книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

венных газов наш способ квазистатического перемешивания газов неприменим. Перегородки, проницаемые или непроницаемые для газа 1, останутся такими же и для газа 2, тождественного с газом 1. И принципиально невозможно перемешать тождественные газы квазистатическим способом, описанным выше.

4.5.3. Изменение энтропии при смешивании газов с разной температурой. Два одинаковых теплоизолированных сосуда, соединенных трубкой с вентилем, содержат по одному молю одного и того же газа с молярной теплоемкостью CV . Температура газа в одном со-

суде T1 , в другом – T2 . После открытия вентиля газы пришли в новое

состояние равновесия. Найти изменение энтропии в этом процессе. Для определения конечного состояния газа воспользуемся за-

коном сохранения энергии U1 +U2 =U , где U1 и U2 – энергия каждого газа до их перемешивания; U – энергия системы после перемешивания. Так как внутренняя энергия пропорциональна температуре, то, очевидно,

где T – новая установившаяся температура.

Перевести нашу систему из начального состояния с разными температурами в конечное с одинаковой температурой обратимым путем проще всего изохорически, поставив мысленно между газами неподвижную теплопроводящую перегородку. В этом случае для ка-

где ∆S0 – приращение энтропии системы за счет перемешивания

одинаковых газов при одинаковой температуре. Это слагаемое, как было показано в задаче 4.5.1 (парадокс Гиббса), равно нулю. Тогда с учетом (1) получаем

231

Нетрудно показать, что (T1 +T2 )2 / 4T1T2 при любых температурах больше единицы:

(T1 +T2 )2 = (T1 −T2 )2 +1 , 4T1T2 4T1T2

а это значит, что ∆S > 0 , т.е. энтропия при перемешивании одинаковых газов, но с разной температурой, возрастает.

4.5.4. Изменение энтропии при измерении температуры те-

ла. Измерение температуры тела обычно производится с помощью термометра, имеющего, хотя и небольшую, но конечную теплоемкость. Найдем изменение энтропии системы (тело плюс термометр) после измерения температуры.

Пусть температура теладо измерения – T1 , его теплоемкость– c1 , температура термометра до измерения – T2 , теплоемкость – c2 << c1 . Понятно, что T2 ≠T1 (иначе нет необходимости измерять температуру тела!). Найдем теперь показания термометра θ после измерения температуры. Из уравнения теплового баланса c1 (θ−T1 ) +c2 (θ−T2 ) = 0 находим

θ = c1T1 +c2T2 . c1 +c2

Тогда изменение энтропии можно найти как

Найдем приближенное значение этого выражения при c2 << c1 . Для этого введем обозначения:

232

Тогда ∆S с точностью до членов первого порядка малости по ε будет определяться по формуле

что изменение энтропии системы при любом соотношении исходных температур тела и термометра всегда больше нуля.

Кроме того, проведенный анализ позволяет сделать весьма важный вывод: любая попытка получить информацию о системе (в частности о ее температуре) приводит к росту энтропии данной системы! Таким образом, существует прямая связь между энтропией системы и информацией о ней.

4.5.5. Изменение энтропии при обратимом процессе. Найти приращение энтропии двух молей идеального газа с показателем адиабаты γ =1,30 , если в результате некоторого процесса объем газа

увеличился в α = 2 раза, а давление упало в β =3 раза.

Так как по условию задачи процесс перевода системы из начального состояния в конечное не определен, то мы вправе сами определить его (главное, чтобы начальное и конечное состояния соответствовали условию задачи). Поэтому вначале при постоянном давлении увеличим объем до заданного значения, а затем при постоянном объеме уменьшим давление. Обратимся теперь к основному уравнению термодинамики:

TdS = dU + PdV = νCV dT + PdV ,

233

После интегрирования с учетом уравнения Менделеева–Клапейрона получаем

∆S = νCV ln T2 +νR ln V2 .

T1 V1

Представляя отношение температур в виде

Туда опускают кусок льда массой m2 при температуре t2 < 0 °C .

Найти изменение энтропии системы к моменту установления равновесия. Теплоемкостью калориметра пренебречь.

Для определения ∆S нам необходимо знать конечное состояние системы, т.е. что и при какой температуре будет находиться в калориметре после установления состояния равновесия. Тут возможны три варианта. В системе может остаться один лед (т.е. вода замерзнет), вода (лед растает), или образуется двухфазная система (лед плюс вода) при нулевой температуре. Реализация любого из этих вариантов зависит от тепловых характеристик воды и льда, их массы и исходных температур (для простоты рассуждений будем выражать температуру в градусах Цельсия).

Максимальное тепло, которое можно отнять от воды, – c1m1t1 ( c1 – удельная теплоемкость воды). Максимальное тепло, которое нужно сообщить льду, чтобы довести его до плавления, – c2 m2t2

(c2 – удельная теплоемкость льда). Обозначим сумму этих количеств теплоты как Q,

234

Если величина Q меньше теплоты плавления льда, образую-

где ∆m =Q / λ , значение Q дается выражением (1). Соотношение фаз системы отражено на рис. 4.21 (по осям координат отложены величины c1m1t1 > 0 и c2 m2t2 < 0 ).

