неизвестную величину – плотность жидкости ρ, поэтому к уравнениям движения и переноса энергии нужно добавить еще одно уравнение. Этим уравнением является дифференциальное уравнение сплошности или не-

разрывности течения.

В каждой точке подвижного теплоносителя плотность жидкости в общем случае может изменяться как во времени, так и в пространстве (от точки к точке) в зависимости, например, от температурного поля в области течения. В основу вывода уравнения сплошности положен закон сохранения массы для неподвижного элементарногообъемаразмерамиdx, dy, dz, находящегосявпотоке движущейся жидкости. В общем случае для подвижных сред с переменной плотностью уравнение будет иметь вид (вывод здесь не приводится):

Произведение w называют массовой скоростью. Плотность

несжимаемой жидкости остается постоянной, и уравнение (2.29) упрощается:

Это уравнение называют еще уравнением несжимаемости.

74

Общим решением связанной системы дифференциальных уравнений (2.21), (2.28) и (2.29) будут поля температур и скоростей, определенные с точностью до констант интегрирования. В этом смысле при интегрировании системы уравнений может бытьполученомножестворазличныхрешений, т.е. даннаясистема уравнений является математической моделью целого класса явлений. Для получения частного решения задачи (исследования единичногоявления) системауравненийдолжнабытьдополненаусло-

виями однозначности (см. подразд. 1.4).

Система дифференциальных уравнений вместе с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку краевой задачи.

Вкачествеграничныхусловийдляуравненияэнергиииспользуются те же условия, что и для решения задачи теплопроводности

втвердыхтелах. Дляуравнениядвижениянаграницахзадаютсячисленные значения искомыхфункцийилиих первых производных.

Взаключение следует отметить, что решение система дифференциальныхуравненийконвективноготеплообменапредставляет собой весьма сложную задачу. Аналитическое решение таких задач не обеспечивает требуемой точности, а в большинстве случаев приводит к непреодолимым трудностям. В настоящее время связанные задачи теплообмена достаточно эффективно решаются

с использованием численных методов расчета, реализованных в различных пакетах прикладных программ.

2.5. Основы теории подобия

Теория подобия – это учение (математическая теория) о подобии физических явлений. Понятие подобия впервые встречается в курсе геометрии при определении подобия геометрических фигур. Как известно, геометрические фигуры, например прямоугольники, будут подобны, если отношения их сходственных сторон равны постоянной величине:

75

где Cl – коэффициент пропорциональности, называемый константойгеометрическогоподобия. Поаналогииможноутверждать, что подобны треугольники, у которых сходственные углы равны, а отношение размеров сторон равно Cl, подобны все окружности и т.д.

Условие (2.31) является математической формулировкой геометрического подобия и справедливо как для любых отрезков подобных фигур, так и для координат точек:

Точки геометрически подобных фигур, удовлетворяющие условию (2.32), называются сходственными.

Понятие подобия можно распространить и на физические явления. Например, можно говоритьо тепловомподобии, если в геометрически подобных областях картины распределения температур и тепловых потоков подобны; подобными могут быть картины течения потоков жидкости в области (кинематическое подобие) и т.д. О физическом подобии можно говорить только применительно к явлениям одной природы, которые описываются уравнениями, одинаковыми по форме и содержанию. Если же математическое описание явлений одинаково по форме, но различно по физическому содержанию, то такие явления называют аналогичными. Например, законы Фурье

q grad t

и Ома

j grad

математическизаписываютсяодинаково, ноприродаэтихявлений различна. В частности, эта аналогия положена в основу метода экспериментального исследования тепловых полей в геометриче-

ски сложных областях (электротепловая аналогия).

76

Конвективный теплообмен описывается системой дифференциальных уравненийиусловиямиоднозначности(математическая модель) с большим количеством переменных. Для выполнения условий физического подобия по аналогии с (2.31) необходимо, чтобы в двух геометрически подобных областях во всех сходственных точках отношения одноименных физических величин были постоянными числами:

Постоянные Сφ называются константами физического подо-

бия. Для каждой из величин эти константы имеют своё численное значение и содержат соответствующий индекс. Например, Сw – константа подобия скорости, Сt – константа подобия температуры и т.д. Необходимое количество констант определяется математической моделью процесса.

