книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

Это выражение отличается от (1) наличием дополнительного слагаемого [ωG rG], где rG – радиус-вектор точки A относительно оси

вращения.

Если выбрать корабль, движущийся по окружности, за вращающуюся СО, тогда скорость движущегося прямолинейно корабля относительно второго (это v′ в выражении (3))

Знак минус показывает, что относительно движущегося по окружности корабля корабль, движущийся прямолинейно, отстает от него. Проведя аналогичные рассуждения относительно движущегося прямолинейно корабля, получим естественно ожидаемый ответ:

v21 =V Rl .

Попытаемся теперь понять, почему относительная скорость этих кораблей не равна нулю. Для этого, прежде всего, нужно выяснить, а как вообще ее можно измерить. Пусть наблюдение за движущимся прямолинейно кораблем ведется с палубы второго корабля, на которой жестко установлена подзорная труба. Ее оптическая ось перпендикулярна продольной оси корабля и проходит через центр окружности, по которой движется корабль. Теперь легко представить, что «пойманный» в центр объектива до точки максимального сближения движущийся прямолинейно корабль начнет постепенно отставать. Это и означает, что относительная скорость кораблей в данном случае не равна нулю.

Кроме величин, которые изменяются при переходе из одной СО в другую, существуют и так называемые инвариантные величины. Это величины, значение которых не изменяется с точки зрения разных систем отсчета. Инвариантами в классической механике яв-

21

ляются расстояние между точками, интервал времени между какимилибо событиями, размеры предметов и др.

Рассмотрим теперь несколько конкретных задач.

2.1.1.Плот, лодка и деревня. Вниз по течению в направлении деревни плывет плот. Когда до деревни оставалось 15 км, от плота отошла лодка. Через 45 мин она достигла деревни и, повернув обратно, подошла к плоту, когда до деревни оставалось расстояние 9 км. Какова скорость течения?

Психологически мы вольно или невольно размещаем СО так, чтобы она соответствовала тексту задачи. В данном случае мы видим ситуацию относительно берега, и присутствуют два движущихся тела. Поэтому самое разумное здесь перейти в СО, связанную с плотом. В этой СО вода неподвижна и скорость лодки относительно плота одинакова во всех направлениях. Это означает, что время обратного движения лодки до плота также равно 45 мин. Таким образом, полное время движения лодки составляет 1,5 ч. За это время плот, двигаясь со скоростью течения, прошел путь 6 км. Значит, скорость течения равна 4 км/ч.

2.1.2.Грузовик и легковой автомобиль. По шоссе со скоро-

стью 90 км/ч движется грузовик. Впереди него в том же направлении движется со скоростью 54 км/ч легковой автомобиль. Когда расстояние между автомобилями стало равным 50 м, водитель легкового автомобиля, пытаясь избежать столкновения, «нажал на газ» и стал двигаться с постоянным ускорением. Каково должно быть минимальное ускорение, при котором удастся избежать столкновения?

Описанная ситуация становится особенно простой, если ее

рассматривать относительно водителя грузовика. Он видит, что на него надвигается со скоростью v = 36 км/ч легковой автомобиль

и на расстоянии S = 50 м его скорость начинает падать до нуля с постоянным ускорением. Это ускорение легко определить по формуле для равноускоренного движения:

a = v2 = 1 м/с2. 2S

Попробуйте решить эту задачу относительно Земли!

22

2.1.3. Мухи в треугольнике. В вершинах равностороннего треугольника со стороной a сидят три мухи. В некоторый момент они начинают одновременно двигаться с постоянной по модулю скоростью v , причем первая муха движется в направлении второй, вторая – на третью, третья – на первую. Через какое время они встретятся?

Так как скорость мух постоянна по модулю, то для определения времени достаточно найти их путь до встречи. А вот это уже является проблемой. При движении мух треугольник, который они образуют, оставаясь равносторонним, поворачивается вокруг центра и стягивается в точку встречи мух (рис. 2.2), а сами мухи двигаются по довольно сложной траектории, фор-

ма которой нам неизвестна. Для определения вида траектории придется составить дифференциальные уравнения движения мух. Кроме того, определение длины траектории также не совсем просто.

Поэтому попробуем перейти в СО, связанную с вращающимся треугольником. В этом случае легко сообразить, что каждая муха движется уже прямолинейно и с постоянной скоростью v cos α (рис. 2.2),

аее путь будет равен a / 2cos α. Таким образом, время движения

τ= 2v cosa α = 23va .

2.1.4.Минимальный снос лодки. Скорость лодки относительно воды в n = 2 раза меньше скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения необходимо направить нос лодки, чтобы ее снесло при переправе как можно меньше?

В принципе решение задачи не представляет особой трудности. Необходимо найти величину сноса S в зависимости от угла α , под которым должна лодка держать курс, и затем минимизировать это выражение по углу. Необходимо только помнить, что истинное движение лодки по отношению к берегу будет совершаться не под наме-

23

ченным углом α , а под углом β, который определяется законом

сложения скоростей. Этот закон в данном случае целесообразно представить в виде

представление закона сложения скоростей с конкретным указанием тел в виде индексов позволяет избежать многих ошибок и дает очень наглядное представление о характере движения тел.

Таким образом, угол α , обеспечивающий минимальный снос лодки, определяется по формуле

α=arcsin (1/ n) +π/ 2 = 120°.

2.1.5.Бегущий от дождя человек. На человека, находящегося

воткрытом поле, надвигается со скоростью v полоса дождя шири-

ной 2L . Человек находится на расстоянии l напротив центра этой полосы. С какой минимальной скоростью должен двигаться человек, чтобы остаться сухим?

