книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

2.2.Основное уравнение динамики материальной точки

итвердого тела

Врамках кинематики, когда идет речь лишь об описании движений и не рассматриваются причины, вызывающие эти движения, нет никакой принципиальной разницы между различными системами отсчета (СО). В этом смысле все СО равноправны. В динамике же обнаруживается принципиальное различие между разными СО и преимущества одних перед другими. Законы динамики в разных СО имеют различный вид и может быть так, что в произвольной СО эти законы даже для простых явлений будут выглядеть весьма сложно.

Наиболее часто выбирают так называемые инерциальные системы отсчета (ИСО), в которых ускорение материальной точки обусловлено только взаимодействием ее с другими телами. Важнейшей особенностью ИСО является то, что по отношению к ним пространство

ивремя обладают определенными свойствами симметрии – время однородно, а пространство однородно и изотропно.

ВИСО основным уравнением динамики материальной точки является второй закон Ньютона:

и обусловленных взаимодействием с другими телами. Решение данного уравнения является основной задачей динамики. При этом возможны две противоположные задачи:

1. По силам, действующим на данное тело и так называемым начальным условиям (скорость v0 и положение r0 в начальный момент времени), определить закон движения r (t) .

2. По зависимости от времени радиуса-вектора r (t) опреде-

лить силы, действующие на материальную точку.

В декартовых координатах уравнение (1) распадается на три дифференциальных уравнения:

31

m ddtvx = Fx , m ddtvy = Fy , m ddtvz = Fz ,

где Fx , Fy , Fz – сумма проекций сил на оси X ,Y , Z . Выбор направле-

ния осей X ,Y , Z определяется характером конкретной задачи. Очень часто уравнение (1) представляют в проекциях на каса-

тельную и нормаль к траектории в данном месте

екции вектора FG на орты касательной τ и нормали n к траектории. Эти проекции называют еще тангенциальной и нормальной состав-

ляющими силы FG . Уравнениями (2) удобно пользоваться, когда заранее известна траектория материальной точки.

Между тем имеются задачи, решение которых необходимо получить в неинерциальной системе отсчета (НИСО). В этом случае наряду с силами, обусловленными взаимодействием тел, приходится вводить так называемые силы инерции, обусловленные свойствами НИСО. Для этих сил нельзя указать источник в виде определенного тела и поэтому силы инерции не подчиняются третьему закону Нью-

тона. Наиболее часто рассматривают три силы инерции: FGпост – сила инерции, обусловленная поступательным движением системы отсчета с ускорением aG0 , Fпост = −maG0 ; Fкор – кориолисова сила инерции, действующая на движущуюся со скоростью v′ материальную точку

вращения и характеризующий положение частицы относительно оси вращения.

32

Есть задачи, когда масса интересующего нас тела изменяется в процессе движения за счет отделения или присоединения вещества. В этом случае применяют уравнение Мещерского

два частных случая:

1. uG = 0 , т.е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно движущегося тела. В этом случае уравнение (3) принимает вид

m(t) ddtv = FG ,

где m(t) – масса тела в данный момент времени.

2.Если присоединяемая (или отделяемая) масса неподвижна

винтересующей нас системе отсчета, т.е. u = −v , то уравнение (3) принимает вид

FG = dtd [m(t) vG].

Эквивалентной формой записи второго закона Ньютона является уравнение

Динамика движения твердого тела при плоском движении определяется уже двумя уравнениями:

33

ции и суммарный момент всех внешних сил относительно оси Z , проходящей через центр инерции тела; vc – скорость движения цен-

тра инерции тела; ddtω =ε – угловое ускорение твердого тела. Урав-

нение (6) часто называют основным законом динамики вращательного движения твердого тела.

Подобно тому, как второй закон Ньютона записывают через импульс, так и уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z , можно записать через момент импульса:

где Lz – момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг оси Z , Lz = Iz ω. Уравнение (7) называют уравнением моментов.

В задачах, связанных с какими-либо ударами, когда время действия силы τ очень маленькое, но происходят конечные изменения состояния, удобно представлять уравнения динамики (5) и (6) в следующем виде:

Fτ = ∆p = ∆(mv) , M z τ= ∆Lz = ∆(Iz ω) ,

где ∆p и ∆Lz – изменения импульса и момента импульса за малое

время удара.

2.2.1. Шайба на ленте транспортера. Лента горизонтального транспортера движется со скоростью u . На ленту по касательной к ней влетает шайба, начальная скорость которой v перпендикулярна краю ленты (рис. 2.9). Найти максимальную ширину ленты, при которой шайба достигнет другого ее края, если коэффициент трения между шайбой и лентой равен µ .

