книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

dt = dθ/ ω. Тогда уравнение (4) сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

g2 cos θdθ = 3l ωdω.

Интегрируя его по углу от нуля до π/ 2 и по угловой скорости от нуля до ω, получаем

Скорость же верхнего конца спицы перед ударом о поверхность будет v = ωl = 3gl .

Интегрирование уравнений динамики позволяет найти не только конечное значение угловой скорости, но и ее зависимость от угла наклона спицы. Если же нас интересует только конечный результат (как в данной задаче), то гораздо проще воспользоваться законом

Здесь первое слагаемое в правой части определяет кинетическую энергию поступательного движения центра инерции, второе – кинетическую энергию вращения спицы вокруг центра инерции. Так как

71

один конец спицы все время опирается о поверхность, то значения vc и ω связаны соотношением

Из уравнений (5) и (6) легко найти угловую скорость вращения спицы и скорость верхнего конца спицы перед ударом о поверхность.

2.2.27. Шайба на нити. Вертикальный цилиндр радиусом R укреплен на гладкой горизонтальной поверхности. На цилиндр плотно намотана нить, на свободном конце которой на расстоянии l0 от точки касания цилиндра находится неболь-

Для определения ее зависимости от времени необходимо знать, как со временем изменяется скорость шайбы v и длина свободной части нити l . Так как скорость шайбы все время перпендикулярна нити, то сила натяжения не совершает работы. Это означает, что кинетическая энергия шайбы и соответственно ее скорость не изменяются. Осталось только найти закон изменения длины свободной части нити l(t) . В данном случае проще найти закон изменения рас-

стояния шайбы от центра цилиндра r(t) . Для этого спроектируем вектор скорости шайбы на направление радиуса vr = vsin ϕ = vR / r .

72

С другой стороны, радиальная составляющая скорости по определению vr = dr / dt . Из этих уравнений получаем

− drdt = v Rr

(знак минус означает, что радиус уменьшается). Проинтегрируем это равенство:

r2 = −vRt +const . 2

Значение const легко найти из начального условия. При t = 0 значение r = l02 + R2 . Откуда получаем закон изменения радиуса r(t) :

r2 = −2vRt +l02 + R2 .

Соответственно закон изменения со временем длины свободной части нити будет иметь вид

шено, то нить порвется сразу же после сообщения толчка шайбе.

2.2.28. Контакт двух вращающихся дисков. Два диска оди-

накового радиуса вращаются в одном направлении с одинаковой угловой скоростью ω0 (рис. 2.44). Их приводят в контакт, и затем сис-

73

тема через некоторое время приходит в новое установившееся состояние движения. Моменты инерции дисков относительно их осей вращения равны I1 и I2 ,

трения в осях нет. Найти изменение момента импульса системы и ее кинетической энергии.

Попытаемся прежде всего понять, что же приведет систему в установившееся состояние с противоположным направлением угловых скоростей? Причина может быть только одна – это сила трения в месте контакта дисков. И хотя силы трения скольжения, приложенные к каждому диску, имеют противоположное направление, суммарный момент этих сил относительно осей вращения дисков не равен нулю и направлен из чертежа. Это означает, что момент импульса этой системы не сохраняется. Для определения его изменения воспользуемся уравнением моментов

dLdtz = M z .

Так как момент силы трения скольжения является постоянным, то это уравнение переходит в следующее:

M z ∆t = ∆Lz .

Если ось Z направить за чертеж, то для каждого диска будем иметь уравнение

−M z ∆t = ∆L1 = I1 (ω−ω0 ), −M z ∆t = ∆L2 = I2 (−ω−ω0 ).

Из этих уравнений легко находим угловую скорость установившегося вращения дисков:

ω= I1 − I2 ω0 .

I1 + I2

74

По определению изменение момента импульса системы должно быть

∆Lz =(I1ω− I2ω)−(I1ω0 + I2ω0 ) .

Аналогично находим и изменение энергии системы:

Знак минус в обоих ответах говорит об уменьшении, как момента импульса системы, так и ее энергии за счет наличия трения.

75

2.3. Законы сохранения в динамике

Динамика поведения любой системы частиц определяется уравнениями движения. Зная законы действующих на частицы сил и состояние системы в некоторый момент времени, можно с помощью уравнений движения определить состояние системы в любой другой момент времени. Такое детальное рассмотрение поведения системы с помощью уравнений движения иногда бывает настолько технически затруднительным, что довести решение до конца практически невозможно. В тех же случаях, когда неизвестны законы действующих сил, такой подход в принципе неосуществим.

Однако в физике существуют некоторые фундаментальные принципы, являющиеся следствием законов Ньютона и общих свойств симметрии пространства и времени (однородности и изотропности), которые позволяют иначе подойти к решению задач динамики. Как уже отмечалось, при движении системы частиц ее состояние изменяется со временем. Однако опыт показывает, что существуют величины, которые обладают свойствами сохранения во времени. Среди этих сохраняющихся величин наибольшее значение имеют энергия, импульс и момент импульса. Кроме того, эти величины обладают свойством аддитивности. Их значение для системы, состоящей из частей, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало, равно сумме значений для каждой из частей системы в отдельности.

