книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

Ранее в задаче 4.2.1 было показано, что число пролетающих через небольшое отверстие атомов пропорционально произведению концентрации атомов на их среднюю скорость. Отсюда следует с учетом соотношения (3), что при открывании на короткое время отверстия между первым и вторым отсеками концентрация водорода

во втором отсеке будет в 2 раз выше, чем в исходном первом. В третьем же отсеке отношение концентраций будет уже равно 2, так как в него приходят атомы (молекулы) из второго отсека, в котором

отношение концентраций равно 2 и отношение скоростей также

равно 2 . Легко сообразить, что в последнем N-м отсеке отношение концентраций водорода и гелия составит

из смеси двух изотопов с атомными массами 235 и 238 и отношением концентраций α0 =0,007. Для увеличения концентрации U235 , который

181

гексафторид урана UF6 , и откачиваемый сосуд, малы по сравнению

с длиной свободного пробега молекул. В таких порах столкновений между молекулами нет, и вероятность проникновения через перегородку одинакова для всех молекул, попавших в поры из трубы. Число молекул, попадающих в поры, зависит от их концентрации и скорости. Скорость же при одной и той же температуре зависит только от массы молекулы. Поэтому более легкий газ будет быстрее проходить через пористую перегородку, чем более тяжелый. Это явление называется изотермической эффузией газа через пористую перегородку.

Отношение концентраций гексафторида урана U235 и U238 в откачиваемом сосуде равно отношению числа столкновений молекул с пористой перегородкой в трубе. С учетом решения задач 4.2.1 и 4.2.3 число столкновений ν пропорционально концентрации и обратно пропорционально корню из молярной массы:

ν ~ nµ .

масса гексафторида урана 235. Подставляя численные значения, получаем, что применение одного каскада обогащения приводит к увеличению концентрации U235 в γ =1,0043 раза.

При прохождении n каскадов коэффициент обогащения γn , очевидно, будет равен γn . Тогда число каскадов, необходимое для увеличения концентрации до значения α , можно найти из условия

α = α0 γn .

182

Откуда получаем

α n = ln α0 .

ln γ

Для интересующих нас случаев расчет дает n1 ≈ 450, n2 ≈ 2200 .

Описанный способ применяется для разделения изотопов урана в крупных промышленных масштабах. Идея этого метода была предложена Рэлеем еще в 1896 году.

4.2.5. Полость с одним отверстием. В сосуде с газом поддер-

живается постоянная температура T0 . Вне полости находится такой

же газ, давление которого P и температура T (рис. 4.5).Чему равно давление газа в полости, если в ее стенке имеется небольшое отверстие? Газ считать разреженным.

Если сечение отверстия велико по сравнению с длиной свободного пробега молекул, то газ в целом (внутри и вне полости) можно рассматривать как сплошную среду. Условие равновесия в этом случае носит гидродинамический характер: должны быть равны давления внутри и вне полости. В противополож-

ном случае, когда длина свободного пробега молекул велика по сравнению с поперечными размерами отверстия, гидродинамический подход неприменим. Тогда условие равновесия требует, чтобы среднее число частиц газа, проходящих отверстие в одном направлении, было равно среднему числу частиц, движущихся в противоположном направлении. Так как по условию задачи заданы макроскопические параметры – давление P и температура T , то необходимо выразить среднее число частиц, движущихся в ка- ком-то направлении, через эти параметры.

183

В задаче 4.2.2 нами было получено выражение для давления фотонного газа

P = VN 13 vGpG .

Естественно, его можно использовать и для расчета давления разре-

Это уравнение часто называют основным уравнением молекулярнокинетической теории газов.

Как известно состояние идеального газа подчиняется уравне-

здесь k – постоянная Больцмана. Из сравнения уравнений (1) и (2) сразу следует, что средняя энергия поступательного движения молекул пропорциональна температуре газа:

ε= 32 kT ,

асредняя скорость движения молекул пропорциональна корню из температуры.

Число молекул, движущихся на отверстие N′ (см. задачу 4.2.1), пропорционально произведению концентрации на среднюю скорость N′~ n v , и с учетом уравнения (2) получаем, что среднее число мо-

лекул, движущихся на отверстие с одной стороны можно выразить через макроскопические параметры газа:

N′~ PT .

184

Таким образом, для установления равновесия газа по обе стороны от отверстия необходимо выполнить равенство

4.2.6. Теплоизолированная полость с двумя отверстиями.

Теплоизолированная полость сообщается через небольшие одинаковые отверстия с двумя другими открытыми полостями, содержащими газообразный гелий, давление которого

поддерживается постоянным и равным P ,

а температура – T в одной полости и 2T в другой (рис. 4.6). Найти давление и температуру внутри замкнутой полости. Газ считать разреженным.

