Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
5.05 Mб
Скачать
☆

ГЛАВА 4. ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ

§ А Л « Обобщаемый закон Гуда

'Дилереидеальные уравнения равновесия (статические илж динами­ чески) и геометрические уравнения, составляя девять уравнений, содержат в общей сложности 15 неиавеотных (&/>-, Следова­ тельно, для>полного реиения поставленной задачи к полученным двум группам уравнений необходимо добавить еще несть, во при условии, что они не будут содержать неизвестных. Тахини уравне­ ниями являются условия упругости дня упругого^тела, условия пластичности для тела, пребывающего в пластическом состоянии, т.е. это должны быть фиеичесние уравнения, форма эапяся которых з каждом случае зависит от свойств тела.

Уравнения равновесия" я геометрические уравнения, навиваемые уравнениями механики сплошной среды, одинаковы для теории упру- •гостя, пластичности, ползучести для твердых я жидких теи.

Очевидно, что при простои перемещении или повороте упругого твердого тежа в новое положение равновесия напряжения не из­ меняется, поэтому <3^- не зависят от поворота тела. Рассмотрю! равновеоше растягиваемого стержня. Поскольку главные оои тензора напряжений н тензора дефориацнй совпадают, то стержень удлиня­ емся в продольном направлении и сжимается в поперечном. Цричеи изнонения размеров одинаковых элементов во всех поперечных направ­

лениях будут равны. Если ооь х 1

взять вдоль оси стержня, . то

будеи иметь:

 

 

% 1£„£;

<33£-

<*•«

Здесь

 

 

- 72 -

 

Есле теперь рассмотреть напра*ения <52г,б35 » 50 П0ЛУЧГШ Б

общем вшде

 

 

 

 

 

 

 

01-2)-

или

 

 

 

 

Распишем уравнения (4*3) по компонентам:

(iu3)

 

 

г.’± Ъ ? ( < Ь * ф

» * • & >

 

 

е» ‘ -^{еУ ^ Ф г * вл ) ]'

’

С4Л)

 

4- ' Г

;

■

 

Здесь

Е

- модуль упругости первого рода;

 

 

G - модуль второго рода; оба модуля постоянные в пре­

 

 

делах упругости для изотропного материала;

 

.JU

- коэффициент Пуассона.

 

В случае конечных деформаций j u

- не постоянная величава» а

функция

самой деформации; при малых же деформациях,

изучаемых в

линейной теории уп ру го сти,считается величиной постоянной. Обобщенный закон Гука эвучит так: компоненты тензора дефор­

маций в данной точке тела находятся в линейной зависимости от компонентов тензора напряжений, относящихся к той же точке. При j u ж о любой компонент тензора деформаций прямо пропорционален соответствующему компоненту тензора напряжений. Если j u «0,5, то иа (4.4) получаем усдовме несжимаемости материала: дилатация

(объемная деформация)

равна

нуцю:

 

‘ d i u u = 6 и = & =0.

(4 .5 )

Формулу (4.3) иногда записывают так:

 

У

2G [ У

м + 2 6

(4.6)

 

eiJ* 4 L h . - j £ L b

A .)

(4.7)

У

£ [ V

/+/Ц 9 > //J

 

Здесь

 

 

 

 

4 “ G

_

-

достоянная Ляпе;

Л :

 

' - 2 j u

' ( / - 2 j u ) ( / y j )

 

 

Збср ~еи i е ср t равное

одной трети

Jtfs)t

, инргда называют

.гидростатической составдящей тензора напряжений.

Иногда бывает полезно иыеть явные формулы,•ыражаювде напря­ жения черев деформации. Обрацав (4.3), подучим

 

(4.8)

Свертывая это равенство и вводя обозначения З б Ср ~

> найден

3e~(SX+2G)B.

(4.9)

Полоегш

 

 

Л *"jG

~ * '

(4.Ю)

о ,

!£ср

(4.П)

9 ~

К

 

Формула (4Л1) выражает относительное изменение объема через первый инвариант тензора деформаций. Величина Л называется объемным модулем упругости.

