книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

Для определения максимальной скорости разумно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии – изменение кинетической энергии поршня равно сумме работ всех сил, действующих на него:

где h – высота поршня в момент достижения максимальной скорости; A – работа газа при уменьшении его объема. Так как высота поршня пропорциональна объему газа:

где V – объем газа в момент достижения максимальной скорости. Дальнейшие рассуждения зависят от вида процесса сжатия газа.

Рассмотрим вначале изотермический процесссжатия PV = const .

221

Работу газа при изотермическом сжатии можно рассчитать по формуле

A = νRT ln V . V0

Используя уравнение Менделеева–Клапейрона и обозначение α, ее можно переписать как

A = MgHαln α.

Тогда закон сохранения энергии будет иметь вид

12 M v2 = MgH (1 −α) + MgHαln α .

Откуда следует

v = 2gH (1 −α+αln α) ,

где α определяется по формуле (5).

Пусть теперь процесс сжатия газа адиабатический. В этом случае работает уравнение Пуассона

PV γ = PV γ .

0 0

222

Подставляя найденные значения работ в закон сохранения энергии (3), после несложных преобразований получаем

где α определяется по формуле (5).

4.4.8. Понижение температуры воздуха в восходящих пото-

ках. Одной из причин понижения температуры с нарастанием высоты в атмосфере является расширение воздуха в восходящих потоках без теплообмена с окружающей средой. Найти понижение температуры на каждые 100 м высоты, полагая воздух идеальным газом.

То, что температура должна понижаться с увеличением высоты, сразу следует из первого закона термодинамики. Так как теплообмен отсутствует, то вся работа, связанная с перемещением воздуха, должна совершаться за счет убыли его внутренней энергии.

Выделим в поднимающемся потоке воздуха объем, соответствующий одному молю ∆Vм . Пусть этот объем перемещается из области с давлением P1 в область с давлением P2 . Это можно предста-

вить так, как будто он исчез из одной области пространства и появился в другой. Тогда, очевидно, работа, совершенная газом,

A = P2 ∆Vм2 − P1∆Vм1 ,

где ∆Vм1 и ∆Vм2 – объемы одного моля воздуха в областях с давлением P1 и P2 соответственно. Исходя из уравнения Менделеева– Клапейрона, эту работу можно представить как

A = R(T2 −T1 ) = R∆T ,

где ∆T – изменение температуры воздуха при его подъеме.

223

Изменение энергии связано как с изменением температуры, так и с изменением высоты газа в поле тяжести:

∆U =CV ∆T +µgh .

В силу первого закона термодинамики при отсутствии теплообмена должно выполняться равенство

CV ∆T +µgh + R∆T = 0 .

Принимая молярную массу воздуха µ ≈ 29 г/моль и теплоемкость CP ≈ 29,3 Дж/(моль К), получаем, что температура воздуха

понижается примерно на 1 К на каждые 100 м высоты.

4.4.9. Адиабатическое истечение газа. Газ вытекает из тепло-

изолированного сосуда через малое отверстие. Температура газа в сосуде T1 , давление P1 . При выходе из сосуда давление газа P2 . Найти скорость истечения v газа на выходе из сосуда. Молярная масса газа µ, показатель адиабаты γ .

В силу малости отверстия будем полагать, что вытекающая из сосуда струя газа формируется непосредственно вблизи отверстия, и истечение газа можно рассматривать как макроскопический поток. Ограничимся достаточно малым промежутком времени истечения, таким, что давление и температуру газа в сосуде можно считать постоянными. Тогда процесс истечения газа из сосуда можно рассматривать как стационарный, причем траектории любых выделенных элементов газа совпадают с линиями тока. Кроме того, будем пренебрегать тангенциальными силами вязкости. Это позволит нам воспользоваться законом сохранения энергии.

Выделим мысленно в стационарном потоке газа небольшую трубку (рис. 4.19), один конец которой (2) находится снаружи сосуда вблизи отверстия, а другой (1) – внутри сосуда, где скоростью газа

224

можно пренебречь. При перемещении небольшого элемента газа объемом ∆V силы давления совершают работу (см. задачу 4.4.8)

за в этих же сечениях.

В потоке газа, в отличие от равновесной системы, значения давления и температуры меняются от точки к точке, поэтому можно говорить только о локальном термодинамическом равновесии в отдельных частях потока. Но при достаточно малых скоростях макроскопического движения газа значения термодинамических параметров можно полагать связанными между собой уравнением состояния. Это позволяет представить выражение (1) через температуру газа в сечениях 1 и 2:

∆A = νR(T2 −T1 ) ,

где ν – количество газа в выделенном элементе ∆V .

В силу первого закона термодинамики работа, совершаемая над газом, должна идти на изменение его энергии ∆U , которое состоит из двух слагаемых. Одно слагаемое равно изменению внутренней энергии хаотического движения молекул газа, определяемое изменением температуры ∆U (T ):

∆U (T ) = νCV (T2 −T1 ) .

Другое слагаемое равно изменению кинетической энергии упорядоченного движения молекул газа ∆E :

∆E = νµ2 (v22 − v12 ) ,

где v1 и v2 – скорости струи газа в сечениях 1 и 2.

225

Пренебрегая скоростью v1 в силу малости отверстия, получаем для изменения энергии газа выражение

∆U = ∆U (T ) +∆E = νCV (T2 −T1 ) + νµ2 v2 ,

где v – искомая скорость истечения газа из отверстия.

По первому закону термодинамики при отсутствии теплообмена ( ∆Q = 0 ) имеем

∆A + ∆U = 0 →νR(T2 −T1 ) +νCV (T2 −T1 ) + νµ2 v2 = 0 .