Ответ вроде бы очевиден – его скорость должна быть не меньше скорости надвигающейся полосы дождя. Это было бы так, если

24

полоса дождя была бы бесконечной ширины. Но у нее есть край и человек останется сухим, если вектор его скорости относительно полосы дождя будет направлен на крайнюю точку полосы A . В силу закона сложения скоростей эта относительная скорость

Таким образом, человек останется сухим, если его минимальная скорость

а направление движения составляет угол 90° по отношению к направлению на край полосы дождя.

25

2.1.6. Лиса и заяц. По тропинке равномерно и прямолинейно бежит заяц со скоростью v . На расстоянии l от тропинки находится лиса. В тот момент, когда заяц оказался на перпендикуляре между лисой и тропинкой, лиса побежала за зайцем со скоростью u > v . Через какое время она догонит зайца?

Конечно, если лиса не очень сообразительна, то она примет ожидаемое, но не совсем оптимальное решение – двигаться так, чтобы вектор ее скорости был направлен все время на зайца. Если же она будет более сообразительна, то она «рассчитает» предполагаемую точку встречи и сразу побежит к ней по кратчайшему пути.

Рассмотрим вначале первый вариант (рис. 2.5). Он не оптимален, так как траектория движения лисы в этом случае не прямолинейна. Пусть до точки встречи заяц пробежит расстояние OC = v τ, где τ – иско-

мое время встречи. Но точно такое же расстояние вдоль оси X Рис. 2.5 должна пробежать и лиса с переменной скоростью ux =u sin α .

Интегрируя эту скорость по времени движения и приравнивая пути вдоль оси X , получаем одно из условий встречи:

Решить такое интегральное уравнение относительно τ не удастся, так как неизвестна зависимость угла α от времени. Конечно, можно приложить определенные усилия и найти эту зависимость и тем самым даже установить вид траектории лисы, но есть и более простой вариант. Представим, что между лисой и зайцем натянута нить, которая при их движении укорачивается, оставаясь все время натянутой. За бесконечно малый промежуток времени dτ длина этой

26

нити уменьшается на dl =u dτ−vsin αdτ. Интегрируя это соотношение по времени движения, получим второе условие встречи:

Нам неизвестна зависимость α(τ) , но сейчас это не имеет никакого значения, так как в уравнения (1) и (2) входит одна и та же величина ∫sin α(τ)dτ. Исключая ее из этих уравнений, находим искомое время встречи:

Заодно мы нашли и угол, под которым должна бежать лиса по отношению к первоначальному направлению на зайца:

sin α = uv .

2.1.7.Мальчик на эскалаторе. По движущемуся эскалатору

внаправлении его движения бежит с некоторой скоростью мальчик

и насчитывает N1 = 50 ступенек. Если же он бежит со скоростью в 3 раза большей, то насчитывает уже N2 = 75 ступенек. Сколько ступенек находится на неподвижном эскалаторе?

27

Понятно, что на неподвижном эскалаторе независимо от скорости мальчика всегда находится одинаковое число ступенек. Мальчик насчитывает разное число ступенек потому, что он их «считает» ногами и чем быстрее он бежит, тем большее число ступенек насчитает. Пусть l0 – рас-

стояние от нижней до верхней площадки эскалатора, а l – расстояние от нижней площадки до последней ступеньки, на которую наступит мальчик перед тем, как коснется верхней площадки (рис. 2.7). Эти разные

Рис. 2.7 расстояния представляют собой путь мальчика, измеренный в разных СО – относительно Земли и движущейся ленты эскалато-

ра. Но в любом случае время движения мальчика от нижней до верхней площадки должно быть одинаковым. Воспользовавшись этим обстоятельством, нетрудно получить связь величин l и l0 :

v l+0 u = vl ,

где v – скорость мальчика относительно ленты эскалатора; u – скорость самой ленты. Поделив последнее равенство на длину ступеньки, найдем соотношение, связывающее число ступенек на неподвижном эскалаторе N0 и число ступенек N1 , которое насчитает бегущий мальчик:

28

2.1.8. Маятник Фуко. Маятник Фуко является очень наглядной иллюстрацией суточного вращения Земли. Он представляет собой гладкий тяжелый шар, подвешенный на длинной нерастяжимой нити. Известно, что плоскость его колебаний непрерывно поворачивается с некоторой угловой скоростью ω, зависящей от географической широты места установки маятника ϕ. Связано это с тем, что на самом

деле относительно гелиоцентрической системы отсчета поворачивается не плоскость колебаний маятника, а вращается Земля вокруг собственной оси. Найти угловую скорость вращения плоскости колебаний маятника Фуко относительно Земли в зависимости от широты.

Понятно, что нам нужно найти угловую скорость вращения некоторого небольшого элемента поверхности Земли ∆S , находящегося в месте установки маятника на широте ϕ. Конечно, угло-

вая скорость вращения любой точки Земли всегда ω0 = 2π/ T , где

T – период вращения Земли, равный 24 ч, но это совсем не то, что нас интересует. Пусть элемент ∆S настолько мал, что его можно считать плоским и принадлежащим некоторой бесконечной плоскости. Тогда речь идет об определении угловой скорости вращения этой плоскости вокруг некоторой перпендикулярной ей оси. Для этого проведем касательную к данной точке

разные линейные скорости v1 и v2 . Тогда интересующая нас угловая скорость

29

Линейную скорость v можно выразить через широту данной точки: v =ω0 r sin ϕ.

Найдем ее изменение ∆v =ω0 sin ϕ∆r и подставим в выражение (1).

Тогда угловая скорость вращения плоскости колебаний маятника Фуко

ω= ω0 sin ϕ∆r =ω0 sin ϕ. ∆r

Отсюда видно, что на полюсах время полного поворота плоскости колебаний маятника Фуко составит 24 ч, а на экваторе плоскость колебаний маятника Фуко вообще не поворачивается.

30