Если * формула (4.8) принимает вид

(4.12)

e</’ 2eev ‘ .6f v ' ( 1Ч - ’

В расписанном по компонентам виде уравнения (4.8) и (4.12) имеют нид:

<з, *

2 с-£х + л е i

*w a6/v '>

-

<?„ “

2Gcy *А&-;

'Ey*

~ G jy j

t

b =

*Л0-

 

 

(4.13)

N:

■

 

 

 

 

- 74 -

Построим у рассматриваемой точки куб, ориентированный относи­

тельно главных площадок, так*

что по

двум парны параллельны}, гра­

ней такого lty6a действуют касательные напрпкения,

по величине

равные Г0л/77 (т.е. эта пара

граней

элементарного

куба* принадле­

жит граням главного октаэдра). Если '£ОАУГ>имеет направление дей­ ствия, параллельное какой-либо стороне этих граней, то примени­

тельно к такой охеме

•' =6',- . (4..14)

Обоощенный закон Гука может быть записан

через интенсивности яа-

-ряженш1Ц и интенсивности сдвиговых напряжений и деформаций;

С

- £ f • ,

(4.15)

^

- GT.

 

Оперирование с понятиями обобщенных напряжений и деформации .позТволяет при рассмотрении объемного напряженного состояния кон бы отвлечься от всей сложности комбинаций компонентов, вообразив случай чистого растяжения или сдвига с единственным дейсгэумщм

напряжением

. В частности, каким бы сложным не было объем­

ное напряженное состояние для рассматриваемой точки, зависимость (4.15) будет такой же, как'и в случае одноосного напряженного состояния того же упругого материала, т.е. ыаипростейвей прямой ливмей.

Кроме того, обобщенный закон Гука может быть сформулирован так: девматор напряжений прямо пропорционален девматору-дефор­ маций:

(4.17)

(4.18)

§ 4.2, Потенциальная энергии деформации

Упруго* тело под дейотвием внешних.сил испытывает деформацию, прм жоторой ожлы оолернают некоторое количество работы. Эта рабо-

- 75 -

та.превращаемся в потенциальную энергию и в последующем при уда­ лении внешних сил расходуется на восстановление начальной формы тела. Энергия, накапливаемая при деформации в единичном объеме материала, выделенного около данной точки, называется удельной потенциальной энергией или упругим потенциалом в офестности данной точки (обозначается И ).

Пусть на упругое тело действуют поверхностные силы р у и объемные с и л ы . Придадим этим силам приращения d p v и Вектор перемещения получит приращение сШ . Тогда работа d A

сил Д,,

при дополнительном деформировании будет следующей:

 

d A '

•

(*.И)

 

У

s

 

Учитывая,

что p t>/f = &кг Д,

, преобраауем поверхностный интег­

рал в объемный и выполним некоторые преобразовании, подучим

( V 2D)

В упругом теле работа, аатраченная на деформирование, не должна зависеть от.последовательности приложения нагрузок, она опреде­ ляется только начфаьным и конечным состоянием Теда, т.е. величи­ нами перемещений в начальный и конечный момент. Поэтому t3^ «ote должно быть полным дифференциалом, а это значит, что существует такая функция Ц ( * у ) ) при которой

. d U ,

V ~ d e Lj

'

(^.2 1 )

Формулы (^.21). представляют собой бамую общую запись закона упругости, они однозначно определяют напряжения через деформа­ ции. Эти соотношения могут быть разрешены относительно (формулы Грина).

э и

V

 

(4.22)

 

 

С учетом упругого потенциала U

полная потенциальная энергия

внутренних сил

 

 

u - f [ f u

d v .

Л-23)

V

- 76 -

.Здесь предполагается» что упругое тело представляет собой консервативную систему, вся работа внешних сил расходуется на накопление потенциальной энергии. Этот вывод справедлив дЛя квазистатических процессов, скорости которых малы к ккнатйчес-- кой энергией можно пренебречь. Кроме-того, гипотеза полного пе­ рехода работы упругих сил в потенциальную энергию верна лишь частично, так как часть, работы упругих сил переходит в другие виды энергии (тепловую, электромагнитную) , теряемые телом, од­ нако эти количества энергии невелики и ими в большинстве случаев

 

можно пренебречь. Поэтому согласно (4.23) полная потенциальная

 

энергия деформации

U

пропорциональна

работе внешних сил А .