Для нестационарных задач вводят понятие временного подо-

бия и сходственных моментов времени. Это такие моменты вре-

мени, когда в геометрически и физически подобных системах наступают одинаковые события (например, установление стационарного режима теплообмена).

Таким образом, подобными называются физические явления, протекающие в геометрически подобных областях и для которых во всех сходственных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных величин есть постоянные числа.

При исследовании физических явлений используются два метода – экспериментальный и теоретический. Эксперимент позволяет получить наиболее достоверные количественные результаты, но они не могут быть использованы для анализа другого явления, которое в деталях отличается от исследуемого. В этом случае можно говорить лишь об исследовании единичного явления.

77

Системадифференциальныхуравненийконвективноготеплообмена описывает целый класс явлений. При выводе уравнений используются наиболее общие законы, являющиеся результатом широкого обобщения опытных данных. Интегрирование системы уравнений позволяет получить множество решений. Для выделения из этого множества частного решения задачи (единичного явления) систему уравнений необходимо дополнить размерными условиями однозначности. Система дифференциальных уравнений вместе с условиями однозначности представляет собой математическую модель исследуемого процесса. Решение данной краевойзадачиболееинформативнопосравнениюсрезультатамифизического эксперимента. Однако математические модели процессов конвективного теплообмена могут содержать различное число уравнений и достаточно сложны в реализации.

В теории подобия используется другой подход к исследованию разнообразных физических явлений. Вводится понятие группыявлений, описываемыхматематическоймоделью, содержащей одинаковые по форме и содержанию дифференциальные уравнения и условия однозначности. Физические процессы, входящие в группу подобных явлений, будут отличаться только численными значениями величин в размерных условиях однозначности. В этом смысле группа явлений уже понятия класса, но шире понятия единичного явления. Вместе с тем такая математическая модель, сформулированная в размерном виде, вновь будет описывать лишь единичный случай изучаемого явления и содержать большое число независимых переменных. Представление ее в безразмерном виде во многих случаях позволяет их количество существенно уменьшить. Безразмерная форма дифференциальных уравнений и условий однозначности содержит безразмерные комплексы, составленные из размерных физических величин и называемые числами подобия. Их можно рассматривать как новые переменные. Они отражают влияние не только отдельных факторов,

78

но и их совокупности, что позволяет проще установить связи между величинами, характеризующими исследуемый процесс. Частное решение системы безразмерных уравнений будет справедливым для всей группы подобных явлений.

Числа подобия в уравнениях не могут иметь произвольных значений, для каждого исследуемогопроцесса между ними существуют вполне определенные связи. В соответствии с методом теории подобия результаты исследования нужно представлять не в размерном виде, а в виде определенной зависимости между числамиподобия, которыесодержитматематическаямодельпроцесса. Числа подобия изучаемого явления, включающие известные элементы условий однозначности, количественно могут быть найдены уже на стадии постановки задачи, то есть без интегрирования системы уравнений. Их называют определяющими числами или критериями подобия. Числа подобия, содержащие неизвестные (искомые) физические величины, называются опре-

деляемыми.

Длягруппыподобныхявленийтеорияподобияпозволяетобъединить достоинства экспериментального и теоретического методов исследования. Связь между определяемыми и определяющими числами подобия может быть установлена как из решения краевой задачи, так и из физического эксперимента. В последнем случае результаты эксперимента должны быть представлены в критериальном виде. В итоге получают зависимости вида

где К1 – определяемое число подобия; Кi – определяющие числа. Такие зависимости называются критериальными уравнениямиили уравнениями подобия. Функция f обычно представляет собой ка- кую-либо алгебраическую функцию, вид которой определяется в процессе статистической обработки экспериментальных или расчетных данных. Представление результатов исследования

79