книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы

Сравнивая (6.21) с (6*13) устанавливаем! что оаибка составляет

- 102 -

Точное решение сопромата дает

Величина погрешности kl%. Следовательно, метод Ритца при опреде­ лении перемещения дает в рассматриваемом случае лучшие результа­ ты, чем при определении напряжения. Бели функцию V взять в ви­ де ряда

§6.3. Метод Бубнова - Гадеокина

Вряде случаев оказывается более предпочтительным не составлять

выражения потенциальной анергии системы, как в методе Ритца, а решать приближенно дифференциальные уравнения, например, урав­ нения равновесия.

Одним на наиболее распространенных методов приближенного ранения дифференциальных уравнений прикладной теория упругости является метод Бубнова-Галеркина. Положим, что решение задачи сво­

■вбых значениях этих параметров функция tt/fx) должна удовлетво­ рять геометрическим ,(накладываются на линейные и* угловые переме-

- ю з - во нногпз: работах, необходимо. удовлетворить воем граничным уело-

надлежащем изменении параметров Qn . Искусство подбора подобных функций определяется в основном практическим навыком решающего.

По методу Бубнова - Галеркина функция (6.27) берется в виде

Затек фупкцию-ошибяуj ? ( x ) уннояаеи поочередно ъъ.‘/ п %,■■■,

берем от этих произведений интегралы по всей области изменения

Определяя на этой системы постоянные. (2П , подставляем их в прмнятуа функцпа (6.28) в получаем прнбляжённоё решение уравнения

решении многих задач прикладной теории упругости н механики. Еще раньше Галеркина в отзыве на работу Тямояенко К*Г«Буб­

- 104 -

а -свойство (6.31) - свойством ортогональности. Этим свойством обладают, в частности, тригонометрические функции, некоторые по­ линома и др.

С учетом (6.31) условия Бубнова - Галеркина (6.30) модно рассматривать как.требование, чтобы функция - ошибка была орто­

вольствуемся тем, что она ортогональна по отношению к ограничен­ ному числу функций • Этим самым мы приближаем к нулю функ­ цию - ошибку не только при ортогональных, но и вообще при любых функциях у>п .

При определении напряжений метод Галеркина так же, как и метод Рйтца, дает результаты, менее точные, чем при определении перемещений. Это ^вляется следствием того, что обычно при выборе апроксимирующей (координатной) функции при достаточно точном представлении самой функции получается худшее представление ее производных,' которыми определяются напряжения. Во всяком случае, чем точнее апроксимирована функция и ее ближайшие производные,. тем точнее во всех случаях.;получается решение.

Методы Ритца и Галеркина обладают различной чувствитель­ ностью к апроксимацин степени производных координатной функции.

венном виде приводит к совершенно неверным результатам.

для иллюстрации метода Бубнова - Галеркина рассмотрим тот же пример с консольной балкой, решенный методом Ритца. Диффереи-

кетодон Рнтца вследствие зтого получаются расхождения лишь при определении производных (напряжений)* При ревенин же задачи ис­ тодом Бубнова - Галеркина большая ошибка ' имеет место не толь­ ко в производных, но а з самой функции. Это видно ив рис. 6.2, на которой рядом с истинными эпюрами изгибающих моментов (тг")

явхиетоя основной причиной расхождения. Следовательно, функция.

- 107 -

§ 6.Л-» Салланвый метод

Этот иетод был применен в 1933'году Л.В.Канторовичем к кручению стержня прямоугольного профиля, В.Дунканом - к кру­

чению стеркпя в форме равнобедренного треугольника и Л.С.Лейбензонсм - к определению центра изгиба сегмента параболы. Метод мокет быть использован в случае двух- я трехмерных задач и занима­ ет промежуточное положение меяду точным решением.задачи и мето­ дами Ритца и Галеркина. В последних задача о минимуме линейного или квадратичнего функционала сводилась к задаче о минимуме функций нескольких церемонных. Это достигалось с помощью того, что вид решения выбирался априорно и затеи линь подбирались наилучшие значения входящих в него постоянных.

Идея смешанного метода заключается В'том, что искомые функ­ ции представляют в виде произведения двух функций. Однаиз функ­ ций - известная, подобрана так, чтобы частично удовлетворить "раничныи условиям. Другая не - неизвестная, должна зависеть от йеиьшего числа переменных и определяться при пойощи вариационно­ го качала или из решения уравнения Эйлера-Лагранжа. Таким обра­ зом, в случае решения задачи, зависящей от двух переменных! при приведении к обыкновенным дифференциальным уравнениям решение разыскивают в такой форме, когда в состав его входят неопреде­

ленные функции одного переменного. И задача о минимуме двойного интеграла приводится к задаче^о минимуме простого интеграла. Ме­ тод Л.В.Канторовича и В.И.Крылова, кроме большей точнооти, имеет еще и то преимущество., что в нем лишь часть выражения-, дающего решение, задается априори, другая же часть выбираетоя в виде функции, находящейся в соответствии с характером задачи.

Для выяснения сущности метода рассмотрнм пример: найти приб­ лиженное решение уравнения Пуассона (основное уравнение кручения

матаналиэа известно, что задача Дирихле для уравнения Пуассона свяаана с задачей о минимуме интеграла Дирихле, соответствующего данной задаче

Сравним это значение М (таблица) с точный (подучено при реше­ нии дифференциального уравнения Пуассона методой Фурье) и приб­ лиженным значением по методу Ритца (первое приближение)!