34

∆p – изменение импульса шайбы, ∆p = m v2 +u2 . Для определения

времени движения рассмотрим проекцию движения на направление, перпендикулярное краю ленты. Это движение происходит со средней скоростью v / 2 и при этом шайба проходит путь, равный l . Тогда

t = 2vl и получаем

Откуда находим

l = v v2 +u2 . 2µg

2.2.2. Тело на осциллирующей наклонной плоскости. Опре-

делить установившуюся скорость тела, находящегося на наклонной плоскости, которая с большой частотой меняет одно направление своей скорости uG на противоположное (рис. 2.11). Коэффициент трения µ , угол наклона плоскости α , причем tg α <µ .

35

трения скольжения). При наличии достаточно быстрых поперечных движений плоскости сила трения, противоположная вектору скорости тела, уже не параллельна направлению возможного соскальзыва-

Как только она станет равной проекции силы тяжести mg sin α , тут же начнется соскальзывание тела с почти постоянной скоростью:

v .

v2 +u2

Из данного равенства легко найти и установившуюся скорость тела: v = u tgα .

µ2 − tg2α

2.2.3.Торможение частиц. Частицы массой m попадают в об-

ласть, где на них действует встречная тормозящая сила. Глубина проникновения частиц l зависит от их импульса p : l = αp , где α – за-

данная постоянная. Найти зависимость модуля тормозящей силы от глубины проникновения частиц x .

36

Определение силы, действующей на частицу, по заданному характеру ее движения предполагает явное обращение ко второму закону Ньютона F = ma . Однако в данной задаче нам не известен характер движения частиц, а известно только начальное значение импульса p и его конечное значение, равное нулю. Поэтому разумно

несколько видоизменить второй закон Ньютона так, чтобы в него входила информация о начальной и конечной точках движения. С этой целью помножим уравнение F = ma на бесконечно малое перемещение dx и проинтегрируем по всему пути движения частиц:

В итоге приходим к интегральному уравнению относительно F(x) :

Так как по условию задачи начальный импульс частиц p пропорционален пути торможения l , то единственной возможной зависимостью F(x) является линейная зависимость: F(x) =C x , где C – некоторая константа. Подставляя предполагаемую зависимость F(x) =C x в уравнение (1), находим, что константа C должна удовлетворять условию

p2 =C l2 . 2m 2

37

скользит по гладкой горизонтальной поверхности вдоль вертикальной стенки (рис. 2.13, вид сверху). Закругленная часть вертикальной стенки представляет собой дугу с углом α = 60° . За счет трения о вертикальную стенку скорость тела упала в 2 раза при движении от точки 1 до точки 2. Найти

нормального давления N . Траектория представляет собой окружность, поэтому есть смысл записать для тела второй закон Ньютона в проекциях на касательную и нормаль к стенке.

Интегрируя данное уравнение, можно найти зависимость скорости тела от времени. Но так как нам необходима зависимость скорости тела от угла поворота, то следует переписать уравнение (1) так, что-

38

бы в него входило не время движения, а угол поворота. Сделаем это следующим образом:

где dl = Rdα – бесконечно малая дуга поворота. Подставляя (2) в (1), приходим к уравнению

dvv = −µdα.

После интегрирования по углу и скорости с учетом данных задачи получаем

µ= lnα2 = 0,66.

2.2.5.Нить с трением. Через закрепленный блок перекинута нить, к концам которой прикреплены две чашечки массой M (рис. 2.14). Между нитью и блоком есть трение с коэффициентом трения µ . Груз какой минимальной массы m нуж-

но положить на одну из чашек, чтобы вся система пришла в движение?

Понятно, что движение начнется в том случае, если разность сил натяжения участков нити, не касающихся блока, будет равна силе трения скольжения нити о блок. Так как мы будем рассматривать самое начало скольжения, то разность сил на-

тяжения нити T1 и T2 будет равна mg . Определить же силу трения

скольжения не совсем просто. Дело в том, что сила трения различных участков нити, касающихся блока, плавно изменяется от точки к точке за счет изменения силы натяжения нити. Поэтому в подобных задачах поступают следующим образом.

Выделим произвольный малый элемент нити, касающийся блока (рис. 2.15). Это элемент виден из центра блока под углом dα. На него действуют несколько сил – силы натяжения слева (T ) и справа

39

(T + dT ), сила трения dFтр и сила реакции со стороны блока dN . Так как нить предполагается невесомой, то сумма всех этих сил (или их проекций на произвольное направление) должна быть равна нулю. Это сразу следует из второго закона Ньютона для данного элемента нити. В проекции на касательную к элементу имеем

Если же спроектировать силы на нормаль к блоку, то видно, что сила реакции dN должна быть уравновешена суммой проекций сил натяжения на это же направление. Принимая элемент нити за точку, легко увидеть, что

Учитывая, что dFтр =µdN , систему уравнений (1) и (2) можно свести к одному уравнению:

dTT =µdα .

Проинтегрируем обе части этого равенства

Откуда следует

ln T2 =µπ .

T1

Учитывая, что T2 = (M + m)g , а T1 = Mg , приходим к соотношению ln MM+ m =µπ .

40