Условие стационарности состояния требует теперь, чтобы суммарные потоки молекул через первое и вто-

рое отверстия были одинаковы. Опираясь на результаты предыдущей задачи, запишем

где P′ и T ′ – искомые давление и температура внутри полости. Понятно, что одного этого уравнения недостаточно для определения двух величин, т.е. требуется еще какое-то уравнение. Так как по условию задачи полость теплоизолированная и ее состояние поддерживается стационарным, то полный приток энергии из соседних областей через отверстия должен быть равен нулю. Попытаемся рассчитать плотность потока энергии j , связанной с движущимися через

отверстие молекулами (это энергия, переносимая в среднем через единичную площадку за единицу времени). В силу определения

185

плотности потока энергии его величина пропорциональна числу движущихся на отверстие молекул N′ и средней энергии каждой

2

стие из области с температурой T и давлением P j ~ P T .

Таким образом, учитывая, что через каждое отверстие существует два разнонаправленных потока энергии, дополним уравнение (1)

4.2.7. Распределение Максвелла и давление газа. Опираясь на распределение Максвелла по скоростям, найти число молекул газа, падающих в единицу времени на единичную площадку, и давление газа, если задана концентрация молекул n , температура газа T и масса каждой молекулы m .

Существуют различные формы записи распределения Мак-

186

Аналогичные выражения можно записать и для двух других компонент скорости:

dPvY =ϕ(vY )d vY , dPvZ =ϕ(vZ )d vZ .

В силу равноправности всех направлений движения молекул вид функций ϕ(vX ), ϕ(vY ) и ϕ(vZ ) должен быть одинаков. Соотношению (1) можно придать и другой смысл:

Здесь dNvX – число молекул, компонента скорости которых vX нахо-

Если же речь идет о модуле скорости молекул, то распределение Максвелла записывают в виде

dPv = F(v)dv .

Здесь dPv = dNv / N – вероятность того, что из N молекул газа dNv имеют скорость в интервале от v до dv ; F(v) = 4πv2 f (v) играет роль функции распределения молекул газа по скоростям:

Выберем ось X перпендикулярно стенке, на которую падают молекулы. В этом случае, очевидно, для подсчета числа молекул, падающих на нее, необходимо воспользоваться распределением

187

Максвелла в форме (3), которое после деления на объем сосуда V примет вид

dnvX = nϕ(vX )dvX .

о стенку ударятся за единицу времени только те молекулы, которые находятся от нее не дальше, чем vX . Тогда число ударов об единич-

рого vmax . Его без ущерба для точности можно положить равным бесконечности (вклад участка интегрирования от vmax до ∞ в силу явного вида функции ϕ(vX ) является пренебрежимо малым). Ниж-

ний предел интегрирования, равный нулю, взят из тех соображений, что в расчет входят только молекулы, движущиеся в одном направлении оси X .

ν = ∫dνvX = n∞∫ϕ(vX )vX d vX .

0

Подставляя сюда выражение (2), получаем

188

Входящий сюда квадратный корень, как легко проверить, есть среднее значение скорости молекул

v = 8πkTm ,

и наш ответ можно записать в виде

ν = 14 n v .

Ранее (см. задачу 4.2.1) это выражение нами было получено из других соображений.

Найдем теперь давление газа на стенку. Так как каждая молекула при ударе изменяет свой импульс на 2mvX , то нетрудно понять с учетом соотношения (4), что давление газа на стенку можно пред-

Входящий сюда интеграл можно свести к известному интегралу Пуассона:

(достаточно взять производную по параметру α), окончательно получаем

P = nkT .

А это есть уравнение Менделеева–Клапейрона. В этом нет ничего удивительного, так как вывод распределения Максвелла существенно опирается на данное уравнение.

4.2.8. Распределение Больцмана. Потенциальная энергия мо-

лекул газа в некотором центральном силовом поле зависит от расстояния r до центра поля как U =αr2 , α – положительная постоянная. Температура газа T , концентрация газа в центре поля n0 . Найти наи-

189

более вероятное расстояние молекул от центра поля и наиболее вероятное значение потенциальной энергии.

О каком наиболее вероятном расстоянии идет речь в условии задачи? Ведь, как мы знаем, в газах в условиях равновесия любое положение молекулы равновероятно. Но так обстоит дело только в том случае, когда газ не находится в каком-либо силовом поле. Наличие силового поля искажает пространственное распределение молекул. И теперь вопрос, поставленный в условии задачи, является уместным. Распределение молекул газа по значениям кинетической энергии можно получить из распределения Максвелла (см. задачу 4.2.7). Пространственное же распределение молекул можно получить из распределения Больцмана:

− U

n = n0e kT .

Здесь n – плотность молекул в точке пространства, где потенциальная энергия имеет значение U; n0 – значение плотности в том месте, где U = 0 . В силу того, что потенциальная энергия зависит от положения молекул, то отсюда автоматически следует возможность описать и пространственное распределение молекул.

Так как центральное силовое поле обладает сферической симметрией, то в качестве бесконечно малого элемента пространства dV , во всех точках которого концентрация молекул имеет одинаковое значение, следует взять тонкий шаровой слой радиуса r и толщиной dr : dV = 4πr2 dr . Тогда число молекул, обладающих заданным значением потенциальной энергии и располагающихся в слое ( r, r + dr ), будет следующим:

190