книги / Теоретические основы теплотехники. Теория теплообмена

20

1.4. Условия однозначности

Полученное дифференциальное уравнение описывает целый классявленийтеплопроводности. Интегрированиеуравнения позволяет получить лишь общее решение задачи теплопроводности, а искомая функция температурного поля будет определена лишь с точностью до констант интегрирования. Для получения частного решения конкретной задачи необходимо сформулировать частные особенности изучаемого явления, называемые условиями однозначности. Эти условия совместно с дифференциальным уравнением дают полную математическую модель конкретного процесса теплопроводности.

Кусловиям однозначности относят:

•геометрические условия – набор условий и параметров, характеризующих форму и размеры исследуемого тела;

•физические условия – параметры, характеризующие теплофизические свойства тела, а также окружающей среды;

•начальные условия – распределение температуры в исследуемой области в начальный момент времени. Этот вид условий используется только при решении нестационарных задач;

•граничные условия – условия теплообмена с окружающей средой на физических границах тела.

Конкретный вид функции температуры (частное решение) требует поиска констант интегрирования с помощью начальных и граничных условий.

Начальные условия в общем случае аналитически могут быть записаны следующим образом:

В случае однородного распределения температуры в теле начальное условие упрощается:

21

Граничные условия. Для уравнения теплопроводности существует несколько способов задания граничных условий, их необходимо рассмотреть подробнее.

Граничные условия первого рода

Данный вид условий в общем случае задает изменение температуры во времени, на соответствующей границе Г:

Вчастном случае, когдатемпературанагранице телаостается постоянной в течение всего процесса (изотермические условия), температура границы – константа:

Это наиболее простой вид граничных условий.

Граничные условия второго рода

Этот тип граничных условий называют потоковыми или градиентными. На границе области задается значение теплового потокаили градиента температуры(всоответствии сзаконом Фурье) в общем случае в зависимости от времени:

qfq ; t fq . (1.32)

Гn Г

Вчастном случае, когда тепловой поток на границе не изменяется во времени

Из математики известно, что для дифференциального уравнения второго порядка в качестве граничных условий могут быть заданы значения функции на границе или ее производной. Задание навсехграницахобластизначенияпроизводнойнепозволитнайти частного решения уравнения, так как будет определена только одна константа интегрирования. В нашем случае при задании условий (1.33) на всех границах физически это будет означать, что значение температуры внутри области может быть самым

22

произвольным, лишь бы величина градиента температуры на границе оставалась постоянной (рис.1.5), а при нагреве стенки постоянным тепловым потоком ее температура со временем должна будет расти до бесконечности.

среда

α arctan

α arctan

тело

Рис. 1.5. Граничные условия второго рода

Частным случаем граничных условий второго рода является равенство нулю теплового потока на границе исследуемой области (так называемая адиабатная граница). Эта ситуация встречается, например, при задании граничных условий на оси (или плоскости) симметрии. В этом случае угол на рис.1.5 равен нулю.

Граничные условия третьего рода

Эти условия называют еще условиями конвективного теплообмена, так как в основу положен основной закон теплоотдачи Ньютона – Рихмана:

где tw – температура поверхности тела; tf – температура окружаю-

щей среды; α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 К).

23

Теплоотдачей называют процесс теплообмена между поверхностью тела и подвижным теплоносителем (окружающей средой). Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Он численно равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности тела в единицу времени при разности температур tw t f 1 C . Коэффициент теплоотдачи зависит

от множества факторов и должен быть предварительно определен каким-либо способом, но при решении задач теплопроводности его значение должно быть задано. Кроме коэффициента теплоотдачи в уравнении (1.34) должна быть задана температура окружающей среды (теплоносителя) tf . Температура стенки tw здесь неизвестна и находится в ходе решения задачи.

Уравнение (1.34) представляет собой уравнение баланса энергии на границе тела: тепловой поток, который подводится к границе тела за счет теплопроводности, должен быть равен потоку, отводимому в окружающую среду вследствие теплоотдачи. При решении нестационарных задач теплопроводности уравнение (1.34) должно выполняться в любой момент времени.

Граничные условия четвертого рода

Этотвидграничных условий называетсяконтактными условиями или условиями сопряжения, так как он используется в задачах теплообмена между твердыми телами, когда тела находятся в тепловом и механическом контакте друг с другом. При этом из-за шероховатости поверхностей контакт может быть неплотным, т.е. образуетсянекоторый зазор δ, заполненный, например, воздухом (рис. 1.6). Тепловое сопротивление зазора называ-

ется контактным термическим сопротивлением. Наличием этого сопротивления обусловлена разность температур t на границе раздела двух сред. Величина сопротивления зависит от различных факторов и трудно поддается расчету, однако при задании граничного условия контактное сопротивление должно быть известно. В случае, когда контактное сопротивление пренебре-

24

жимо мало, т.е. t = 0, контакт считается идеальным. В частности, контакт считается идеальным, когда хотя бы одно из тел является пористым теплоизолятором.