 

 

Чтобы вычислить U

в. общем

случае напряженного состояния,

 

из тела вырезается элемент в виде единичного кубика с гранями,

 

параллельными координатным поверхностям. На этих гранях дейст­

 

вуют равномерно распределенные

напряжения

• Поскоды^

пло­

 

щади граней равны I,

то усилия,

действующие

на гранях,

равны

 

также

 

• Каждое усилие &су

производит работу на <?еу

}

т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

u ‘ T * if eV ■

 

(4.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь коэффициент ^

 

введен потому, что силы и перемещения

 

возрастают от н у л я до конечных значений линейно (по треугольно­

 

му

з а к о н у ) '. З ам ен и в

в

(4.24)

деформации

напряжениями ш ш

наобо­

рот, з ап и и еи

U-

через компоненты

<?су

и

•;

 

 

 

 

 

 

2£li= ef* <з* ' GJ

~2ju{ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44.26)

 

 

И а в е о т н о ,

ч т о и зотр о п н ы й

материал может выдерживать боль­

ш е

п д р о о т а т и ч е с и е

д а в л е н и я

без появления

текучести. Поэтому

в

ц е л я х

л у ч ш его с о г л а с о в а н и я

теории с

опытом потенциал U

де­

л я т

н а

д м

ч а с т и ,

о д н а на

н и х

о в ж з а н а с изменением обтема U0 f

а

д р у г а я -

формы

т е л а

1/ф,

 

 

 

 

 

 

 

- 77 -

U -P o+ U <p-

('».27)

Для оценки прочностного состояния рассматривают только вторую

часть. Б уравнении

(4.27)

 

 

а °

= ( l

e v ) J * 2 ^

(4.28)

^cp=J Scfc -J2G [fa ~еу )

^(Я г'ел ) +6f rfУ * ^

г-t j x ) ] ■

 

 

 

\'4.2У)

для анизотропного тела

Однородное тело называется анизотропный, если упругие свойства его различны по различным направлениям. Такими свойствами об­ ладают кристаллы и конструктивные анизотропные тела. Напршер,

для фанеры,

текстолита и некоторых других материалов модули упру­

гости вдоль и поперек волокон относятся как 2 :1 .

 

 

Упругий потенциал есть квадратичная функция от компонентов

тензора деформаций.

 

 

 

 

 

 

^ ~2

 

'

 

(4.30)

 

 

 

 

 

В общем виде число констант £ 1/ке

равно 8 1 . Из условия симме­

т р и и ^

следует, что без “потери общности в (4.30)

можно

ПОЛОЖИТЬ

 

«

 

 

 

 

 

* £ y ft '

 

 

 

eiJke,

I . e . » ( ' * . 3 0 ) содержится 56 нв аа ви сш ш

jnpjre l o i c t a n

Кроме того,

из условия

 

-

/

следует еще 15

 

V/£7C___

 

 

 

У

/т>п

 

 

 

 

соотношений

^ijm n ^rnnij

(4.320

- 78 -

и, теним образом, всего остается 21 независимая упругая постоян­ ная. *.аков ука в наиболее ..общем случае анизотропии имеет вид

 

 

" У£ с//2 6/2

* £ iJ/3 C /J

 

 

 

(4.53)

* EV2 , dJr * £ у *г*&

+

Ci7 j/CJ/

U 32 32

 

 

Вследствие симметрии <f£/

 

R <3^. , т.е. учитывая (4.51) и (4.32),

из (4,33) мохио почучи^ь 6 независимых 6-членных формул, в кото­ рые войдет 21 независимая'постоянная Решая (4.33) относительно € кС , получим^

Величины Е у х е называются модулями упругости, величины П£у к £

в отечественной литературе специального названия не получили. При

повороте системы координат х ■ :е

- X ■

V

у

х <Гф £fT7n/>t}7

(4.35)

есть тензор 4-го ранга.