Откуда, учитывая, что CV + R =CP , для скорости истечения получаем

В таком виде эта формула непригодна для вычислений, так как неизвестна температура струи газа на выходе из отверстия T2 . Однако ее значение можно найти из уравнения Пуассона

из которого следует

γ−1

T2 =T1 P2 γ .

P1

После подстановки этого выражения в (2) получаем

226

Максимальная скорость достигается при истечении газа в вакуум:

где T – температура газа в сосуде. Кроме того, мы полагали, что при истечении в вакуум T2 = 0 , т.е. газ охлаждается до абсолютного нуля и его теплоемкость сохраняет постоянное значение.

Для молекулярного водорода при температуре 1000 К по формуле (3) получаем

vвак ≈5400 м/c .

Получение больших скоростей истечения газов является одной из важнейших проблем ракетной техники. Из формулы (3) следует, что в ракетной технике выгодно применять горючее с высокой теплотой сгорания (для получения больших температур в камере сгорания) и образующее продукты сгорания с малой молярной массой.

227

4.5. Второе начало термодинамики. Энтропия

Первое начало термодинамики позволяет, не вдаваясь в детали механизма процессов, получить ряд важных выводов о поведении макросистем. В то же время оно, в частности, ничего не говорит о направлении протекания процессов, или об их возможности. Ответ на этот вопрос заключается во втором начале термодинамики, одна из формулировок которого звучит следующим образом. Предоставленная самой себе макросистема стремится переходить от менее вероятных состояний к более вероятным. Количественно второе начало термодинамики можно выразить через введенное Клаузиусом понятие энтропии. Энтропия изолированной системы не может убывать. Энтропия S вводится через ее элементарное приращение как

dS ≥ δTQ .

Здесь знак равенства относится к обратимым, а знак неравенства – к необратимым процессам. Энтропия является функцией состояния и при приближении температуры к абсолютному нулю сама стремится к нулю:

S →0 при T →0 .

Это утверждение представляет собой содержание так называемой теоремы Нернста и иногда его называют третьим началом термодинамики.

Объединяя определение энтропии с первым началом, для обратимых процессов можно получить

TdS = dU + PdV .

Это уравнение имеет многочисленные применения и его называют основным уравнением термодинамики.

4.5.1. Изменение энтропии при расширении газа в пустоту.

В одном из теплоизолированных сосудов, соединенных трубкой с закрытым вентилем, находится один моль идеального газа, в другом – вакуум. Объемы сосудов V1 и V2 . После открытия вентиля газ

228

заполнил оба сосуда и пришел в состояние термодинамического равновесия. Найти изменение энтропии.

Процесс расширения газов в пустоту, очевидно, необратимый. И непосредственно считать энтропию термодинамическим путем по необратимому процессу невозможно. Поэтому воспользуемся тем, что энтропия – функция состояния и проведем между начальным и конечным состоянием такой обратимый процесс, который позволит найти изменение энтропии. Реальный процесс расширения газа в пустоту шел без теплообмена и без совершения работы. В силу первого закона термодинамики ∆U = 0 , т.е. конечная температура газа равна начальной. Поэтому проще всего провести расчет изменения энтропии по обратимому изотермическому процессу. Для этого переведем газ из начального состояния в конечное квазистатически, приведя его в тепловой контакт с нагревателем, имеющим температуру газа. Уменьшая бесконечно медленно давление на газ, можно его изотермически перевести из состояния с объемом V1 в состояние

с объемом V1 +V2 . При этом газ будет забирать тепло от нагревателя и превращать его в эквивалентную работу.

Для изотермического процесса δQ = PdV , и тогда

т.е. энтропия возросла. Поэтому адиабатическое расширение газа в пустоту – необратимый процесс. Следует обратить внимание на тривиальную, но довольно распространенную ошибку. Из того факта, что в первоначальной постановке задачи δQ = 0 , делают вывод

о том, что и dS = δQ /T также равно нулю, т.е. энтропия в начальном и конечном состоянии одинакова. Ошибка состоит в том, что равенством dS = δQ /T в нашей ситуации нельзя пользоваться. Оно отно-

сится только к квазиравновесным процессам и для неравновесных процессов неприменимо.

229

4.5.2. Изменение энтропии при перемешивании газов. Из-

меним теперь несколько постановку задачи. Пусть в двух половинах теплоизолированного сосуда объемом V находится по одному молю двух разных идеальных газов, разделенных перегородкой. Температура и давление в обеих половинках сосуда одинаковы. Затем перегородка убирается, и начинается необратимый процесс смешивания газов. Как изменится энтропия системы?

Для того чтобы процесс смешивания газов протекал квазистатически, допустим, что перегородка, разделяющая газы, состоит из двух сложенных вместе полупроницаемых перегородок а и b (рис. 4.20). Перегородка а пропускает газ из первой области, но непроницаема для второго газа. Перегородка b , наоборот, пропускает газ из второй области, но непроницаема для первого газа. Приведем теперь всю систему в тепловой контакт с нагревателем, температура которого поддерживается по-

стоянной и равной температуре газов. Затем, медленно перемещая перегородки а и b , заставим газы занять весь объем сосуда.

Используя результат предыдущей задачи, находим, что при

Это приращение ∆S > 0 , поскольку процесс смешивания газов существенно необратим (обратный процесс разделения смеси на два отдельных газа совершенно невероятен!).

А что будет с энтропией, если перемешивать одинаковые газы? Тогда по формуле (1) возрастание энтропии остается. Однако конечное состояние системы макроскопически ничем не отличается от исходного и, значит, энтропия не должна измениться! В этом состоит так называемый парадокс Гиббса. На самом деле никакого парадокса нет, так как формула (1) была получена только для случая, когда газы 1 и 2 различны (пусть даже это различие ничтожно). Для тождест-

230