В условиях четвертого рода имеет место равенство тепловых потоков q1 q1 q , проходящих через поверхность соприкосновения двух тел. В условиях идеального контакта

где Г1 и Г2 – соответственно границы тел 1 и 2.

ПриналичииконтактноготермическогосопротивленияRK равенство (1.35) необходимо дополнить уравнением

Рис. 1.6. Контактные граничные условия

25

1.4.1. Примеры решения дифференциального уравнения теплопроводности

Общим решением уравнения Фурье (как стационарного, так и нестационарного) является семейство функций температуры. При этом аналитически удается решить лишь некоторые классы задач. Рассмотрим их подробнее.

Одномерная стационарная задача

Примером данной задачи является, например, процесс нагрева длинного тонкого стержня. Примем, что теплота распространяется только в направлении длины стержня (направление , в этом случае уравнение теплопроводности (1.35) примет следующий вид:

где и – константы интегрирования.

Значениеконстант и получаютсиспользованиемграничных условий.

Одномерная нестационарная задача

Пустьтемпературноеполе встержне изменяетсясо временем. Тогда уравнение (1.37) примет вид

Данное уравнение является дифференциальным уравнением параболического типа, и его решение следует искать методом

26

разложения переменных. Для этого решение надо представить в виде произведения двух функций:

t x, T X x .

Тогда исходное уравнение (1.31) примет вид

где γ – характеристическое число уравнения.

После преобразований запишем обыкновенные дифференциальные уравнения:

T ' a 2T 0; X " 2 X 0.

Тогда общее решение дифференциальной задачи примет вид

Конкретный вид функции температуры (частное решение) требует поиска констант интегрирования с помощью начальных и граничных условий.

Двумерная стационарная задача

Ещё один класс задач, поддающихся аналитическому решению, описывается дифференциальным уравнением вида

Данный вид уравнения теплопроводности носит название «уравнение Лапласа» и представляет собой эллиптический тип дифференциальных уравнений. В качестве примера такой задачи

27

можно рассматриватьпроцесс нагрева тонкой прямоугольной пластины, когда отличны от нуля только две компоненты теплового

потока qx и qy.

Аналогично предыдущему примеру, решение также следует искать методом разделения переменных:

t x, y X x Y y .

Тогда уравнение (1.34) приводится к виду

XX" YY" 2 ,

авитогеполучаемдваобыкновенныхдифференциальныхуравнения:

X " 2 X 0;

(1.43)

Y" 2Y 0.

Решением уравнений (1.35) являются функции

X x c1 cos x c2 sin x ;

Y y c3 e y c4 e y ,

а общее решение задачи примет вид

Константы интегрирования с1 – с4 определяются из условий, заданных на границах пластины.

Приведённые здесь задачи являются одними из немногих, для которых строгое аналитическое решение возможно. Для решения других задач применяют численные методы, такие как:

•метод сеток (конечных разностей);

•метод контрольных (конечных) объемов (МКО);

•метод конечных элементов (МКЭ).

Внастоящее время наиболее предпочтительным методом решениязадач, связанныхстеплообменом, являетсяметодконечных

28

разностей и его развитие – метод контрольных объемов. В первую очередь это объясняется использованием при решении исходных дифференциальных уравнений, а не обобщённых вариационных принципов, как в МКЭ.

1.5. Задачи стационарной теплопроводности

Решение краевой задачи теплопроводности (в декартовой системе координат) сводится к нахождению двух функций:

, , , ;

, , ,

при заданных условиях однозначности. Здесь t – температура; q – удельный тепловой поток.

В общем случае (тело произвольной формы, нестационарный тепловой режим, переменные теплофизические свойства тела и т.д.) необходимо рассматривать дифференциальное уравнение теплопроводности. Однако для тел простой формы (пластина, цилиндр, шар) и стационарного теплового режима возможно получение решения непосредственно из основного закона теплопроводности – закона Фурье.

1.5.1. Теплопроводность однослойной плоской стенки

Рассматривается достаточно длинная плоскопараллельная пластина толщиной δ, с заданным коэффициентом теплопроводности λ const (рис.1.7). На поверхностях стенки заданы граничные условия первого рода с соответствующими значениями температур: и .

29