книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

где dV1 и dV2 – бесконечно малые изменения объема газа в каждой половине сосуда; P1 и P2 – значения давлений, которые определяются уравнением Менделеева–Клапейрона:

Таким образом, полную работу при малом перемещении поршня можно записать в виде

Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение (1), получаем

Интегрирование этого уравнения дает

где V0 – первоначальный объем газа в каждой половине сосуда,

V0 = (V1 +V2 ) / 2 . С учетом соотношения R = γ −1 выражение (4)

CV

легко преобразовать к виду

Выражение V1V22 можно расписать как

V0

211

Окончательно получаем

4.4.3. Газ, для которого тепло равно убыли внутренней энергии. Идеальный газ с показателем адиабаты γ расширяют таким

образом, что сообщенное газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти для этого газа молярную теплоемкость и уравнение

шем случае δQ = −dU , и формула (1) приобретает вид

C = − dUdT .

Так как приращение внутренней энергии не зависит от вида процесса, то dU нетрудно найти из первого закона термодинамики, сообщая газу тепло при постоянном объеме ( δA = 0 ): δQ =CV dT = = dU , т.е. для любого процесса

dUdT =CV .

Таким образом, молярная теплоемкость газа в данном процессе

Удивляться тому, что теплоемкость газа оказалась отрицательной, не следует. Например, для изотермического процесса ( dT = 0 ) теплоемкость может быть равна как +∞ , так и −∞ . Это зависит от того, сообщаем ли мы газу тепло ( δQ > 0 ), или отнимаем его

212

( δQ < 0 ). И вообще, если при сообщении газу тепла δQ реализуется процесс, для которого PdV > δQ , то dT < 0 и соответственно тепло-

емкость отрицательна.

Для определения уравнения процесса запишем первый закон термодинамики в виде

CdT =CV dT + PdV .

Именно в таком виде это уравнение связывает все параметры газа. С учетом (2) и уравнения Менделеева–Клапейрона получаем:

и проинтегрируем:

ln T = − R lnV +const . 2CV

Откуда следует

R

TV 2CV = const

или

γ−1

TV 2 = const .

И, воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона, получаем уравнение процесса в переменных (P,V ) :

Легко проверить, что значение показателя степени при V заключено в пределах

γ > γ2+1 >1 .

213

Это означает, что кривая, отображающая процесс (3), идет круче, чем изотерма, но более полого, чем адиабата.

4.4.4. Точка окончания ввода тепла. Идеальный газ с пока-

зателем адиабаты γ совершает процесс, отображенный на рис. 4.17,

и в итоге переходит в состояние с исходной температурой. До какого момента газ получает тепло? Какова его теплоемкость в данном процессе?

Так как газ переходит в состояние с исходной температурой, то изменение внутренней энергии ∆U = 0 . Кроме того, так как объем все время нарастает, то и полная работа газа в этом процессе положительна. И если обратиться к первому закону термодинамики, то следует «очевидный» ответ: газ все время (от V1 до V2 )

получает тепло. Но это поспешный вывод. На самом деле из того, что полное тепло, полученное газом, положительно, не сле-

дует вывод о том, что газ в любом состоянии указанного процесса получает тепло. При переходе из состояния 1 в состояние 2 вначале, пока растет его температура ( dT > 0 ), газ на самом деле получает тепло ( δQ > 0 ). Затем температура, достигая максимума (это происходит

в средней точке процесса), начинает падать ( dT < 0 ). И если обратиться к первому закону термодинамики δQ = dU +δA , то из него не следует, что δQ > 0 , так как знаки dU и δA уже противоположны. Таким

образом, момент окончания получения газом тепла сводится к определению состояния, вблизи которого выполняется равенство

С формальной точки зрения необходимо найти точку касания прямой линии, отображенной на рис. 4.17, с адиабатой, заданной уравнением PV γ = const . Мы же рассмотрим более физический подход к ре-

214

шению данной задачи. Для этого обратимся к первому закону термодинамики в форме

с которого ввод тепла сменится на его отвод, сводится к решению уравнения (2) относительно V . В наших условиях зависимость P(V )

имеет вид

(3)

где, как нетрудно установить, значения α и β будут следующими:

Из уравнения Менделеева–Клапейрона с учетом зависимости (3) следует

T = PVR = VR (α−βV ) .

Тогда производная

Подставляя эту производную в уравнение (2), получаем

Символ ( ) означает, что данное соотношение выполняется только для значения объема V , начиная с которого ввод тепла сменится на его отвод. Из (6) находим

215

Подставляя сюда значения α и β, определяемые соотношением (4), получаем

При k > γ V <V2 .

Обратимся теперь к расчету теплоемкости газа в указанном процессе. Как уже отмечалось ранее, теплоемкость газа в любом процессе можно найти как

ляется постоянной и зависит от объема и соответственно от температуры. И только в некоторых частных случаях теплоемкость постоянна. Например, при α = 0 , независимо от значения β

C =CV + R2 ,

а при β = 0 независимо от значения α

C =CV + R =CP .

