книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

4.3.5. Адиабатическая атмосфера. Адиабатической называет-

ся атмосфера, в которой давление и плотность независимо от высоты h удовлетворяют соотношению Pρ−β =const (β >1) . Найти гра-

диент температуры dTdh , установившийся в данной атмосфере.

То, что температура должна изменяться с высотой, видно из простых соображений. Состояние газа в любом случае подчиняется уравнению Менделеева–Клапейрона:

И так как по условию задачи давление не пропорционально плотности, то из (1) автоматически следует, что температура должна изменяться с высотой.

Если газ, находящийся в однородном поле тяжести, нагрет неравномерно, то не при всяком распределении температуры он может находиться в механическом равновесии. В таком газе будет происходить перемешивание (конвекция) различно нагретых слоев. Если пренебречь процессами теплопроводности в газе, то всякое перемещение элемента газа из одного положения в другое можно рассматривать как адиабатический процесс.

Для определения градиента температуры перепишем иначе соотношение, заложенное в условии задачи:

где α и β – некоторые постоянные. Для получения замкнутой сис-

темы уравнений с целью определения dTdh к уравнениям (1) и (2) не-

обходимо добавить соотношение, связывающее изменение давления газа dP с изменением высоты dh :

201

откуда видно, что температура атмосферы падает с высотой.

Если температура воздуха повышается с высотой, то атмосфера в механическом отношении устойчива (вспомним закон Архимеда). Но оказывается, что устойчивое равновесие возможно и тогда, когда с высотой температура воздуха понижается. Однако для этого, как показывают расчеты [2], градиент температуры не должен превышать примерно одного градуса на каждые 100 м высоты.

4.3.6. Откачивающий насос. Из сосуда объемом V производится с постоянной скоростью c откачка воздуха. Процесс считать изотермическим, а скорость откачки – не зависящей от давления. Найти зависимость от времени давления газа в сосуде.

можно откачать объем dV ? Представим, что к откачиваемому сосуду объемом V присоединяют небольшую пустую камеру объемом dV и после выравнивания давления изолируют эту камеру от основного объема. Затем удаляют попавший в камеру воздух и весь этот процесс повторяют шаг за шагом. Конечно, количество воздуха в основном сосуде постоянно уменьшается, но на каждом шаге откачки количество воздуха не изменяется. Так как по усло-

202

вию задачи при этом не изменяется и температура, то из уравнения Менделеева–Клапейрона для каждого шага откачки следует

здесь P – давление в сосуде в данный момент времени t ; dP – его бесконечно малое изменение за время dt . Пренебрегая величинами второго порядка малости, уравнение (1) можно представить в виде

VdP + PdV =0 ,

или

VdP + Pcdt = 0 .

После интегрирования этого уравнения получаем

P = P0 exp −Vc t ,

где P0 – начальное давление в откачиваемом сосуде.

4.3.7. Окружность на диаграмме (P, V ) . Тепловой процесс,

который совершается с идеальным газом, на диаграмме(P,V ) имеет

вид окружности, расположенной симметрично по отношению к осям (P,V ) (рис. 4.12). Отобразить его на диаграмме (P,T ) , пола-

гая, что окружность подходит достаточно близко к осям координат. Формально такая задача могла бы быть ре-

шена следующим образом. Вначале необходимо записать уравнение окружности в переменных (P,V ) . Затем, используя уравнение Менде-

леева–Клапейрона, перевести исходное уравнение окружности в переменные (P,T ) . Мы же проде-

с точки зрения математики является гиперболой, причем, чем меньше температура, тем ближе гипербола подходит к осям (P,V ) (кри-

вые A, B,C, D, E на рис. 4.13). Тогда точки пересечения (или каса-

203

ния) изотерм с окружностью дадут значение давления при заданном значении температуры. В точке 1 получаем давление при максимальной температуре (рис. 4.14). В точках 2, 3 получаем два значения

давления при меньшей температуре и т.д. Так обстоит дело до изотермы С . Данной температуре соответствует уже три разных значения давления. На изотерме D находятся четыре таких точки, а последней изотерме E с самой низкой температурой соответствуют только две точки разных давлений. Таким образом, круговой процесс на диаграмме (P,V ) будет выглядеть несколько сложнее (см. рис. 4.14). Ко-

нечно, при таком построении мы полагали, что при любых температурах система остается газообразной и подчиняется уравнению Менде- леева–Клапейрона.