Часто оказывается, что анизотропное тело обладает известной симметрией строения. Используя свойства симметрии, можно выбрать такую специальную систему координат, для которой некоторые ком­ поненты тензора модулей упругости обращаются в нуль и число упругих постоянных оказывается меньше 21. Представим совокупность модулей упругости в виде симметричной матрицы следующим образом:

Е т 2

£ /тзз

£ п г з

£ Г/3/

Е ///2

£г г г г

^2233

£2223

£ •

Е22/2

223/

 

£зззз

£3323

E3J3f

EjJ/2

 

 

£2323

^233/

£

 

 

23/2

£з/з/

£ 3//2

- 79 -

При иаличив плоскости упругой симиатрии число упруги: постоян­ ных равно 13 о Плоскость х/ хг навивается плоскостью упругой сим** метрии тогда, когда вид упругого потенциала не неняется при за­ мене координат =х7 , *2 = хг у xs - ~ xs • Следовательно, ком-" поненты и .,и2 остаются веявменвымк, тогда как и ' = - Ц . Компонен­

ты деформации остаются

неиэменнымм (б у - <?су )

, если в обозна­

чении этой компоненты индекс 3 не фигурирует

один раз.

Так

£з/ “ ~£st > £гз “ £гз >

~ £ss

г £/г " £/г и

 

В выражении

упругого потенциала меняют знак те члены, в которых

меняет знак

один из сомножителей. Требуя,

чтобы выражение

упру­

гого потенциала оставалось неизменным, мы должны приравнять ну­ лю те модули, в обозначениях которых индекс 3 входит дибо 1~раз, либо три раза. Матрица модулей упругости имеет вид

^ ггзз

0 0

 

 

$/,,

 

^2233

0 0

 

е 2 2 ,г '

 

^333}

0 0

 

£22,2

С^.37)

 

 

F

Л

 

о

 

2323

23it

 

 

 

4

 

»

0

 

 

 

 

 

£ т

 

Анизотропное упругое тело называется*ортотропным, если су­ ществует ‘система трех взаимно перпендикулярных плоскостей упругой симметрии„ Если в этой системе координат изменить направление од­

ной оси х,

на обратное, то упругие постоянные не долины изменить

ся. При таком преобразован» нормальные деформации

ж напря­

жения. Gci

сохраняют знаки,.так как каждый индекс входит дважды.

Сдвигк б/г f 6f3 и касательные напряжения <з,г ,в/3 изменяют знаки на -

обратные,^

и вгз сохраняют зпаки. Аналогичные следствия будут

при изменении направлений осей

• Поэтому в (4.33)

дли

1 У

отличны

от,нулк*.только при

л 9 С , а ддя

-

ииько при

£ = /

, Закон Гука для ортотропного тала в осях

*L получим в виде

 

- 80 -

 

~ Ецн^-п

*' ^ m z *22

* ^ » зз *зз

’

G22 = E22!J * »

* ^2222 *22

* ^'2233 *33

’

GJJ ~ ^JJ/t *rr / ^3322 *22 * £j333 *33 /

G,2 ~2£/2/2*/2 > *°23 ~^2323*23r ^3/

Cj/3 fC3f •

Матрица модулей получается следующей:

^ »22

^/гзз 0

О

0

^2222

*■2233

0

о

о

 

 

 

 

Ejj3j

0

0

о

 

 

 

 

£2323 0 0

(4.3B)

(4.39)

£з/зг 0

E/2f2

Ортотропвое (ортогонадьно-лзотропное) тело называется кубическисиыметричныы, если свойства его (в указанных ооях х£ ) одинаковы по всей трем направлениям» Поворот этой системы вокруг любой нэ ее осей не должен наменять жомстант, входящих в (4.38). Отсюда следует:

'Е

- Е

2222

= F

- С

/ ’

£ »Г/

 

3333

 

F

= £

- £

2323

= г

f2J2

П Г З

 

3 >

и вместо 9 независимых упругих постоянных общего ортотропного те­ ла оотаются только три:

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности