книги / Теоретические основы теплотехники. Теория теплообмена

Коэффициенттеплоотдачивобщемслучаеявляетсяфункцией процесса и зависит главным образом:

•от свойств теплоносителя и его температуры;

•от температурного напора;

•от скорости движения и режима течения теплоносителя;

•от вида конвекции;

•от геометрии тела и условий обтекания.

Всвязи с этим коэффициент теплоотдачи в отличие, например, от коэффициента теплопроводности не является теплофизической характеристикой вещества, и его значения не приводятся

всправочниках. При расчетах теплоотдачи по уравнению Нью- тона–Рихмана величина коэффициента теплоотдачи заранее неизвестна и должна быть определена каким-либо способом. Его величина определяется экспериментально или расчетным путем. Большое число факторов, от которых зависит численное значение коэффициента теплоотдачи, затрудняет его расчетную оценку. Здесь во многих случаях на помощь приходит теория подобия, позволяющая распространять результаты физических или численных экспериментов на группы подобных явлений.

Вобщем случае коэффициент теплоотдачи может изменяться по поверхности теплообмена, поэтому при расчетах используют понятия среднего по поверхности и местного (локального) коэф-

фициентов теплоотдачи.

2.1. Конвективный тепловой поток

Исходя из определения процесса теплоотдачи, тепловой поток, определяемыйпо законуНьютона– Рихмана, складываетсяиз двух слагаемых: конвективная составляющая потока qк итепловой поток за счет теплопроводности теплоносителя qт:

60

Тепловой поток, обусловленный теплопроводностью, определяется в соответствии с законом Фурье:

где λf – теплопроводность теплоносителя.

Для определения конвективной составляющей потока рассмотрим простой пример. Пусть в канал поперечным сечением F со скоростью w втекает теплоноситель плотностью ρ, теплоемкостью ср, температурой t (рис. 2.1). За время τ он продвинется по каналу на расстояние l и займет объем V = F · l = F · w · τ. Масса

61

Закон Ньютона – Рихмана (2.1) позволяет определить только абсолютную величину плотности теплового потока. Однако, поскольку плотность теплового потока является величиной векторной, она может быть определена по компонентам

qz wzcpt f zt .

t ft ( x, y,z, ) (в общем случае нестационарные). Эти функции

находят из решения системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена. Минимально она включает:

•уравнение переноса энергии в подвижной среде;

•уравнение неразрывности;

•уравнение движения вязкого теплоносителя. Математическаямодельоказываетсядостаточносложной, так

как поле температур и компоненты поля скоростей wx ,wy ,wz

должны быть найдены во всей области, занимаемой подвижным теплоносителем (трехмерная задача). Кроме того, уравнения системы являются взаимосвязанными и должны решаться совместно. Так, в частности, свойства теплоносителя – плотность, теплоемкость, вязкость и т.д. – зависят от температуры, и их величина определяется в зависимости от локальных значений температуры в исследуемой области. В свою очередь, температурное поле

вподвижном теплоносителе зависит от поля скоростей в области.

Внастоящее время система уравнений конвективного теплообмена наиболее эффективно решается с использованием численных методов. Выводу этих уравнений будет посвящен подраздел. 2.4.

62

2.2. Гипотеза пограничного слоя

Вместе с тем существует приближённый метод решения данной системы уравнений, позволяющий существенно её упростить. Он основывается на использовании теории пограничного слоя, разработанной Л. Прандтлем в 1904 г. В основу теории положена гипотеза о прилипании жидкости к стенке при движении теплоносителя вдоль нее. Вследствие действия сил вязкого трения вблизи поверхности образуется тонкий заторможенный слой жидкости, в пределах которого её скорость изменяется от нуля (на стенке) до скорости невозмущенного потока на удалении от стенки. Этот слой получил название гидродинамического (динамического) по-

граничного слоя. Толщина этого слоя, как правило, возрастает вдоль по потоку.

Внешняя граница пограничного слоя является величиной достаточно условной, поэтому за толщину пограничного слоя принимают расстояние от поверхности стенки до слоя жидкости, скорость которого отличается от скорости внешнего потока на заданную малую величину (например, 1%). В пределах пограничного слоя действуют силы вязкого трения и силы инерции. За его пределами присутствуют только силы инерции, а силы вязкости здесь пренебрежимо малы.

В зависимости от скорости и условий движения теплоносителя режим течения может быть ламинарным или турбулентным. Рассмотрим процесс продольного омывания стенки невозмущенным потоком теплоносителя, движущегося с постоянной скоростью w0 (рис. 2.2). При набегании потока на стенку сначала образуется ламинарный пограничный слой 1, толщиной δл. Если скорость потока достаточно большая, то в дальнейшем образуется турбулентный пограничный слой 2 толщиной δт. Следует отметить, что даже при турбулентном режиме течения вблизи стенки всегда имеется тонкий слой, где течение остается ламинарным 3.

Его называют ламинарным подслоем.

63

ничного слоя. При ламинарном течении слои жидкости перемещаются параллельно стенке, а перенос теплоты по нормали к стенке осуществляется только теплопроводностью. Конвективное перемешивание жидкости в ядре турбулентного потока существенно увеличивает интенсивность теплоотдачи, поэтому наибольшим термическим сопротивлением обладает ламинарный слой, а при турбулентном течении ламинарный подслой.

В соответствии с теорией Прандтля задачу о нахождении полей скоростейитемпературдостаточнорешатьлишьвпределахпограничных слоев, считая, что во внешнем потоке температура и скорость неизменны. Такой подход позволяет перейти от решения трехмерной задачиконвективноготеплообменакдвумернойилиодномерной.

2.3.Дифференциальное уравнение теплоотдачи

впограничном слое

Какужебылоотмечено, вламинарномпограничномслоечастицы жидкости перемещаются параллельно стенке, а перенос теплоты по нормали к стенке в пределах теплового пограничного слоя толщиной δосуществляетсятолькопутёмтеплопроводности(рис. 2.3).

0

Рис. 2.3. Тепловой пограничный слой

65

Тогда, имея в виду, что плотность теплового потока является векторной величиной, уравнение (2.6) принимает вид

С другой стороны, в соответствии с законом Ньютона – Рихмана плотность теплового потока при теплоотдаче

где tw и tf – температуры стенки и потока жидкости за пределами пограничного слоя.

Приравниваявыражения(2.8) и(2.9), получаемуравнениедля расчета коэффициента теплоотдачи

Уравнение (2.10) называют уравнением теплоотдачи в пограничном слое.

Уравнение, в частности, позволяет в первом приближении, зная величину коэффициента теплоотдачи, оценить толщину теплового пограничного слоя δ. Предполагая распределение температур по пограничному слою линейным, можно записать

Вместе с тем при кажущейся простоте уравнения (2.10) расчет коэффициента теплоотдачи является задачей достаточно сложной. Длянахождениячисленногозначенияαнеобходимознатьвеличину

66

градиента температуры на поверхности стенки. Поэтому корректное определение коэффициента теплоотдачи с использованием (2.10) возможно лишь после решения связанной задачи гидродинамики и теплообмена в пределах пограничного слоя.

2.4. Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена

Вектор плотности теплового потока в условиях конвективного теплообмена определяется выражением

из которого следует, что плотность теплового потока в любой точке исследуемой области течения жидкости однозначно определяется, если известныполятемператур, удельнойэнтальпииискорости (в общем случае нестационарные).

Для многих задач в предположении о несжимаемости жидкости связь между температурой и энтальпией может быть установленасоотношением, справедливымдлятермодинамикиидеальных газов:

дифференциальных уравнений конвективного теплообмена.

Системадифференциальныхуравненийконвективноготеплообмена включает:

•уравнение переноса энергии в подвижной среде;

•уравнение неразрывности;

•уравнение движения вязкого теплоносителя.

67

2.4.1. Уравнение переноса энергии

Уравнение переноса энергии представляет собой уравнение теплопроводности, записанное для подвижной среды. Оно описывает температурное поле в движущейся жидкости при известном поле скоростей.

При выводе уравнения будем предполагать, что жидкость несжимаема и ее физические параметры неизменны.

Уравнение теплопроводности для твердого тела с учетом

(2.13)

запишемчерезкомпонентыплотноститепловогопотокавсоответствии с законом Фурье:

Компонентыплотноститепловогопотокавусловияхконвекции:

68

Последнее слагаемое в правой части согласно закону сохранения массы для несжимаемых жидкостей ( const ) равно нулю

Выражение в скобках в левой части (2.18) представляет собой полную производную от температуры по времени:

Здесьслагаемое t характеризуетизменениетемпературы

во времени в локальной точке рассматриваемой области, а остальные слагаемые характеризуют изменение температуры в данной точке за счет переноса тепла конвекцией (конвективные члены уравнения).

В итоге уравнение переноса энергии (2.18) (уравнение переноса тепловой энергии Фурье – Кирхгофа) можно записать в виде

С учетом выражения для температуропроводности жидкости af f cp уравнение (2.19) можно записать в другой размерно-

сти:

69