4.3.8. Треугольник на диаграмме (V, T ) . С идеальным газом

происходит процесс 1–2–3–4–1, представленный на рис. 4.15. В состоянии 3 на отрезке диаграммы 2–3–4 давление такое же, как и в состоянии 1. Определить объем газа в состоянии 3, если V1 =1 м3 ,

V2 = 4 м3 , T1 =100 К, T4 =300 К .

Стандартный подход к решению подобных задач заключается в следующем. Для всех точек, относительно которых есть какая-либо информация, записывают уравнение Менделеева–Клапейрона. Таким

204

образом, получают некоторую систему уравнений, и далее следует ее решение. В наших условиях приходим к системе уравнений:

на продолжении прямой 0–1 (это мы учли), находится также и на прямой 2–4. Конечно, можно написать уравнение данной прямой и «посадить» на нее точку 3, но это довольно долгий путь.

Есть более простой вариант. Учтем геометрические особенности фигуры, отображенной на рис. 4.15. Треугольник 2–3–5 подобен треугольнику 1–2–4. Отсюда сразу следует чисто геометрическое

Одного этого соотношения будет явно недостаточно, так как мы еще нигде не учли, что имеем дело с газом, подчиняющимся уравнению Менделеева–Клапейрона. Поэтому обратимся к треугольникам 0–1– T1 и 0–3– T3 . Из их подобия, а это как раз и следует

из уравнения Менделеева–Клапейрона, получаем

V1 = V3 . (2)

T1 T3

Теперь видно, что система уравнений (1), (2) является достаточной для определения V3 , и для него получаем ответ:

205

4.3.9. Максимальная температура газа. Один моль газа со-

вершает процесс, отображенный на рис. 4.16. Чему равна максимальная температура газа в этом процессе?

Это достаточно стандартная задача на исследование максимума некоторой функции. Разным точкам указанной линейной зависимости P(V ) в силу уравне-

ния Менделеева–Клапейрона соответствуют разные значения температуры. Поэтому для определения максимальной температуры необходимо вначале полу-

Рис. 4.16

чить аналитическую зависимость P(V ) ,

затем, применяя уравнение Менделеева– Клапейрона, перевести ее в зависимость T (V ) либо T (P) и после

этого исследовать полученную функцию на максимум. Так как на рис. 4.16 изображена линейная зависимость, то ее можно представить в виде

С использованием уравнения Менделеева–Клапейрона зависимость (1) можно перевести в зависимость T (V ) :

T (V ) = VR (α−βV ) .

Это уравнение параболы с ветвями, обращенными вниз. Ее максимальное значение достигается при

206

а само максимальное значение температуры

где α и β даются выражениями (2). Правда, здесь нужно помнить,

что использованное нами уравнение (1) описывает бесконечно длинную линию, а в задаче значение объема изменяется в конечных пределах. Поэтому найденное нами значение максимальной температуры имеет смысл при условии

Если это условие будет нарушено, то максимальное значение температуры достигается на краю заданного на рис. 4.16 отрезка P(V )

и будет равно либо PV / R , либо P V / R в зависимости от того, какое

1 1 2 2

из них больше.

4.3.10.Смешивание газов. Два теплоизолированных сосуда 1

и2 наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с вентилем. В каждом баллоне заданы значения объема, давления и температуры

воздуха (V , P , T и V , P , T ). Найти температуру и давление возду-

1 1 1 2 2 2

ха, которые установятся после открытия вентиля.