216

В том, что теплоемкость в общем случае зависит от температуры, нет ничего удивительного. Согласно теории теплоемкость газа является постоянной только в том случае, если уравнение процесса в переменных (P,V ) имеет вид

PV χ = const ,

где χ – некоторое постоянное число (показатель политропы),

χ= C −CP .

C −CV

Такой процесс называется политропическим. Рассмотренный же нами процесс при α, β ≠ 0 явно не является политропическим.

4.4.5. Газ с теплоемкостью, обратной температуре. Имеется идеальный газ с показателем адиабаты γ . Его молярная теплоемкость

при некотором процессе изменяется по закону C = α/ T , где α – постоянная. Найти работу, совершенную одним молем газа при его нагревании от T0 до температуры в η раз большей и уравнение процесса в переменных (P,V ) .

Находить любую из величин (теплоту, внутреннюю энергию или работу) можно двумя путями – либо по их прямому определению, либо через первый закон термодинамики. В данном случае вы-

годно искать работу не по ее прямому определению ( A = ∫PdV ), так

как нам неизвестна зависимость P(V ) , а через первый закон термодинамики. Ее элементарное значение

δA = δQ −dU = Tα dT −CV dT .

Интегрируя данное соотношение, получаем

Уравнение процесса также можно найти из первого закона термодинамики, который представим в виде

Tα dT =CV dT + PdV .

217

Необходимо только проинтегрировать это уравнение. Для этого с использованием уравнения Менделеева–Клапейрона перепишем его:

Tα dT =CV dT + RT dVV .

После деления на температуру приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:

Его интегрирование дает

−Tα −CV ln T = RlnV +const .

После потенцирования получаем

exp −Tα V RT CV = const .

Подставляя сюда значение T = PV / R и упрощая, получаем окончательно

exp −α(γ −1) PV γ = const .

PV

Убедиться в том, что это разумный ответ, можно следующим образом. При α = 0 теплоемкость газа по условию обращается в нуль. А это адиабатический процесс, для которого справедливо уравнение Пуассона PV γ = const . Именно это и получается из общего ответа при α = 0 .

4.4.6. Колебания поршня в сосуде с газом. В вакуумированном горизонтальном цилиндре вплотную к левому торцу находится поршень массой m с недеформированной пружиной жесткостью k , прикрепленной к правому торцу цилиндра (рис. 4.18). Пространство между левым торцом цилиндра и поршнем заполняется небольшим количеством идеального газа с показателем адиабаты γ . Найти частоту

малых колебаний поршня, считая процесс адиабатическим и пренебрегая трением.

218

( l0 – величина сжатия пружины) и сила давления газа P0 S ( P0 – давление газа; S – площадь поршня). При отклонении поршня от положения равновесия на величину x , например вправо, эти силы, сохраняя свое направление, изменяются по величине. Сила упругости возрастает и становится равной k(l0 + x) , а сила давления за счет

увеличения объема газа становится меньше. Таким образом, результирующая сила, действующая на поршень, будет направлена влево. Аналогичная картина наблюдается и при отклонении поршня влево – уменьшается сила упругости, возрастает сила давления газа, и результирующая сила будет направлена вправо, т.е. в любом случае сила, действующая на поршень, направлена к его положению равновесия.

Для того чтобы воспользоваться вторым законом Ньютона, необходимо рассчитать силу давления со стороны газа F . В равновесном положении выполняется равенство

При отклонении поршня от положения равновесия изменение давления подчиняется уравнению Пуассона для адиабатического процесса:

(при этом мы воспользовались известными приближенными равенст-

вами (1 + x)γ ≈1 + γx, 1/(1 + x) ≈1 − x при малых x ).

219

Тогда второй закон Ньютона для поршня запишется в виде

mx = −k(l0 + x) + P0 S 1− γ lx ,

0

или с учетом равенства (1)

mx = −kx − P0 Sγlx = −kx(1 + γ) .

0

Таким образом, мы пришли к уравнению гармонических коле-

баний

x +ω2 x = 0 ,

из которого следует, что искомая частота колебаний поршня

В наших рассуждениях мы, естественно, не учитывали процесс распространения звука в самом газе, пренебрегая его массой.

4.4.7. Падение поршня в цилиндре. В откачанном простран-

стве вертикально стоит высокий цилиндрический сосуд, перекрытый сверху подвижным поршнем массы M . Под поршнем находится одноатомный идеальный газ при давлении P0 . Внутреннее сечение цилиндра S . Вначале поршень находится на высоте H относительно дна. Затем его отпускают. Какова максимальная скорость, развиваемая поршнем, если газ сжимается изотермически? адиабатически?

Вначале, когда сила тяжести поршня превышает силу давления газа, поршень приобретает ускорение и его скорость увеличивается. Затем по мере падения поршня нарастает давление газа, что приводит к уменьшению ускорения. Когда сила тяжести сравняется с силой давления, ускорение поршня обращается в нуль, а его скорость становится максимальной, т.е. в момент достижения поршнем мак-

где P – давление газа в момент максимальной скорости.

220