Практическая значимость законов сохранения энергии, импульса и момента импульса обусловлена рядом причин. Во-первых, эти законы не зависят ни от характера движения частиц, ни от характера действующих сил. Это позволяет применять законы сохранения даже тогда, когда силы вообще не известны. Во-вторых, даже в тех случаях, когда силы известны и задача может быть решена с помощью уравнений движения, привлечение законов сохранения позволяет получить решение наиболее простым и изящным способом. Поэтому при решении задач динамики обычно поступают следующим образом. Вначале применяют соответствующие законы сохранения при условии возможности их реализации. И если выяснится, что этих

76

законов недостаточно, или нет возможности их применения, переходят к решению с помощью уравнений движения.

Напомним кратко вышеупомянутые законы сохранения. Закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой систе-

мы частиц не изменяется со временем.

Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой нет диссипативных сил, сохраняется в процессе движения.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса любой системы частиц, в которой суммарный момент внешних сил равен нулю, сохраняется со временем.

Во многих задачах большое практическое значение имеет так называемая теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы.

2.3.1. Три заряда в треугольнике. Три небольших заряженных шарика массой m и зарядом q соединены шелковыми нитями, кото-

рые образуют равносторонний треугольник со стороной l (рис. 2.45).

k =1/ 4πε0 , ε0 – электрическая постоянная. После пережигания ниж-

ней нити (между шариками 1 и 3) исчезает одна из сил натяжения. Это приводит к движению шариков и соответственно к изменению сил, действующих на шарики. Зададим теперь небольшие перемещения каждому шарику (рис. 2.46). Кулоновские силы при небольшом

77

перемещении шариков не успевают измениться, так как они определяются расстоянием между зарядами. А вот сила натяжения нити, связывающей шарики 1 и 2, изменится и станет T ′=T + ∆T (иначе не понятно, за счет чего начнется движение шариков!). На рисунке отображены только те силы, которые влияют на перемещение шарика 1.

Для определения ускорения шарика 2 необходимо знать изменение силы натяжения ∆T . Так как мы не знаем независимого способа расчета силы натяжения (в отличие от кулоновской силы), то воспользуемся тем, что сразу вытекает из общих свойств второго закона Ньютона. Из него следует, что если на тело действует несколько сил, то отношение ускорений, сообщаемых телу под действием каждой силы, равно отношению самих сил. При небольших перемещениях за малое время отношение ускорений под действием каждой силы равно отношению отдельных перемещений. В нашем

(при выводе этой формулы мы полагали, что угол между прямыми 1–2 и 1–3 практически не изменился и равен ≈ 60° , а треугольник ABC почти прямоугольный).

Так как рассматриваемая система шариков изолированная, то выполняется закон сохранения импульса, который для вертикального направления будет иметь вид

78

где v2 – скорость перемещения шарика 2; v1 – вертикальная составляющая скорости шарика 1. Из (2) следует связь вертикальных перемещений шариков 1 и 2 ∆y2 = 2∆y1 . Кроме того, что сохраняется импульс всей системы, сохраняется и длина нити, связывающей шарики 1 и 2. Отсюда нетрудно получить связь горизонтальной ∆x1 и вертикальной ∆y1 проекций перемещения шарика 1:

Таким образом, вертикальная проекция силы Fy , действующей на шарик 2, с учетом соотношения (4) определяется по формуле

Fy = 2∆T cos30° = Fк5 3 .

Тогда из второго закона Ньютона находим ускорение шарика

Существует и другой путь решения данной задачи, не требующий столь детального анализа характера движения шариков и основывающийся только на втором и третьем законе Ньютона. Для этого рассмотрим все силы, действующие на шарики 1 и 2 после пережигания нити (рис. 2.47). Запишем для шарика 1 второй закон Ньютона, спроектированный на направление нити, соединяющей шарики 1 и 2:

79

уравнений (5)–(7) неизвестную силу натяжения T ′, получаем для ускорения шарика 2 прежний ответ.

2.3.2. Жук в аквариуме. На гладком полу стоит аквариум, заполненный водой плотностью ρ0 , объем воды V0 . Оказавшийся на дне аквариума жук объемом V и плотностью ρ через некоторое время начинает ползти по дну со скоростью u относительно его (рис. 2.48). С какой скоростью станет двигаться аквариум по полу? Массой сосуда пренебречь, уровень воды все время

остается горизонтальным.

Это довольно простая задача на применение закона сохранения импульса (система является замкнутой). Пусть при движении жука вправо со скоростью u сосуд двигается влево со скоростью v . Тогда несколько поспешное примене-

где m – масса жука; M – масса воды в аквариуме (при этом мы учли, что скорость жука относительно пола равна u −v ).

80