Теперь нетрудно рассчитать и изменение энтропии. При образовании однородного (только лед) состояния, т.е. при выполнении условия (2), изменение энтропии складывается из четырех слагаемых:

i=4

∆S = ∑∆Si ,

i=1

здесь ∆S1 – уменьшение энтропии

Рис. 4.21

при остывании воды до 0 °C ; ∆S2 – уменьшение энтропии при замерзании воды; ∆S3 – уменьшение энтропии при остывании образовавшегося льда массой m1 до температуры θл; ∆S4 – увеличение

235

энтропии при нагревании льда массой m2 до температуры θл . Значения этих величин можно рассчитать следующим образом:

ние θл определяется по выражению (3). Очевидно, так как система

пришла в состояние равновесия (более вероятное состояние), то суммарное изменение энтропии будет больше нуля.

Совершенно аналогично можно подсчитать и изменение энтропии в остальных двух вариантах (предоставим это выполнить самостоятельно).

4.5.7. Цикл Карно. Что сильнее влияет на повышение коэффициента полезного действия (КПД) цикла Карно – повышение температуры нагревателя или уменьшение температуры холодильника на одинаковую величину?

Известно, что КПД цикла Карно рассчитывается по формуле

Отсюда видно, что для повышения КПД необходимо либо увеличивать T1 , либо понижать T2 . Формально выражение (1) можно представить в виде

236

Изменение каждой температуры на небольшую величину ∆T приводит к изменению η на величину ∆η,

∆η≈ ∂η ∆T + ∂η ∆T .

∂T1 ∂T2

Тогда ответ на поставленный вопрос сводится к определению того,

какая из частных производных ∂η или ∂η окажется больше. Най-

∂T1 ∂T2

дем эти производные:

влияет уменьшение температуры холодильника в цикле Карно, чем увеличение температуры нагревателя.

4.5.8. Максимальная работа тепловой машины. Какую мак-

симальную работу может произвести тепловая машина, если в качестве нагревателя используется нагретое тело с начальной температурой T1 , а в качестве холодильника неограниченная среда с темпера-

турой T2 ? Полагать теплоемкость тела не зависящей от температуры и равной c .

Известно, что тепловая машина, работающая по циклу Карно, обладает максимальным КПД. Это означает, что при введении одинакового количества теплоты максимальную работу можно получить, реализуя между телами цикл Карно. В нашей же задаче реализовать полноправный цикл Карно не удастся, так как теплоемкость нагретого тела не равна бесконечности и постепенно его температура будет падать, пока не станет равной температуре окружающей среды, используемой в качестве холодильника. Поэтому для получения максимальной работы будем реализовывать последовательно повторяющиеся бесконечно малые циклы Карно, в которых температура нагревателя стремится к температуре холодильника.

237

Пусть в результате одного из таких элементарных циклов нагретое тело при температуре T ′ отдало теплоту δQ1 = −cdT ′, а вто-

рое тело (окружающая среда) при температуре T2 получило теплоту δQ2 . При этом была совершена работа δA = δQ1 −δQ2 .

Из сравнения КПД цикла Карно с общим определением КПД любой тепловой машины

δA = δQ1 −δQ2 = δQ1 − T ′δQ1 = −cdT ′+c T ′dT ′.

Для нахождения полной работы необходимо проинтегрировать это соотношение по температуре:

Отсюда видно, что нам не удалось полностью преобразовать убыль внутренней энергии нагретого тела с(T1 −T2 ) в механическую работу. Часть внутренней энергии тело передало окружающей среде

ввиде теплоты.

4.5.9.Коэффициент полезного действия циклов. Найти КПД цикла, состоящего из двух адиабат и двух изохор (рис. 4.22), если рабочим телом тепловой машины является одноатомный идеальный газ.

По определению

238

на участке 1–4, а Q2 равно теплу, отдавае-

мому на участке 2–3. Так как на этих участках реализован изохорный процесс, то

Q1 =Q14 = νCV (T1 −T4 );

Q2 =Q23 = νCV (T2 −T3 ).

Подставим эти соотношения в (1):

и воспользуемся уравнением Пуассона для участков 1–2 и 3–4:

Рассмотрим теперь цикл, представленный на рис. 4.23, рабочим веществом которого является один моль идеального одноатомного газа. На каких участках газ получает тепло? Так как процесс 3–4 происходит при большей температуре, а процесс 2–3 при большем

239

Если бы цикл был задан на диаграмме ( P,V ), то работа была бы равна площади этого цикла. Поэтому найдем работу как сумму работ на отдельных участках цикла (P,T ) :

A = A12 + A23 + A34 + A41 .

Для изотермических участков 3–4 и 1–2:

Для изобарических участков 2–3 и 4–1:

A23 = P2 (V3 −V2 ) = R(T2 −T1 ); A41 = P1 (V1 −V4 ) = R(T1 −T2 ) .

Таким образом, полная работа

A = R(T2 −T1 )ln P2 . P1

Перейдем теперь к расчету теплоты, введенной от нагревателя. Так как участок 3–4 изотермический, то ∆U34 = 0 , и тогда

240