Состояния газов в каждом сосуде до их соединения и в объединенном сосуде после открытия вентиля подчиняются уравнению Менделеева–Клапейрона:

При записи последнего уравнения мы исходили из того, что после соединения через трубку достаточно большого сечения газ

вцелом можно рассматривать как сплошную среду. В этом случае условие равновесия носит гидродинамический характер: давления

всосудах должны стать одинаковыми и равными P . Кроме того, ка-

207

ждой молекуле становится доступен объем V1 +V2 и количество газа ν равно сумме ν1 +ν2 . Записанная нами система уравнений (1)–(3) является неполной, так как неизвестных величин четыре: ν1 , ν2 , P

и T , а уравнений только три. Это означает, что только уравнения состояния (уравнения Менделеева–Клапейрона) недостаточно для полного описания состояния газов после их перемешивания. Таким уравнением в силу теплоизолированности сосудов является закон сохранения энергии.

Ранее было показано, что произведение давления газа на его объем пропорционально полной энергии поступательного движения молекул в сосуде Wпост : PV ~ Wпост . Если считать, что полная энергия молекул после соединения сосудов не изменилась, то, очевидно, должно быть выполнено равенство

не зависит от температуры перемешиваемых газов. После подстановки выражения (4) в уравнение (3) с учетом уравнений (1), (2) нетрудно получить и температуру смеси газов:

208

4.4. Первое начало термодинамики

Первое начало термодинамики относится к одному из фундаментальнейших законов природы и по своей сути представляет собой обобщение закона сохранения энергии на макросистемы. В дифференциальном виде этот закон обычно записывают в виде

δQ = dU +δA .

Здесь δQ – элементарное количество теплоты, сообщенное системе; dU – приращение ее внутренней энергии; δA = PdV – элементарная работа системы над внешними телами. Подчеркнем, что можно говорить о приращении внутренней энергии, но нельзя говорить о приращении работы или теплоты. Это означает, что внутренняя энергия системы является функцией состояния и не зависит от того, каким путем система пришла в данное состояние. В отличие от внутренней энергии количество теплоты и работа зависят от вида процесса, посредством которого система пришла в данное состояние.

4.4.1. Постоянная адиабаты для смеси газов. Найти постоян-

ную адиабаты γ для газовой смеси, содержащей ν1 молей газа с постоянной адиабаты γ1 и ν2 молей газа с постоянной γ2 .

По определению постоянная адиабаты для произвольного газа

γ= CP ,

CV

где CP , CV – соответственно молярные теплоемкости газа при посто-

янном давлении и постоянном объеме. В нашем случае газ состоит из смеси газов, каждый из которых имеет свою теплоемкость. Как же найти теплоемкость смеси? Для этого сообщим смеси газов некоторое тепло δQ . По определению теплоемкости это тепло должно быть

равно δQ =CνdT . Часть этого тепла δQ1 заберет одна компонента газа, вторую часть δQ2 – другая. И тогда, очевидно, будет выполнено равенство

δQ = δQ1 +δQ2 →CνdT =C1ν1dT +C2ν2 dT .

209

Откуда

C = C1ν1 +C2ν2 . ν1 +ν2

Поэтому для γ получаем

Учитывая, что молярные теплоемкости можно выразить через постоянную адиабаты

CV = γR−1, CP = R γ γ−1

(при этом мы учли уравнение Майера CP =CV + R ), преобразуем (1) к виду

γ = ν1γ1 (γ2 −1) +ν2 γ2 (γ1 −1) . ν1 (γ2 −1) +ν2 (γ1 −1)

4.4.2. Перемещение поршня в теплоизолированном цилинд-

ре. Внутри закрытого теплоизолированного цилиндра с идеальным газом с показателем адиабаты γ находится легкоподвижный тепло-

проводящий поршень. При равновесии поршень делит цилиндр на две равные части и температура газа равна T0 . Найти температуру газа при медленном перемещении поршня как функцию отношения η объ-

ема большей части к объему меньшей части.

Так как сосуд теплоизолирован, то для всего газа в целом можно записать

здесь dU – бесконечно малое приращение внутренней энергии газов при малом перемещении поршня, равное dU1 + dU2 . По условию за-

дачи поршень теплопроводящий. Это означает, что изменение температуры в каждой половине сосуда, содержащей ν молей газа, одинаково. Тогда

210